李瑞云

【摘要】APOS理論是美國數學家杜賓斯等人對數學概念的學習提出的理論，包含四個階段：活動階段、程序階段、對象階段、圖式階段，并運用于指導實踐教學.本文結合APOS理論進行“導數的概念”的教學設計，以期對高中導數的概念教學有所幫助和啟示.

【關鍵詞】概念教學;APOS理論;教學設計;導數概念

APOS理論是美國數學家杜賓斯基等人基于建構主義理論發(fā)展起來的數學概念學習的理論模型，包含四個階段：活動階段（Action），程序階段（Process），對象階段（Object），圖式階段（Scheme）.[1]

一、基于APOS理論的導數的概念的教學設計

（一）活動階段：創(chuàng)設情境，感知瞬時變化率

高鐵的每一節(jié)車廂都有一個速度顯示表（如圖所示），那么310 km/h表示的是什么速度？

分析：在這一階段創(chuàng)設情境，給學生提供實際生活的例子，使其親身感受生活中的直觀背景與概念之間的關系，學生在“活動”中形成對瞬時變化率主觀認識的思考，能更好地理解概念.

（二）程序階段：不斷設問，體驗導數概念形成的過程

我們上節(jié)課學習了平均變化率和瞬時變化率，求平均變化率的步驟是什么？怎樣求函數y=f（x），x從x0到x1平均變化率？

一小球做自由落體運動，其運動方程為：s=12gt2，t∈[0，10]（g=9.8m/s2）

問題1：小球在t∈[1，2] s之間的平均速度是多少？

問題2：小球在2 s末的瞬時速度是多少？

問題3：平均速度就是2 s末的瞬時速度嗎？

分析：此處主要通過不斷設問，引導學生理解越逼近2 s范圍的平均速度就越與2 s末的瞬時速度誤差小，利用逼近思想得出2 s末的瞬時速度.

在這一階段設計有啟發(fā)、有層次的問題，充分發(fā)揮學生的直觀與抽象思維的碰撞，引導學生積極主動參與知識產生的過程，使得學生對“活動”階段進行描述和反思，進一步對瞬時變化率的思考，為建構導數這個“對象”起到鋪墊作用.

（三）對象階段：建構對象，導數概念形式化，符號化

問題4：若用f（x）來表示這個變化率問題中的函數問題，那么函數y=f（x）在點x=x0處的瞬時變化率如何呢？

分析：通過問題1和2結合畫圖及列表格分析函數y=f（x）在點x=x0處的瞬時變化率，經歷由一個具體的物理問題擴展到一般的函數來理解.引導學生從理解瞬時變化率過渡到導數概念的形成，進而得到導數的概念.

在這一階段學生對導數概念形式化、符號化，明確瞬時變化率與導數概念的聯(lián)系，認識導數概念的本質.此時學生初步理解導數的概念，要使其成為一個具體的“對象”，需返回“活動”階段，在“活動”的基礎上進一步完善“程序”，經過不斷循環(huán)之后，才能對導數概念從“對象”階段上升到“圖式”階段.

（四）圖式階段：設計練習，建立綜合心理圖式

練習：1.求 limΔx→0f（2+Δx）-f（2）Δx=（）.

（1）根據求函數y=f（x）在點x0處的導數的步驟，函數在x=2處的導數是什么？

（2）其實際意義又是什么？

小結：回顧本節(jié)課所學內容，總結導數的概念形成過程，深化理解用數學語言描述導數的概念.

分析：通過以上三個階段的教學，學生已經建立如下的心理圖式：實際生活中導數思想的直觀感知如高鐵的瞬時速度、瞬時變化率與平均變化率的區(qū)別、瞬時變化率與導數的聯(lián)系及形成過程等.教師設計理解導數概念的練習，使學生體會導數概念的運用及瞬時變化率的實際意義.通過練習與其變式，感受導數的形式的變化，兩道選擇題是互逆的，引導學生觀察四個選項的區(qū)別及與f′（-1）的聯(lián)系，實現學生對導數概念的直觀感受與互逆思維的“碰撞”;例題側重在理解導數在實際應用中的實際意義，引導學生回歸“函數y=f（x）在x0點的導數就是瞬時變化率”的意義中去.

在這一階段，可采用變式教學如在例題基礎上變式等對導數概念進行具體運用，加深學生對導數概念的理解，幫助學生對導數概念的認識由“對象”上升到“圖式”的高度.

二、教學反思

APOS理論強調學習是需要學生主動建構的，通過創(chuàng)設問題情境，根據學生對已有的知識引入瞬時變化率，由此過渡到導數的概念，激發(fā)學生求知欲，感受學習導數概念的重要性.而導數概念的學習不能只是流于形式，要凸顯數學核心素養(yǎng)，上升到抽象層面，在設計導數概念的教學時，需要把導數形成的“活動”與“程序”向“對象”階段轉化，最后達到“圖式”階段，體現導數概念的本質與內涵.

【參考文獻】

[1]鮑建生，周超.數學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.