張優(yōu)幼

【摘要】概念是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的種子，所有學(xué)習(xí)活動(dòng)都離不開對概念的理解和應(yīng)用。概念學(xué)習(xí)是一種自主建構(gòu)的過程，需要引發(fā)學(xué)生深度理解概念的本質(zhì)屬性：在基礎(chǔ)性教學(xué)中建構(gòu)，借助結(jié)構(gòu)化的材料，對概念進(jìn)行多元表征，經(jīng)歷概念從過程到結(jié)構(gòu)的理解;在支持性教學(xué)中應(yīng)用，借助原型和變式，糾正概念的認(rèn)知偏差，經(jīng)歷概念的多重建構(gòu)、解構(gòu)和重構(gòu);在整合性教學(xué)中聯(lián)通，建立概念網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)大單元的網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)。

【關(guān)鍵詞】概念教學(xué) 策略 建構(gòu)? 深度理解

概念的準(zhǔn)確建構(gòu)，需要引發(fā)學(xué)生的思考，不斷對概念進(jìn)行深度理解，在概念形成或概念同化的過程中，循序漸進(jìn)地自主建構(gòu)、調(diào)整優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而形成概念網(wǎng)絡(luò)。

一、指向建構(gòu)的基礎(chǔ)性教學(xué)策略

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)一般要經(jīng)歷以下四個(gè)階段：概念操作—概念意象—概念定義—概念運(yùn)用。這四個(gè)階段的學(xué)習(xí)是循序漸進(jìn)、依次推進(jìn)的。因此，在概念教學(xué)的初始階段，借助結(jié)構(gòu)化的材料，在具體操作中建立表征，實(shí)現(xiàn)表征之間的轉(zhuǎn)換，經(jīng)歷概念過程到結(jié)構(gòu)的理解。

1.實(shí)現(xiàn)概念外部表征間的轉(zhuǎn)換

概念的形成，離不開建立相應(yīng)的表征。萊什提出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的五種表征：實(shí)物操作、圖像、文字符號、口頭語言、現(xiàn)實(shí)情境。動(dòng)作表征是指學(xué)生的思維必須借助與實(shí)物或具體物的實(shí)際操作活動(dòng)來達(dá)成;

圖像表征是指具體物消逝時(shí)學(xué)生能依據(jù)實(shí)物的影像在頭腦中制作心像來進(jìn)行內(nèi)在的思維活動(dòng);符號表征是指學(xué)生已經(jīng)能直接對數(shù)學(xué)符號進(jìn)行思維操作。對于同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生可以體驗(yàn)顯性的言語表達(dá)，欲言又止的緘默知識(shí)，形象的實(shí)物對應(yīng)抽象的文字符號。在這不同的形式中，任意兩種表征之間都可以相互轉(zhuǎn)化（如圖1）。在多種形式的表達(dá)中，不斷地反復(fù)感知相關(guān)內(nèi)容。借助這多元化的表征，讓相同的數(shù)學(xué)概念在不同的情境中反復(fù)，從而遷移運(yùn)用先前經(jīng)驗(yàn)，反思抽象、內(nèi)化提升。

在多元表征中逐漸豐厚概念意象，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。事實(shí)上，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)本質(zhì)一致性、多樣化的數(shù)學(xué)活動(dòng)，在交流、討論與反思等活動(dòng)的作用下，他們的原初經(jīng)驗(yàn)得以改造和提煉，完成了概念意象從低層次到高層次的生長和豐厚。

如整數(shù)乘法口訣的理解和教學(xué)，通過讀、寫、畫等數(shù)學(xué)活動(dòng)（如圖2），將口訣的意義在多種形式中表達(dá)。當(dāng)我們說學(xué)生理解了乘法口訣時(shí)，在一定程度上就是指他們能夠理解與應(yīng)用乘法口訣的不同表征。

我們在概念教學(xué)中不應(yīng)唯一地強(qiáng)調(diào)其中的任何一個(gè)成分，而應(yīng)當(dāng)更加重視各個(gè)方面之間的聯(lián)結(jié)，并應(yīng)幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)如何能夠依據(jù)情況與需要，在這些成分之間靈活地做出轉(zhuǎn)換。

2.經(jīng)歷概念過程到結(jié)構(gòu)的理解

學(xué)生在概念的表征和轉(zhuǎn)換過程中，還需要關(guān)注他們是否經(jīng)歷從過程到結(jié)構(gòu)的理解。學(xué)生的表征并不一定是概念的定義，而可能是與概念定義同構(gòu)、擬同構(gòu)成的表象或概念的自我修改形式。學(xué)生自我建構(gòu)形成的與概念直接聯(lián)系的“整體性”認(rèn)知結(jié)構(gòu)，即概念意象。概念意象形成是把操作中獲得的具體動(dòng)作與信息逐漸轉(zhuǎn)化成抽象定義的過程，包括相應(yīng)的心智圖像，對其性質(zhì)的認(rèn)識(shí)和有關(guān)過程的記憶等。概念教學(xué)的一個(gè)主要目標(biāo)就是要幫助學(xué)生建立起關(guān)于各個(gè)概念結(jié)構(gòu)化的心理表征。

如在數(shù)概念的教學(xué)中，從小棒計(jì)數(shù)到人民幣寫數(shù)，再到半抽象的結(jié)構(gòu)化計(jì)數(shù)器，最后對應(yīng)抽象的數(shù)位順序表，是一個(gè)借助具體半結(jié)構(gòu)化的材料理解數(shù)的建構(gòu)過程。教學(xué)中以百元、十元、一元人民幣的動(dòng)態(tài)飛躍計(jì)數(shù)，學(xué)生在想象中對應(yīng)相應(yīng)的數(shù)位寫數(shù)，在按數(shù)序?qū)憯?shù)的過程中逐漸抽象成數(shù)位順序表，這是概念的意象，也是數(shù)概念逐步抽象的建構(gòu)過程。大數(shù)的認(rèn)識(shí)就是在萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，脫離了借助實(shí)物建構(gòu)數(shù)位的過程，直接抽象成大數(shù)在對應(yīng)的數(shù)位上認(rèn)識(shí)數(shù)、讀寫數(shù)。

二、指向應(yīng)用的支持性教學(xué)策略

當(dāng)學(xué)生已經(jīng)對概念有了一定的理解后，我們就應(yīng)該進(jìn)行支持性的概念教學(xué)，可以讓學(xué)生在變式中進(jìn)一步抽象，糾正認(rèn)知偏差，在應(yīng)用中多重建構(gòu)、解構(gòu)和重構(gòu)。

1.適時(shí)運(yùn)用概念的原型和變式

原型在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中具有積極作用，實(shí)際上是與數(shù)學(xué)概念具有自然概念的特征相聯(lián)系的。數(shù)學(xué)概念同時(shí)又是科學(xué)概念，是人工定義的概念。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念最終必須掌握其本質(zhì)屬性，這些本質(zhì)屬性在概念各種例子中是相同的，但由于許多無關(guān)特征的干擾，使得概念的本質(zhì)屬性往往隱藏得很深，僅從原型的標(biāo)準(zhǔn)特征上難以把握其本質(zhì)特征。因此，必須通過各種變式比較，排除由具體對象本身的非本質(zhì)屬性所造成的干擾，才能充分揭示概念的本質(zhì)屬性，真正形成概念。在概念學(xué)習(xí)的過程中，這些帶有大量的非本質(zhì)屬性的概念實(shí)例就構(gòu)成了概念的變式。

在三角形高的概念教學(xué)中，學(xué)生僅在原型的認(rèn)識(shí)上很難理解高的本質(zhì)。（如圖3，過A點(diǎn)畫BC邊上的高）當(dāng)把三角形進(jìn)行位置旋轉(zhuǎn)或形狀變換后，學(xué)生就會(huì)遇到困難。通過原型經(jīng)驗(yàn)引發(fā)變式，在變式中引發(fā)認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)，再次解讀概念，抽象出高的本質(zhì)屬性：過一點(diǎn)畫垂線，從而排除圖形位置和形狀引發(fā)的概念非本質(zhì)屬性的干擾，深度理解對邊和垂線的關(guān)系。

2.多重經(jīng)歷概念的建構(gòu)和重構(gòu)

學(xué)生的概念學(xué)習(xí)不是對知識(shí)進(jìn)行復(fù)制的過程，而是以自己原有的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)為基礎(chǔ)，對新的知識(shí)進(jìn)行編碼，通過新舊知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)間反復(fù)的、雙向的相互作用過程，以自己獨(dú)特的方式對已有的建構(gòu)進(jìn)行選擇、修正，并賦予新知特有的意義。這個(gè)過程是別人無法替代的，其實(shí)質(zhì)是建構(gòu)、解構(gòu)與重構(gòu)的循環(huán)往復(fù)：學(xué)生用經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)自己的理解，而新知的進(jìn)入使原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生調(diào)整和改變，新舊經(jīng)驗(yàn)的沖突會(huì)引發(fā)原有觀念的轉(zhuǎn)變和解體，最后完成認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重組。在建構(gòu)新概念的過程中不斷建立聯(lián)系，這不僅是指同一概念不同表征之間的聯(lián)系，也是指不同概念之間的聯(lián)系。

例如：在“7的乘法口訣”練習(xí)過程中，學(xué)生通過對計(jì)算結(jié)果的比較，感悟前后兩句口訣之間的聯(lián)系，加深對算式和口訣的意義理解。以圖來解釋口訣，以形象來豐厚抽象的表征，引發(fā)學(xué)生對口訣的再一次表征，讓隱形語言顯性化。借助形的支撐，學(xué)生在幾何直觀中進(jìn)一步解讀乘法的意義，也為長方形的面積學(xué)習(xí)積累經(jīng)驗(yàn)（如圖4）。有了這樣豐富的建構(gòu)、解構(gòu)和重構(gòu)過程，學(xué)生對乘法意義、口訣結(jié)構(gòu)的認(rèn)知將更加穩(wěn)固、完善。

三、指向聯(lián)通的整合性教學(xué)策略

學(xué)生對概念有了清晰的建構(gòu)，還需要關(guān)注概念的前因后果，對概念進(jìn)一步梳理，那么我們應(yīng)該進(jìn)行整合性的教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生深度理解、聯(lián)通相關(guān)概念，形成概念網(wǎng)絡(luò)。

1.建立概念網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的聯(lián)系

概念的三個(gè)核心：是什么，為什么，怎么樣？概念教學(xué)的核心思想是在聯(lián)系中進(jìn)行教學(xué)。概念學(xué)習(xí)需要與更多的知識(shí)建立更豐富的聯(lián)系，處在網(wǎng)絡(luò)里的概念節(jié)點(diǎn)可以組合成一個(gè)統(tǒng)一的家族，它們既有共同特征的抽象概括，又有具體例子的形象表征。聯(lián)系是概念網(wǎng)絡(luò)的重要組成部分，概念網(wǎng)絡(luò)具有縱向和橫向兩個(gè)維度，縱向反映概念的“層次性”，橫向反映概念的“豐富性”。因此，任何一個(gè)概念的教學(xué)，都不是孤立存在的，需要有橫向的比較和縱向的發(fā)展，這樣才有利于學(xué)生的意義建構(gòu)，才能在解決問題時(shí)有效激活和應(yīng)用。以一節(jié)課推想到一類課，以一類課帶動(dòng)一個(gè)領(lǐng)域的教學(xué)內(nèi)容，以一個(gè)領(lǐng)域的教學(xué)凸顯一門學(xué)科的教學(xué)價(jià)值。

例如：在多邊形的面積梳理中，從梯形的面積公式S=（a+b）×h÷2出發(fā)：當(dāng)上底越來越長，和下底長度相同時(shí)，就成了平行四邊形S=（a+a）×h÷2=2a×h÷2=ah;當(dāng)上底越來越短，長度為0時(shí)，就成了三角形S=（0+b）×h÷2=b×h÷2;當(dāng)上底和下底長度相同，而且四個(gè)角是直角時(shí)，就成了長方形，高相當(dāng)于寬，S=（a+b）×h÷2=（a+a）×b÷2=ab;而當(dāng)a=b時(shí)，又成了正方形，S=a×a。根據(jù)這些圖形的特征，學(xué)生通過動(dòng)態(tài)想象和公式推導(dǎo)，又一次溝通概念之間的聯(lián)系，把各個(gè)知識(shí)點(diǎn)聯(lián)結(jié)起來，長出一個(gè)立體結(jié)構(gòu)的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)（如圖5）。

2.大單元背景下的網(wǎng)絡(luò)化建構(gòu)

概念的教學(xué)，還應(yīng)該有大單元的視野，將概念教學(xué)的內(nèi)容主題化，解讀不同階段的學(xué)習(xí)任務(wù)，從中比較共性、異性，實(shí)現(xiàn)教學(xué)結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化，有利于概念的遷移、抽象和建構(gòu)。以“類”區(qū)分：思考成“類”的整體性，突顯一類課的共性可遷移性;以“序”漸進(jìn)：關(guān)注成“序”的遞進(jìn)性。以學(xué)生為主體的數(shù)學(xué)活動(dòng)，是一個(gè)不斷打破原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的平衡，發(fā)生同化或順應(yīng)組建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。學(xué)生的認(rèn)知序在結(jié)構(gòu)化的整體教學(xué)中更容易得到遷移和發(fā)展。

例如：對于整數(shù)概念的教學(xué)，針對學(xué)生的認(rèn)知特征，關(guān)注認(rèn)知節(jié)點(diǎn)，應(yīng)該對整個(gè)認(rèn)知體系進(jìn)行定位和解讀（如下表）。從中不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)不同，學(xué)生對數(shù)的感知體驗(yàn)是循序漸進(jìn)的。因此在認(rèn)識(shí)100以內(nèi)的數(shù)時(shí)，借助直觀形象模型理解的數(shù)學(xué)概念，從直觀的材料出發(fā)，從逐一計(jì)數(shù)到按“群”計(jì)數(shù)，感知結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)材料，溝通數(shù)概念間的前后聯(lián)系。

總之，在基礎(chǔ)性、支持性和整合性的概念教學(xué)中，應(yīng)該圍繞著概念的本質(zhì)屬性，關(guān)注學(xué)生在概念建構(gòu)過程中的思維路徑，暴露學(xué)生的認(rèn)知偏差，讓學(xué)生經(jīng)歷多重的建構(gòu)、解構(gòu)和重構(gòu)，建立概念間的聯(lián)系，形成概念網(wǎng)絡(luò)，凸顯概念內(nèi)涵，促進(jìn)學(xué)生對概念的深度理解。

【參考文獻(xiàn)】

[1]李善良.現(xiàn)代認(rèn)知觀下的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)與教學(xué)[M].南京：江蘇教育出版社，2005.

[2]朱樂平.“整數(shù)乘法口訣教學(xué)研究”校本教研活動(dòng)方案[J].教學(xué)月刊（小學(xué)版），2012（10）.