龍婧，孔哲，潘濤

(西安航天動(dòng)力技術(shù)研究所，陜西 西安 710025)

0 引言

隨著現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)作戰(zhàn)需求的多樣化，以及固體變推力發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù)的發(fā)展，小型戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈將具有一定程度的自主變速能力，因此在進(jìn)行末制導(dǎo)律設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)同時(shí)考慮速度變化。但目前大多數(shù)基于比例導(dǎo)引律[1-4]、最優(yōu)制導(dǎo)律[5-8]以及滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律[9-12]而展開的落角約束末制導(dǎo)律研究均假定導(dǎo)彈速度恒定，關(guān)于速度時(shí)變的研究較少?，F(xiàn)有的幾篇文獻(xiàn)中，馬國欣[13]等將導(dǎo)彈的速度信息視為是部分先驗(yàn)已知的，通過對(duì)導(dǎo)彈速度曲線進(jìn)行預(yù)測(cè)并根據(jù)當(dāng)前時(shí)刻測(cè)得的實(shí)際速度大小對(duì)其進(jìn)行更新，從而得到了導(dǎo)彈速度的變化規(guī)律。Taub[14]對(duì)預(yù)測(cè)的速度不斷進(jìn)行數(shù)值迭代獲得了接近實(shí)際的速度變化規(guī)律，并基于最優(yōu)控制極小值原理推導(dǎo)出了落角約束末制導(dǎo)律。這2篇文獻(xiàn)都將速度預(yù)測(cè)為時(shí)間的函數(shù)，實(shí)際過程中需要不斷進(jìn)行更新或者迭代，增加了推導(dǎo)過程的難度。

本文直接將導(dǎo)彈速度假設(shè)為相對(duì)距離的指數(shù)函數(shù)，通過建模引入了脫靶量和落角約束，根據(jù)最優(yōu)控制原理直接求解黎卡提方程，獲得了考慮速度時(shí)變的帶落角約束的制導(dǎo)律解析表達(dá)式。仿真表明，該制導(dǎo)律能夠滿足設(shè)計(jì)要求，并可以適用于不同速度變化的情形，相比傳統(tǒng)的最優(yōu)彈道成型末制導(dǎo)律具有更平直的彈道和更小的需用過載。

1 問題描述與建模

首先進(jìn)行以下假設(shè)：①導(dǎo)彈和目標(biāo)均視作質(zhì)點(diǎn)，在二維平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且目標(biāo)靜止；②忽略導(dǎo)彈和目標(biāo)受到的重力作用；③末制導(dǎo)階段導(dǎo)彈速度矢量與彈目連線之間的夾角為小量。末制導(dǎo)段彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)如圖1所示。

圖1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系圖Fig.1 Relative motion relationship betweenmissile and target

圖1中，M代表導(dǎo)彈位置，T代表目標(biāo)位置。r，q，θ分別為彈目相對(duì)距離、目標(biāo)視線角以及導(dǎo)彈的彈道傾角，v為導(dǎo)彈當(dāng)前時(shí)刻的速度。

相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程可以描述為

(1)

(2)

對(duì)式(2)求導(dǎo)并聯(lián)立式(1)可得

(3)

為了滿足脫靶量以及末端落角約束，選取狀態(tài)變量如下：

(4)

式中：θd為導(dǎo)彈的期望落角。

則上述問題可以表達(dá)為系統(tǒng)狀態(tài)方程的形式：

(5)

終端約束條件為x1(tf)=0，x2(tf)=0。

選擇二次型性能指標(biāo)如下：

(6)

式中：R為對(duì)稱正定矩陣;F為半正定對(duì)稱矩陣。選取R=1，F(xiàn)-1=0，將導(dǎo)彈末端約束問題轉(zhuǎn)化為典型的最優(yōu)控制問題。

2 最優(yōu)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

根據(jù)最優(yōu)控制理論[15]可知，第2節(jié)描述的問題的最優(yōu)解存在且唯一，即

u*=-R-1BTPx,

(7)

式中:P為滿足黎卡提方程的對(duì)稱矩陣，可以通過求解逆黎卡提方程得到。

逆黎卡提方程如下：

(8)

令

(9)

由于P為對(duì)稱矩陣，q12=q21。

則式(8)可以寫為

(10)

即

(11)

將式(11)展開后可得

(12)

假定導(dǎo)彈在制導(dǎo)過程中的速度可控，并可近似寫成彈目相對(duì)距離r的指數(shù)函數(shù)的形式，如式(13)所示：

v=kra,

(13)

式中：k和a為常數(shù)，且滿足k>0，a<0。當(dāng)導(dǎo)彈速度為常值時(shí)，a=0。對(duì)式(13)求導(dǎo)可得速度變化率為

(14)

此外，根據(jù)第1節(jié)假設(shè)(3)可得

(15)

聯(lián)立式(12)～(15)求解即可得到矩陣Q如下：

(16)

P=Q-1=

(17)

將k1，k2，k3代入式(17)中，則

(18)

將式(7)展開，代入矩陣B，P，x，最終可以得到

(19)

最優(yōu)制導(dǎo)律為

(20)

當(dāng)a=0時(shí)，導(dǎo)彈速度為常值，導(dǎo)引律為

(21)

與文獻(xiàn)[5]中給出的相同。

1.1 對(duì)象 選擇2011年1—12月在我院行前列腺電切術(shù)患者40例為觀察組，年齡53～79歲，平均年齡68.0歲，實(shí)施臨床護(hù)理路徑方法;以2010年1—12月在我院行前列腺電切術(shù)患者40例為對(duì)照組，年齡在56～81歲，平均年齡71.0歲，采用常規(guī)護(hù)理方法。入選條件:診斷明確，沒有嚴(yán)重的合并癥，且患者能配合完成各項(xiàng)治療和護(hù)理。兩組患者在年齡、文化程度等比較差異無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義(P＞0.05)，具有可比性。

3 仿真分析

設(shè)初始時(shí)刻導(dǎo)彈的坐標(biāo)為(0,4 000m)，目標(biāo)的坐標(biāo)為(3 000 m,0)。初始時(shí)刻導(dǎo)彈的彈道傾角為0，導(dǎo)彈的期望落角為-60°。

(22)

3.1 仿真校驗(yàn)

為了研究不同速度變化情況下本文提出制導(dǎo)律的性能，在上述仿真條件下，分別取a=-0.2，k=550；a=-0.6，k=16 500；以及a=-1，k=500 000進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖2所示。

仿真結(jié)果表明，在初速相同，導(dǎo)彈采用不同的加速度飛向目標(biāo)的條件下，本文給出的制導(dǎo)律都能夠以要求的落角擊中目標(biāo)，導(dǎo)彈軌跡以及彈道傾角變化較為平緩，法向過載較小，而且在彈道末端導(dǎo)彈的法向過載有趨于0的趨勢(shì)。因此，本文提出的制導(dǎo)律有效且具有良好的綜合性能。

3.2 與傳統(tǒng)最優(yōu)制導(dǎo)律對(duì)比

為了研究本文給出的末制導(dǎo)律與傳統(tǒng)的最優(yōu)末制導(dǎo)律即式(20)與式(21)的區(qū)別，進(jìn)行了如下仿真。

其次對(duì)速度曲線的不同擬合情況進(jìn)行對(duì)比。由圖3d)可以看出，擬合速度1的精度高于擬合速度2，所以制導(dǎo)律1相比制導(dǎo)律3具有更平緩的彈道和更小的法向過載，但二者差距并不明顯，這說明速度曲線擬合精度要求不必太高。

綜上，在較大的擬合精度范圍內(nèi)，本文給出的制導(dǎo)律都具有高于傳統(tǒng)最優(yōu)制導(dǎo)律的綜合性能，因此，當(dāng)導(dǎo)彈速度時(shí)變時(shí)，可以用速度關(guān)于相對(duì)距離的指數(shù)函數(shù)對(duì)導(dǎo)彈預(yù)設(shè)的速度曲線進(jìn)行擬合，并根據(jù)式(20)得到性能良好的制導(dǎo)律。

圖2 不同參數(shù)條件下的仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results with different parameters

圖3 勻加速情況下最優(yōu)制導(dǎo)律對(duì)比Fig.3 Comparison of optimal guidance law with constant acceleration

4 結(jié)束語

本文根據(jù)小型戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈可能具有的自主變速能力，提出了速度時(shí)變條件下滿足脫靶量和落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律。仿真結(jié)果證明了推導(dǎo)中各個(gè)假設(shè)的合理性以及該制導(dǎo)律的有效性。所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，精度良好，適用范圍廣，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。