王曉偉 郭建友

(安徽大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院,合肥 230601)

在復(fù)動量表象下引入格林函數(shù),建立了復(fù)動量格林函數(shù)方法.把這種方法應(yīng)用于n-α散射系統(tǒng),計算其散射相移.提取n-α系統(tǒng)的共振態(tài)并研究共振態(tài)對能級密度、相移和散射截面的貢獻(xiàn).在不引入任何非物理參數(shù)的前提下,離散化薛定諤積分方程得到束縛態(tài)、共振態(tài)和連續(xù)譜.通過分析散射態(tài)物理量可以更好地理解共振態(tài)以及非共振連續(xù)譜態(tài).在n-α系統(tǒng)中的成功應(yīng)用,證明了該方法的正確性.

1 引 言

眾所周知,散射是一種十分重要的物理現(xiàn)象,一直以來,核子散射都受到人們的廣泛關(guān)注.通過核散射現(xiàn)象,可以更好地了解核屬性、理解核結(jié)構(gòu),進(jìn)而掌握更多有關(guān)原子核的內(nèi)容和知識[1-3].

近年來,無論是在理論方面還是實(shí)驗(yàn)方面,物理學(xué)家提出許多核子散射研究方法.理論上,基于傳統(tǒng)的散射理論,提出了一系列新的解決方法,如R矩陣[4]、S矩陣[5]、K矩陣[6]、Jost函數(shù)[7]、多通道代數(shù)散射理論[8]、平面玻恩近似、Hugenholtzvan Hove理論[9-13]以及復(fù)標(biāo)度方法(CSM)[14,15]等;實(shí)驗(yàn)上,核散射技術(shù)也在持續(xù)不斷地改進(jìn)和發(fā)展[16],例如,在20世紀(jì)中期,Brussel和Williams[17]做過以α粒子為靶核的中子散射實(shí)驗(yàn),除此之外,文獻(xiàn)[18—28]都報道了與n-α散射相關(guān)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).值得指出的是,每種方法都因其自身獨(dú)特的性質(zhì)得到大家的認(rèn)可,然而調(diào)查發(fā)現(xiàn),有些方法也都有值得完善和改進(jìn)的空間.如CSM,在計算過程中具有對角度參數(shù)θ的依賴性[29],這使得計算相對有一點(diǎn)復(fù)雜.鑒于此,文獻(xiàn)[30—32]給出了一種新的方法,即復(fù)動量表象(CMR).目前,又進(jìn)一步在CMR下引入格林函數(shù)[33],發(fā)展了復(fù)動量格林函數(shù)(CMR-GF)方法.該方法是在動量空間中求解薛定諤方程,無需考慮邊界條件,已成功地應(yīng)用到相對論平均場中來研究狄拉克粒子中的共振態(tài).另外,CMR-GF方法還具有以下3個優(yōu)點(diǎn)：1)不僅可以得到束縛態(tài)也可以得到共振態(tài)以及非共振連續(xù)譜;2)不僅適用于寬共振也適用于窄共振;3)不引入任何非物理參數(shù).

研究發(fā)現(xiàn),n-α彈性散射是探測核相互作用的重要手段,近年來受到國際上許多研究組的關(guān)注[34-36],成為核散射研究的熱門課題.目前,尚未見用CMR-GF方法來研究n-α系統(tǒng)的彈性散射.用CMR-GF方法能夠提取其中的共振態(tài),進(jìn)一步探究共振態(tài)對該系統(tǒng)中連續(xù)譜能級密度(CLD)的貢獻(xiàn)、CLD與R矩陣緊緊相關(guān),可以用一個光滑的實(shí)能量函數(shù)進(jìn)行描述[37-39],然后從能級密度導(dǎo)出n-α系統(tǒng)散射態(tài)相移和截面.反之,散射相移方法也可以用來研究單粒子共振態(tài)[40],借助對散射數(shù)據(jù)的分析反過來更深入地理解共振態(tài)結(jié)構(gòu)[41]為共振態(tài)引起的物理現(xiàn)象如暈、巨暈等[42,43]提供理論支撐.因此,在這里給出用CMR-GF方法來研究n-α散射的處理方案,同時把部分計算結(jié)果與已有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及其他理論結(jié)果進(jìn)行比較.比較發(fā)現(xiàn),CMR-GF方法在n-α系統(tǒng)中的應(yīng)用值得肯定.

本文第2部分詳細(xì)介紹CMR-GF方法的理論;第3部分給出結(jié)果與討論;第4部分為總結(jié).

2 理論模型

為了在復(fù)動量空間中研究n-α系統(tǒng)的共振態(tài),哈密頓量采用以下形式[3]：

勢場各參數(shù)如表1所列[44].動量空間中的薛定諤方程為

把(1)和(2)式同時代入到(3)式中,可以得到如下形式：

其中的Ψ(k)由兩部分組成,,分別表示動量波函數(shù)的徑向部分和角向部分;方程中的解包括束縛態(tài)、共振態(tài)和非共振連續(xù)譜態(tài)[30].

表1 n-α散射KKNN勢參數(shù)Table 1.Parameters of the n-α KKNN potential.

勢能矩陣表示如下：

眾所周知,CLD在相關(guān)的非束縛態(tài)理論模型和核實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中起著重要的作用[2],近年來,Kruppa和Arai[45,46]對CLD展開有趣的研究,通過計算CLD可以確定共振參數(shù),從CLD定義開始,引入格林函數(shù)[37]：

其中,Ψb(k),Ψr(k),Ψc(k) 分別是動量空間下的束縛態(tài)、共振態(tài)和非束縛連續(xù)譜態(tài)的波函數(shù);是對應(yīng)波函數(shù)的厄米共軛波函數(shù);Nb,Nr分別代表束縛態(tài)和共振態(tài)的個數(shù);Eb,Er,Ec分別是束縛態(tài)、共振態(tài)、連續(xù)譜態(tài)的本征能量值,其通式為E=Er+iEi.與文獻(xiàn)[2,48,49]相似,根據(jù)以上理論描述,可以得到態(tài)密度與連續(xù)態(tài)密度之間的差值,即CLD.

再根據(jù)CLD與相移之間的關(guān)系式,可以得到相移的表達(dá)式：

其中Nb表示束縛態(tài)個數(shù),δr表示共振態(tài)相移,δc表示連續(xù)譜相移,δk表示背景項相移.在彈性散射理論中,從分波法角度出發(fā),由相移和微分散射截面關(guān)系可以得到散射截面的表達(dá)式為

式中,k2=2Eμ/?2δ,l+表示自旋向上的態(tài)所對應(yīng)的相移;δl-表示自旋向下的態(tài)所對應(yīng)的相移.

3 結(jié)果與討論

利用前面所述理論來研究n-α系統(tǒng)的共振態(tài).為了使共振態(tài)能夠清晰地暴露在復(fù)動量平面內(nèi),需要選擇合適的積分路徑.動量積分下限為kmin= 0 fm-1,上限為kmax=1.5 fm-1,Gauss-Legendre有限積分格點(diǎn)數(shù)N= 180 ,以及在計算勢能矩陣時,Gauss-Hermite積分格點(diǎn)Nh=70 .以上參數(shù)的取值已足夠保證共振態(tài)清晰地出現(xiàn)在動量平面內(nèi)以及滿足計算所需的精度.

本文采用如下積分路徑.在圖1中,對于 P1/2態(tài)的研究,選取第一條積分路徑為k1=0.0 fm-1,k2=0.3-i0.3 fm-1,k3=0.8 fm-1,kmax=1.5 fm-1.同樣地,第二、第三、第四路徑的k2取值分別是k2=0.2-i0.3 fm-1,0.4-i0.3 fm-1,0.3-i0.35 fm-1.通過選取四種不同的積分路徑,可以看到路徑無論從左向右,還是由淺變深,共振態(tài)的位置都不會發(fā)生改變,也就是說共振態(tài)不依賴于積分路徑而獨(dú)立存在.

圖1 用CMR-GF方法在4種不同積分路徑下計算得到的n-α系統(tǒng)的 P1/2軌道的單粒子共振態(tài),圖中紅色五角星代表共振態(tài),點(diǎn)心圓圈代表非共振連續(xù)譜,綠色實(shí)線代表動量平面內(nèi)的積分路徑Fig.1.Single particle resonance states for P1/2orbital of n-α systems calculated by using CMR-GF method under four different integral paths.The red pentagram represents the resonant state,the circle represents the continuum,and the green solid line represents the integral path in the momentum plane.

從圖1可知,n-α系統(tǒng) P1/2態(tài)的共振態(tài)能量為(Er,Ei)=(2.13,-2.91) MeV;根據(jù)共振態(tài)能量與寬度的關(guān)系Γ=-2Ei,可知 P1/2態(tài)的共振寬度Γ=5.82 MeV,2002年所測得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[50]范圍為 (Er,Γ)=(1.27,5.57) MeV,目前由CSM方法提供的理論結(jié)果為 (Er,Γ)=(2.10,5.82) MeV[3].

同樣,選取 P3/2態(tài)的積分路徑k1=0.0 fm-1,k2=0.4-i0.3 fm-1,k3=0.8 fm-1,kmax=1.5 fm-1,其他三條路徑的k2取值分別為k2=0.3-i0.3 fm-1,0.5-i0.3 fm-1,0.4-i0.35 fm-1.其共振能量為(Er,Ei)=(0.739,-0.293) MeV;Γ= 0.59 MeV,目前實(shí)驗(yàn)上測得數(shù)據(jù)為 (Er,Γ) = (0.798,0.648) MeV.

通過對圖1和圖2的數(shù)據(jù)分析,得到 P1/2態(tài)的寬度大于 P3/2態(tài)的寬度,表明n-α系統(tǒng)的 P1/2是一個寬共振,而 P3/2是一個窄共振.由能級寬度和壽命的反比關(guān)系,進(jìn)而可知 P1/2共振態(tài)壽命較短,P3/2態(tài)的壽命相對較長.

借助圖1和圖2中的能量數(shù)據(jù),根據(jù)(8)式,得到P態(tài)CLD圖像,如圖3和圖4所示.減掉背景項之后,從圖3和圖4可知,CLD出現(xiàn)了共振峰,共振峰在橫軸上的投影所對應(yīng)的能量代表著該共振態(tài)的實(shí)部能量,圖中標(biāo)注的兩交點(diǎn)之間的距離即CLD的半高寬,代表該共振態(tài)的寬度.

相對于寬共振 P1/2態(tài),窄共振 P3/2共振峰更明顯、尖銳.變換四種不同的積分路徑,可以看到共振峰位置和寬度并沒有改變,CLD共振峰對積分路徑不具有依賴性,與文獻(xiàn)[2]中數(shù)據(jù)具有很好的一致性.

借助CLD圖像,通過共振峰寬度和尖銳程度,可以更直觀地判斷 P1/2是一個寬共振,而 P3/2態(tài)是一個窄共振,相對窄共振 P3/2態(tài),P1/2態(tài)有著更短的壽命.

為進(jìn)一步驗(yàn)證圖3和圖4結(jié)果的準(zhǔn)確度,根據(jù)(9)式得到了n-α系統(tǒng)P波散射相移,如圖5和圖6所示.圖中分別用紅色長虛線、藍(lán)色短虛線、黑實(shí)線描繪了共振態(tài)、連續(xù)譜和P態(tài)總相移,P態(tài)總相移是共振相移和連續(xù)譜相移之和,同時與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)以及R矩陣?yán)碚摻Y(jié)果進(jìn)行比較,對比發(fā)現(xiàn)三者具有很好的一致性.

從圖4可以清晰地看出,寬共振 P1/2態(tài)的共振相移先是緩慢增加超過 π/2 ,而后趨于平穩(wěn),而窄共振 P3/2態(tài)會快速增加超過 π/2 ,而后趨于平穩(wěn);然而對于連續(xù)譜相移,不管是 P1/2還是 P3/2,二者在第四象限內(nèi)趨勢十分相似,在0—25 MeV能量范圍內(nèi),連續(xù)譜相移在0— 0.5π 范圍內(nèi)依次遞減,這種現(xiàn)象的出現(xiàn)似乎受自旋-軌道耦合相互作用力的影響.

圖2 同圖1所示,計算得到的n-α系統(tǒng)的 P3/2軌道的單粒子共振態(tài),圖中紅色圓球代表共振態(tài),點(diǎn)心圓圈代表非共振連續(xù)譜,綠色實(shí)線代表是動量平面內(nèi)的積分路徑Fig.2.Single particle resonance states for P3/2orbital of n-α systems.The red sphere represents the resonant state,the circle represents the continuum,and the green solid line represents the integral path in the momentum plane.

圖3 在四種不同積分路徑下,用CMR-GF方法計算得到的 P3/2態(tài)CLDFig.3.CLD of the P3/2state under four different integral paths calculated by CMR-GF method.

圖4 在四種不同積分路徑下,用CMR-GF方法計算得到的 P1/2態(tài)CLDFig.4.CLD of the P1/2state under four different integral paths calculated by CMR-GF method.

P態(tài)總散射相移的性質(zhì)是由共振態(tài)和連續(xù)譜項共同決定的,盡管有連續(xù)譜的存在,仍然可以看到n-α散射依然保持共振行為.與其他理論結(jié)果及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[51,52]的比較再次證明CME-GF方法的有效性.

除了對相移的討論之外,為進(jìn)一步觀測共振參數(shù)對n-α散射的影響,利用(10)式可以得到散射態(tài)截面,圖7和圖8展示的是P波散射截面,分別給出了P波的共振截面和連續(xù)譜截面.從圖7和圖8發(fā)現(xiàn),P態(tài)的連續(xù)譜截面形狀相似,寬共振P1/2的共振截面峰相對較寬,而窄共振 P3/2的共振截面峰比較尖銳.

基于對部分散射態(tài)P態(tài)截面的分析,進(jìn)一步得到了n-α系統(tǒng)的總散射截,如圖9所示,系統(tǒng)總截面主要來源于 s態(tài)、 p1/2態(tài)、 p3/2態(tài)、 d3/2態(tài)、 d5/2態(tài)、 f5/2態(tài)、 f7/2態(tài)的貢獻(xiàn),之后的散射態(tài)(l≥4 )對系統(tǒng)截面的貢獻(xiàn)可以忽略.與文獻(xiàn)[28,53,54]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較,可以看出在高能區(qū)理論結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)能夠很好地符合.從總截面圖9還可以得出一個重要的信息,在低能量區(qū)2 MeV附近出現(xiàn)了尖峰,在高能區(qū)有一個長長的尾巴,出現(xiàn)了彌散現(xiàn)象,尖峰主要是來自于P波共振散射的貢獻(xiàn).

圖5 n-α散射系統(tǒng)的 P1/2態(tài)的相移(橘色長虛線表示共振態(tài)散射相移,紅色短虛線表示連續(xù)譜散射相移,黑色實(shí)線表示總散射相移,紫色圓圈表示由R矩陣?yán)碚撚嬎闼蒙⑸湎嘁?綠色五角星表示實(shí)驗(yàn)上的相移)Fig.5.The P1/2phase shift of n-α scattering system.The orange long dotted line represents the resonant scattering phase shift,the red short dotted line represents the continuum scattering phase shift,the black solid line represents the total scattering phase shift,the purple circle represents the scattering phase shift calculated byRmatrix theory,and the green stars represent the experimental data of the total scattering phase shift.

圖6 n-α散射系統(tǒng)的 P3/2態(tài)的相移(橘色長虛線表示共振態(tài)散射相移,紅色短虛線表示連續(xù)譜散射相移,黑色實(shí)線表示總散射相移,紫色圓圈表示由R矩陣?yán)碚撚嬎闼蒙⑸湎嘁?綠色五角星表示實(shí)驗(yàn)上的相移)Fig.6.The P3/2phase shift of n-α scattering system.The orange long dotted line represents the resonant scattering phase shift,the red short dotted line represents the continuum scattering phase shift,the black solid line represents the total scattering phase shift,the purple circle represents the scattering phase shift calculated byRmatrix theory,and the green stars represent the experimental data of the total scattering phase shift.

圖7 P1/2波散射的共振態(tài)截面、連續(xù)譜截面和總散射截面Fig.7.Resonant cross section,continuum cross section,and total scattering cross section of P1/2-wave scattering.

圖8 P3/2波散射的共振態(tài)截面、連續(xù)譜截面和總散射截面Fig.8.Resonant cross section,continuum cross section,and total scattering cross section of P3/2-wave scattering.

圖9 系統(tǒng)的總散射截面(實(shí)點(diǎn)表示計算結(jié)果,圓圈表示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù))Fig.9.Total scattering cross section of the n-α system.The solid points represent the calculated results,and the circles represent the experimental data.

4 結(jié)論與展望

本文通過對n-α散射結(jié)果討論與分析,表明了CMR-GF方法的可靠性.通過在動量空間中利用有限格點(diǎn)把薛定諤積分方程離散化,并且在相同動量基下求解共振態(tài)及非共振連續(xù)譜態(tài),使得nα散射共振態(tài)能夠清晰地暴露在復(fù)平面內(nèi).共振態(tài)的提取對該系統(tǒng)CLD、散射相移和截面的分析提供了很多幫助.

研究結(jié)果表明,共振參數(shù)與散射之間存在緊密的聯(lián)系,即散射態(tài)物理量中共振峰的出現(xiàn)主要是來自于共振態(tài)的貢獻(xiàn).理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合得很好,證明了該方法的準(zhǔn)確性,目前分析相移和截面的方法在核數(shù)據(jù)評估方面也起著非常重要的作用,對于分析散射反應(yīng)并進(jìn)一步研究核力性質(zhì)具有重要的意義.除此之外還有望把它拓展到相對論下研究粒子共振態(tài)問題,目的是得到更寬范圍的核數(shù)據(jù).