孟慶玲 傅海倫 劉冬

[摘? 要] 文章依據(jù)拓展式數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的模塊特征和基本操作程序，展示北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊第五章第1節(jié)“認(rèn)識分式（一）”的教學(xué)實錄及評析. 這節(jié)課是初中拓展式數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一節(jié)成功的課例，著重體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識拓展、數(shù)學(xué)思維拓展和數(shù)學(xué)文化拓展這三個模塊拓展的課堂教學(xué)特征.

[關(guān)鍵詞] 初中;分式;拓展式數(shù)學(xué)課堂;實錄;評析

拓展式數(shù)學(xué)課堂教學(xué)旨在豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，加強學(xué)生對數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的深入理解，在深度和廣度上拓展學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究意識和興趣，建立科學(xué)的思維方法和探究方法，在提出和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題、分析與解決數(shù)學(xué)問題的能力上得到提高，促進學(xué)生均衡而有個性的發(fā)展，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

拓展式數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的模塊特征及基本操作程序

1. 拓展式數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的模塊特征

拓展式數(shù)學(xué)課堂教學(xué)主要體現(xiàn)三個方面的模塊特征[1]：

（1）數(shù)學(xué)知識模塊的拓展. 數(shù)學(xué)知識的拓展，要求教師既尊重教材又不拘泥于教材內(nèi)容，在教材現(xiàn)有知識呈現(xiàn)的基礎(chǔ)上，適度調(diào)整、整合和拓展，從現(xiàn)實生活和學(xué)生的實際需要出發(fā)，使學(xué)習(xí)內(nèi)容在更為現(xiàn)實和廣闊的背景下獲得充實、深化和提高，最大限度地滿足學(xué)生學(xué)習(xí)的需要，體現(xiàn)“用教材教，而不是教教材”的理念.

（2）數(shù)學(xué)思維模塊的拓展. 數(shù)學(xué)思維模塊的拓展致力于拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是拓展式數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心. 數(shù)學(xué)思維拓展要求以問題為主線，既注重思維方法的訓(xùn)練，注重合理推理和演繹推理的聯(lián)系和適當(dāng)?shù)膯栴}變式應(yīng)用，又注重學(xué)生差異，分層分類進行不同程度的拓展. 在課堂教學(xué)中，教師要充分尊重學(xué)生的不同思維方式，給學(xué)生創(chuàng)造展示自我的機會，從而使開發(fā)并拓展數(shù)學(xué)思維成為可能.

（3）數(shù)學(xué)文化模塊的拓展. 數(shù)學(xué)文化模塊的拓展建立在充分挖掘和展示數(shù)學(xué)文化的價值和魅力的基礎(chǔ)之上，通過在教學(xué)中適當(dāng)、適時穿插數(shù)學(xué)史和當(dāng)今生產(chǎn)生活中數(shù)學(xué)應(yīng)用的內(nèi)容，體現(xiàn)文化價值和應(yīng)用價值. 還可以通過深入挖掘數(shù)學(xué)美，提高學(xué)生感受美、體驗美、欣賞美的情趣，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動機和興趣，進一步提升數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的品位.

2. 拓展式數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的基本操作程序

（1）拓展式備課——形成拓展式導(dǎo)學(xué)案. 在傳統(tǒng)的備教材、備學(xué)情和備教法的基礎(chǔ)上，更注重搜集、借鑒和整合各種課程和教材資源，形成豐富的、現(xiàn)實的和適于學(xué)生學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)資料、素材和文本，這其中包括最重要的導(dǎo)學(xué)案的備課與教學(xué)設(shè)計，最后形成拓展式導(dǎo)學(xué)案.

（2）拓展式教學(xué)——形成拓展式課堂. 開展拓展式課堂教學(xué)活動，一般采?。呵榫硠?chuàng)設(shè)，問題驅(qū)動——探求發(fā)現(xiàn)，形成新知——問題變式，思維提升——知識歸納，拓展應(yīng)用——文化滲透，課外延伸的總體教學(xué)程序[1]. 具體在數(shù)學(xué)課堂上，應(yīng)注重體現(xiàn)以上三個拓展模塊的教學(xué)活動，主要考慮設(shè)計了以下三個欄目：①知識拓展：加油站;②思維拓展：步步高（或挑戰(zhàn)自我，或“凌絕頂”）. ③文化拓展：廣角鏡. （根據(jù)課題需要具體可冠之“史海漫游”或“穿越歷史星空”，或“文化走廊”，或“數(shù)學(xué)美拾趣”，或“生活中的數(shù)學(xué)”，或“好玩的數(shù)學(xué)”等）. 以上三個模塊是拓展式課堂教學(xué)活動標(biāo)志性的特色欄目[2].

“5.1 認(rèn)識分式（一）”的拓展式數(shù)學(xué)課堂實錄

1. 課堂背景

這節(jié)課出自北師大版八年級下冊第五章“分式與分式方程”第1節(jié)第1課時，是由山東省教育科學(xué)院在泰安第二中學(xué)舉辦的“正確把握教學(xué)重點，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)”教學(xué)觀摩研討會上的公開課，執(zhí)教老師：孟慶玲.

2. 課堂實錄

師：“泉城”濟南正在創(chuàng)建全國文明城市，“創(chuàng)城”以來，城市發(fā)生了很大的變化，市民的文明意識和城市環(huán)境都有了很大的提升. 請看我們學(xué)校小記者團帶來的報道.

（此時教師播放視頻，視頻內(nèi)容如下）

記者：濟南市正在創(chuàng)建全國文明城市，下面讓我們聽聽大家對此事的看法.

受訪者1：現(xiàn)在路邊沒有亂停車的現(xiàn)象，道路變得更加通暢. 我家離學(xué)校5千米，現(xiàn)在上學(xué)路上就能節(jié)省15分鐘.

受訪者2：自從“創(chuàng)城”以來，我們拆違拆臨、建綠透綠，路寬了，地面干凈了，環(huán)境更美了，僅綠地面積就增加了4000多平方米，居民的生活品質(zhì)得到了大大提升.

師：這位阿姨（受訪者2）住在師東小區(qū)，“創(chuàng)城”后她們居住的小區(qū)增加了4000多平方米的綠地面積. 如果小區(qū)內(nèi)共有m名居民，則居民人均增加透綠面積多少平方米？大家能解決這個問題嗎？

生（齊）：.

師：生活中處處有數(shù)學(xué).

（回放受訪者1的視頻）

師：假設(shè)他從家到學(xué)校原來需要40分鐘，那么現(xiàn)在上學(xué)需要多少時間？

生1：25分鐘.

師：大家知道字母可以代表任意數(shù). 如果他家離學(xué)校s千米，原來上學(xué)需要a分鐘，現(xiàn)在他每天路上少用15分鐘，那么原來的平均速度是多少？現(xiàn)在的速度又是多少？

生2：，.

師：9月12日剛剛結(jié)束的泰山國際登山節(jié)，吸引了來自世界各地的登山愛好者. 某一時段的統(tǒng)計結(jié)果顯示，前a天日均游覽人數(shù)30萬人，后b天日均游覽人數(shù)40萬人，前a天共有多少名游客？

生3：30a.

師：這（a+b）天總共有多少名游客？總的日均參觀人數(shù)為多少？

生4：30a+40b， .

師：這些我們由實際問題抽象出來的代數(shù)式，哪些是你熟悉的——，25，，，30a，30a+40b，？

生5：25，30a ， 30a+40b.

師：它們是我們以前學(xué)過的整式. 單項式和多項式統(tǒng)稱為整式. 那其余的代數(shù)式是整式嗎？

生5：不是.

師：那么它們是什么呢？我們本章就重點研究這一類代數(shù)式. 今天，我們一起來學(xué)習(xí)“認(rèn)識分式”.

（教師板書課題“5.1 認(rèn)識分式”）

師：請大家觀察一下，，，，它們有什么共同特征？

（學(xué)生思考）

生6：分母中含有字母，都有分?jǐn)?shù)線，形如分?jǐn)?shù).

師：還有其他特征嗎？

（學(xué)生思考）

師：我們剛才已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，它們的分母中含有字母，分母都是我們以前學(xué)過的整式. 那么，分子呢？

生7：也是整式.

師：哪位同學(xué)可以把剛才大家發(fā)現(xiàn)的這些特征總結(jié)一下？

生8：①形如分?jǐn)?shù).

師：你能用一個簡明的式子表示它的結(jié)構(gòu)特點嗎？

生8：.

師：這里的B是分母，A是分子.

生8：②分母中含有字母;③分子、分母都是整式.

師：這位同學(xué)概括得很全面. 分式形如分?jǐn)?shù)，那大家還記得我們在小學(xué)學(xué)過分?jǐn)?shù)的哪些內(nèi)容嗎？

生9：通分、約分、分?jǐn)?shù)的運算、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)等.

師：本章我們類比分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)，也要學(xué)習(xí)分式的概念、基本性質(zhì)、通分、約分、分式的運算及分式方程. 你們能用自己的語言給分式下個定義嗎？

（學(xué)生用自己的語言描述）

師：那么我們?nèi)绾螠?zhǔn)確地描述分式呢？一般地，用A，B表示兩個整式，A÷B可以表示成的形式. 如果B中含有字母，那么稱為分式. 其中A稱為分式的分子，B稱為分式的分母. 類比分?jǐn)?shù)，我們還需要注意什么？

生10：分母不能為零.

師：為什么？

生10：當(dāng)分母為零時，分式便無意義.

師：所以我們要特別注意，對于任意一個分式，分式的分母都不能為零.

師：我們剛才通過觀察、類比、歸納，得到了分式的概念. 那么，判斷一個代數(shù)式是不是分式，需要滿足幾個條件？

生11：三個條件. ①形如分?jǐn)?shù);②分母中含有字母;③分子、分母都是整式.

師：下列代數(shù)式哪些是分式？

①;②;③;④a+b;⑤;⑥.

（對于①③⑤，學(xué)生都能正確判斷;但對于⑥，有的學(xué)生認(rèn)為不是分式）

師：那么是不是分式呢？它是否符合概念中的三個特征呢？

生12：符合.

師：我們判斷一個代數(shù)式是不是分式，就是要看它是否符合這三個特征，而不是看它化簡后的結(jié)果.

（教師接著進行數(shù)學(xué)知識的進一步拓展）

師：大家請看導(dǎo)學(xué)案的第2題——請用下面所給整式中的任意兩個，構(gòu)造分式：x，2，x+1，π.

（學(xué)生說出了構(gòu)造的分式）

師：老師也構(gòu)造了一個，.

生13：不是分式，因為π不是字母.

師：那誰可以是分母？

生13：x和x+1.

師：2不能當(dāng)分母嗎？

生13：2不是字母.

師：那以x為分母可以構(gòu)造幾個分式？

生14：3個.

師：所以我們一共可以構(gòu)造幾個分式？

生15：6個，，，，，，.

師：通過剛才的兩個練習(xí)，同學(xué)們很好地掌握了分式的概念. 下面請大家思考第二個問題——分式一定有意義嗎？

（進入思維拓展的“步步高”）

生16：不一定，分母為零時，分式無意義.

教師給出導(dǎo)學(xué)案中的一道題：下列分式滿足什么條件時分式無意義？

（1）;（2）;（3）.

（學(xué)生在導(dǎo)學(xué)案上寫出答案，學(xué)生代表回答）

師：那什么時候這些分式有意義呢？

（學(xué)生一起說答案，并總結(jié)、歸納了分式有意義和無意義的條件）

師：大家能解決下面這個問題嗎？即當(dāng)a取何值時，分式無意義？有意義？請同學(xué)們進行小組討論，然后由小組代表發(fā)言. 現(xiàn)在開始討論.

生17：當(dāng)a=1或a=2時，分式無意義;當(dāng)a≠1且a≠2時，分式有意義.

師：（對學(xué)生的答案加以強調(diào)）使分母為0的a的值都會使分式無意義，所以當(dāng)a=1或a=2時，分式無意義;只要分母不為零，分式就會有意義，所以當(dāng)a不取1，2這兩個能使分母值為零的數(shù)時，分式都會有意義，故a≠1且a≠2.

師：大家已經(jīng)學(xué)習(xí)過代數(shù)式求值，還記得步驟嗎？

生18：化簡、代入、求值.

教師出示例題：當(dāng)a=1，2，-1時，分別求分式的值.

（教師讓學(xué)生分成三組，分別完成當(dāng)a=1，2，-1時分式的值. 學(xué)生完成后，教師讓三個學(xué)生代表板演）

師：當(dāng)a取1，2，-1時，分式的值相同嗎？

生19：不相同.

師：分式的值隨著a的變化而變化. 給定一個a值，就有唯一的一個分式值與之對應(yīng). 我們看到當(dāng)a取-1時，分式值為零.

（實物投影展示學(xué)生的解題過程，一起分析. 把a= -1代入計算后，分子為0而分母不為0，于是得到分式的值為0）

師：那么，當(dāng)a取何值時，分式的值為0？

生20：由分子為0，得到a=1或a=-1;由分母不為0，得到a≠1. 所以a=-1.

生21：由分子為0，得到a=1或a=-1. 而后將a的兩個值代入分母中驗證是否讓分母為0. 最后舍去讓分母等于0的a=1，得到a=-1.

生22：將分式約分成a+1后，令a+1=0也可以得到結(jié)果.

（教師肯定了生20和生21的回答. 對于生22的回答，應(yīng)及時指出問題在于分子、分母同時約去了（a-1），但不能確保a-1≠0，所以這種方法不嚴(yán)謹(jǐn)，不能用. 但對于學(xué)生善于思考，能類比分?jǐn)?shù)約分得到分式約分的想法，教師應(yīng)給予肯定）

師：（繼續(xù)提問，“思維步步高”）當(dāng)a取何值時，分式的值為0？

生23：由分子為0，得到a=2或a=-2;由分母不為0，得到a≠2. 所以a=-2.

（教師總結(jié)、歸納了分式值為0的條件：①分子等于0;②分母不等于0. 這兩個條件缺一不可，同時向?qū)W生強調(diào)：分式值為0的前提是分式有意義，重點講清兩者之間的關(guān)系）

（學(xué)生掌握了分式有意義、無意義、分式何時值為0的條件后，下面進入“凌絕頂”）

師：請同學(xué)們活學(xué)活用. 請按照要求構(gòu)造分式：（1）當(dāng)x=1時分式無意義;（2）當(dāng)x=5或x=2時，分式的值為0. 請同學(xué)們四人小組展開討論，然后由小組代表發(fā)言.

（學(xué)生分組討論）

第（1）問的答案：或等滿足條件的分式;問題（2）的答案：或或等，結(jié)論是開放的.

師：同學(xué)們對分式的意義、判定等知識、過程和方法都掌握得很好了. 然而，你知道我國古人是怎樣表示分式的嗎？（“數(shù)學(xué)文化廣角”）

你知道古人是怎么表示分式的嗎？例如分式表示成，分式表示為 等. 分式最早是由中國清代數(shù)學(xué)家、翻譯家、教育家李善蘭（1811-1882）翻譯西方近代科學(xué)著作時提出的. 他一部分直接引入西方符號，又結(jié)合天干（甲、乙、丙……）和地支（子、丑、寅……），外加“天”“地”“人”“物”4個字表示26個英文字母a，b，c…. 對于分?jǐn)?shù)和分式，采用倒排的表示方法.

（數(shù)學(xué)史料的展示，讓學(xué)生了解了分式的表示在不斷簡化，且越來越方便. 同時，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，滲透了數(shù)學(xué)文化）

師：這節(jié)課你學(xué)到了什么？你還有哪些疑惑？

（學(xué)生總結(jié)）

師：（布置作業(yè)）（1）基礎(chǔ)性作業(yè)：課本知識技能第1、2題. （2）提高性作業(yè)：請你以身邊的事為背景，編一道能用我們今天所學(xué)知識解決的題目.

評析

這節(jié)課是山東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)數(shù)學(xué)組開展的初中拓展式數(shù)學(xué)課堂教學(xué)探索課題的一節(jié)典型課例. 這節(jié)課著重體現(xiàn)了拓展式數(shù)學(xué)課堂教學(xué)三個模塊的教學(xué)特征.

1. 第一模塊：數(shù)學(xué)知識的拓展

這節(jié)課以北師大版為藍本，在整合青島版、人教版和華東師大版有關(guān)分式認(rèn)識的基礎(chǔ)上，確立了了解分式的概念、會求分式的值、理解分式有無意義和分式值為0的條件等知識內(nèi)容目標(biāo)，在教材的現(xiàn)有知識呈現(xiàn)基礎(chǔ)上，適度調(diào)整、整合和拓展. 其一，從現(xiàn)實生活和學(xué)生的實際需要出發(fā)，通過學(xué)生身邊文明創(chuàng)建的實例進行德育滲透，對學(xué)生進行數(shù)學(xué)史教育，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的發(fā)生與發(fā)展，更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間本來的內(nèi)在聯(lián)系. 這也能極大地滿足學(xué)生學(xué)習(xí)的需要，使得學(xué)習(xí)內(nèi)容在更為現(xiàn)實和廣闊的背景下獲得充實、深化和提高. 其二，這節(jié)課注重了分式概念的獲得與體驗，讓學(xué)生通過觀察、類比、歸納，得出整式與分式的異同，經(jīng)歷分式概念等知識的形成過程，掌握概念的本質(zhì)特征，體會分式是表示現(xiàn)實世界中的一類量的數(shù)學(xué)模型，滲透類比的數(shù)學(xué)思想方法. 其三，注重知識歸納，應(yīng)用拓展. 課堂上，教師通過分享同學(xué)們構(gòu)造的分式，理解分式的分母中必須含有字母. 學(xué)習(xí)分式的概念，類比分?jǐn)?shù)后，學(xué)生知道分式中的分母不能為零，于是教師引導(dǎo)學(xué)生注意到分式的分母中含有字母，而字母可以代表任意數(shù)，分母的值可能為0，讓學(xué)生理解分式的意義. 這樣的操作能讓學(xué)生進一步理解分式無意義、有意義的同時，理解“或”和“且”的不同，從而進一步拓展對分式的認(rèn)識.

2. 第二模塊：數(shù)學(xué)思維的拓展

拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的基本教學(xué)目標(biāo)之一. 這節(jié)課通過問題變式進行思維拓展，取得了顯著的教學(xué)效果. 教師精選例題，通過例題中的第（1）問引導(dǎo)學(xué)生理解給定一個a值，就有唯一的一個分式的值與之對應(yīng)，滲透函數(shù)思想. 接著，通過三道變式題讓學(xué)生理解分式的值為0的前提是分式有意義. 所以分式值為0的條件是分子為0且分母不能為0. 再通過設(shè)置一個開放性問題，讓學(xué)生在構(gòu)造分式的同時進一步理解分式的意義及分式值為0的條件. 教學(xué)中，教師適時安排小組合作與討論，培養(yǎng)學(xué)生的合作學(xué)習(xí)意識和能力. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)搭建平臺，尊重學(xué)生的思維方式和探索精神，根據(jù)學(xué)生的差異進行數(shù)學(xué)思維拓展，給予學(xué)生展示自我的空間，從而使開發(fā)并拓展數(shù)學(xué)思維成為可能.

3. 第三模塊：數(shù)學(xué)文化的拓展

拓展式數(shù)學(xué)課堂應(yīng)充分展示數(shù)學(xué)文化的魅力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 所以教師應(yīng)在教學(xué)中適時進行文化滲透、課外拓展. 這節(jié)課，教師在教學(xué)中穿插了李善蘭（1811-1882）翻譯西方近代科學(xué)著作時的分式表示，對學(xué)生進行了數(shù)學(xué)史教育，能讓學(xué)生通過分式表示從繁到簡的大致過程，感受到數(shù)學(xué)的發(fā)生與發(fā)展，體會唯物辯證法的核心思想——發(fā)展、運動與變化，升華了學(xué)生對分式的理解和認(rèn)識，也增進了學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng).

此外，教師布置的以身邊的事為背景，編一道能用今天所學(xué)知識解決的題目作為拓展性作業(yè)，形式新穎，滿足了不同層次學(xué)生的發(fā)展需要，能讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)來源于生活并應(yīng)用于生活，從而把對知識的鞏固學(xué)習(xí)延伸到課外，增強了學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.

參考文獻：

[1]傅海倫，權(quán)奎，孟慶玲，刁桂蘭. 數(shù)學(xué)拓展式課堂教學(xué)及案例分析[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2016（8）.

[2]王曉，傅海倫，徐小惠，于春杰. 數(shù)學(xué)拓展式習(xí)題課變式問題的教學(xué)策略[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017（2）.