邵明月，武吉梅,，應(yīng)戍狄，王 硯，盧 瑤

(1.西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，陜西西安710048； 2.西安理工大學(xué) 印刷包裝與數(shù)字媒體學(xué)院， 陜西 西安 710048； 3.西安理工大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院， 陜西 西安 710048)

作用于系統(tǒng)的非保守力隨結(jié)構(gòu)的變形而變化，一般稱其為隨從力(follower force)或伴生力[1]，其作用機(jī)理與分布阻力有一定的相似性。非保守系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析在工程中有著廣泛的應(yīng)用，如運(yùn)動(dòng)的薄膜、飛行器等受到的空氣阻力都屬于非保守力。在印刷過程中，受到空氣阻力的影響，薄膜的振動(dòng)會(huì)出現(xiàn)更為復(fù)雜的動(dòng)態(tài)特性，從而嚴(yán)重影響印刷品的套印精度。本文以運(yùn)動(dòng)薄膜為研究對(duì)象，將空氣阻力?；癁殡S從力，對(duì)隨從力作用下的薄膜的非線性動(dòng)力學(xué)特性及其穩(wěn)定性進(jìn)行研究，為印刷機(jī)的設(shè)計(jì)、制造以及印刷機(jī)的穩(wěn)定性提供理論指導(dǎo)和依據(jù)。

對(duì)于隨從力作用下的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性研究，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)做了大量的工作。Higuchi 和Dowell[2]研究了受到切向隨從力的柔性矩形板的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性，結(jié)果表明阻尼和板的長(zhǎng)寬比對(duì)穩(wěn)定性有很大影響。Choo 和Kim[3]采用多尺度法研究了四個(gè)自由邊受脈沖隨從力作用下的各向同性和非對(duì)稱層合板的動(dòng)力穩(wěn)定性。Alidoost 和Rezaeepazhand[4]研究了受集中隨從力作用下的分層組合梁的振動(dòng)、屈曲和顫振不穩(wěn)定性問題。Robinson 和Adali[5,6]應(yīng)用微分求積法研究了切向均勻分布力和三角分布切向隨從力下粘彈性矩形板的動(dòng)力穩(wěn)定性問題。Lad 和 Kartik[7]研究了隨從力作用下軸向運(yùn)動(dòng)弦線的橫向振動(dòng)特性，分析了隨從力和粘性耗散對(duì)系統(tǒng)特征結(jié)構(gòu)的影響。Karimi-nobandegani等[8]應(yīng)用有限元法研究了裂紋對(duì)分布隨從力作用下旋轉(zhuǎn)非均勻梁的顫振不穩(wěn)定性的影響。李清祿等[9]研究了由陶瓷和金屬兩種材料組成的功能梯度材料(FGM)圓板在非保守隨從力作用下的穩(wěn)定性問題。Wang等[10]應(yīng)用無(wú)網(wǎng)格Galerkin方法研究了隨從力作用的粘彈性壓電層合板的穩(wěn)定性。Guo等[11]采用微分求積法研究了均勻分布的切向隨從力作用下熱彈性耦合矩形板的動(dòng)力特性和穩(wěn)定性。

近年來，已有人對(duì)運(yùn)動(dòng)矩形紙帶非線性振動(dòng)特性及穩(wěn)定性進(jìn)行研究。Marynowski[12]將運(yùn)動(dòng)薄膜簡(jiǎn)化成梁模型，并采用Galerkin 法和4階龍格庫(kù)塔法研究了二維軸向運(yùn)動(dòng)薄膜的非線性振動(dòng)特性。Soares 和Gon?alves[13]應(yīng)用有限元法研究了拉伸超彈性薄膜的非線性振動(dòng)和穩(wěn)定性問題。Liu等[14]采用數(shù)值分析法研究了預(yù)應(yīng)力矩形正交各向異性薄膜結(jié)構(gòu)在沖擊載荷作用下的非線性振動(dòng)響應(yīng)。王硯等[15]采用微分求積法研究了非均勻張力作用下薄膜的張力變化系數(shù)、長(zhǎng)寬比和運(yùn)動(dòng)速度對(duì)薄膜動(dòng)力特性及穩(wěn)定性的影響。Li等[16]研究了沖擊載荷下的各向異性薄膜結(jié)構(gòu)的非線性振動(dòng)響應(yīng)，并進(jìn)行了可靠性分析。

綜上，鮮見對(duì)隨從力作用下運(yùn)動(dòng)薄膜非線性振動(dòng)的研究。本文以印刷運(yùn)動(dòng)薄膜為研究對(duì)象，研究隨從力作用下的薄膜的非線性振動(dòng)特性。基于Von Karman薄板理論建立薄膜的橫向振動(dòng)方程，應(yīng)用Galerkin方法對(duì)振動(dòng)偏微分方程組進(jìn)行離散，利用數(shù)值法分析隨從力和無(wú)量綱速度對(duì)薄膜非線性振動(dòng)特性的影響。

1 紙帶的非線性振動(dòng)方程

圖1 隨從力下運(yùn)動(dòng)紙帶力學(xué)模型Fig.1 The mechanical model for the axially moving web subjected to follower force

平衡微分方程為：

(1)

其中Nx、Ny、Nxy、Nyx是薄膜單位長(zhǎng)度所受的張力值。

彈性曲面微分方程為：

(2)

式中，φ為內(nèi)力函數(shù)。

由中面內(nèi)力及撓度所表示的系統(tǒng)相容方程：

(3)

式中，μ為泊松比；E為彈性模量；h為薄膜厚度。

薄膜力用內(nèi)力函數(shù)φ可表示成：

(4)

由于薄膜單元的各個(gè)平衡微分方程相互之間是獨(dú)立的，所以可認(rèn)為：

(5)

根據(jù)Von Karman大撓度薄板理論[18]得到隨從力作用下運(yùn)動(dòng)薄膜的非線性振動(dòng)方程組為：

(6)

對(duì)式(6)引入下列無(wú)量綱量：

(7)

則式(6)可化為無(wú)量綱形式：

(8)

對(duì)于上述大撓度振動(dòng)的基本方程，其邊界條件為:

(9)

(10)

2 系統(tǒng)狀態(tài)方程

采用分離變量法和Galerkin法對(duì)式(8)進(jìn)行離散，令:

w(ξ,η,t)=W(ξ,η)q(t)

(11)

f(ξ,η,t)=F(ξ,η)q2(t)

(12)

式中，q(t)為時(shí)間變量。

取滿足邊界條件的位移函數(shù)為：

W(ξ,η)=sinπξsinπη

(13)

將式(13)代入式(8)中，得到

(14)

求解式(14)，得出:

(15)

由Galerkin法得：

(16)

因此運(yùn)動(dòng)薄膜非線性振動(dòng)的系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

(17)

其中

(18)

則有:

(19)

其中:

(20)

3 數(shù)值法求解

對(duì)式(19)首次積分得：

(21)

令:

(22)

可以得:

(23)

(24)

其中Z(n)為第一類完全橢圓積分，由此可得隨從力下運(yùn)動(dòng)薄膜非線性振動(dòng)的頻率為：

(25)

其中:

(26)

可得:

(27)

其中:

(28)

4 結(jié)果及分析

4.1 非線性振動(dòng)頻率與隨從力的關(guān)系

圖2為初始運(yùn)動(dòng)條件L=1和無(wú)量綱速度c=0.5，長(zhǎng)寬比r分別取0.5、1、2時(shí)，軸向運(yùn)動(dòng)薄膜非線性振動(dòng)復(fù)頻率ω與隨從力Q之間的變化曲線。

令薄膜的長(zhǎng)寬比r不變，由圖2可知：當(dāng)隨從力Q=0時(shí)，無(wú)量綱復(fù)頻率ω是一個(gè)實(shí)數(shù)；隨著隨從力Q的逐漸增大，復(fù)頻率ω的實(shí)部逐漸減小，而虛部始終為零，說明運(yùn)動(dòng)薄膜進(jìn)行的大撓度振動(dòng)很??；當(dāng)隨從力Q繼續(xù)增大到0.13，且長(zhǎng)寬比r=0.5時(shí)，模態(tài)頻率ω的實(shí)部減小至零，當(dāng)隨從力為0.195時(shí)，虛部開始由零逐漸增大，此時(shí)薄膜開始發(fā)散失穩(wěn)。

因此，比較不同長(zhǎng)寬比r的運(yùn)動(dòng)薄膜，可以明顯看出，長(zhǎng)寬比r越小，隨從力Q越大時(shí)，薄膜越容易產(chǎn)生振動(dòng)發(fā)散失穩(wěn)現(xiàn)象。

圖3為初始運(yùn)動(dòng)條件L=0和無(wú)量綱速度c=0.5，長(zhǎng)寬比r分別取0.5、1、2時(shí)，軸向運(yùn)動(dòng)薄膜非線性振動(dòng)復(fù)頻率ω的實(shí)部和虛部與隨從力Q之間的變化曲線。

由圖3可知：隨著隨從力的逐漸增大，薄膜非線性振動(dòng)的無(wú)量綱復(fù)頻率ω實(shí)部始終為零(即頻率ω為純虛數(shù))，而虛部始終為定值。由此說明薄膜始終是發(fā)散失穩(wěn)的，隨從力的變化不影響系統(tǒng)發(fā)散失穩(wěn)的快慢，且該現(xiàn)象與薄膜的長(zhǎng)寬比無(wú)關(guān)。

圖2 L=1時(shí)無(wú)量綱非線性振動(dòng)復(fù)頻率ω與隨從力Q的變化曲線Fig.2 The relationship between dimensionless complex frequency and follower force when L=1

圖3 L=0時(shí)無(wú)量綱復(fù)頻率ω與隨從力Q的變化曲線Fig.3 The relationship between dimensionless complex frequency and follower force when L=0

4.2 非線性振動(dòng)頻率與速度的關(guān)系

圖4為初始運(yùn)動(dòng)條件L=1和長(zhǎng)寬比r=1，隨從力Q分別取0、0.5、1時(shí)，軸向運(yùn)動(dòng)薄膜非線性振動(dòng)復(fù)頻率ω隨運(yùn)動(dòng)速度變化的關(guān)系曲線。

令薄膜的隨從力Q不變，由圖4可知：當(dāng)無(wú)量綱速度c=0時(shí)，無(wú)量綱復(fù)頻率ω是一個(gè)實(shí)數(shù)；隨著無(wú)量綱速度c的逐漸增大，復(fù)頻率ω的實(shí)部逐漸減小，而虛部始終為零，說明運(yùn)動(dòng)薄膜進(jìn)行的大撓度振動(dòng)很??；若速度c繼續(xù)增大到某個(gè)值時(shí)，模態(tài)頻率ω的實(shí)部減小至零，而虛部開始由零逐漸增大，此時(shí)薄膜開始發(fā)散失穩(wěn)。

因此，比較不同隨從力Q的運(yùn)動(dòng)薄膜，可以明顯看出，隨從力Q越小，薄膜振動(dòng)失穩(wěn)的臨界速度越大，也就是說，減小薄膜的隨從力Q可提高薄膜振動(dòng)失穩(wěn)的臨界速度，使失穩(wěn)的臨界速度高于薄膜的工作速度，能夠有效地保證薄膜工作在穩(wěn)定的狀態(tài)。

圖4 L=1時(shí)無(wú)量綱復(fù)頻率ω與無(wú)量綱速度c的變化曲線Fig.4 The relationship between dimensionless complex frequency and dimensionless velocity when L=1

圖5給出的是初始運(yùn)動(dòng)條件L=0，長(zhǎng)寬比r=1，隨從力Q分別取0、0.5、1時(shí)，軸向運(yùn)動(dòng)薄膜非線性振動(dòng)復(fù)頻率ω的實(shí)部和虛部隨運(yùn)動(dòng)速度變化的關(guān)系曲線。由圖5可知：隨著運(yùn)動(dòng)薄膜無(wú)量綱速度的逐漸增大，薄膜非線性振動(dòng)的無(wú)量綱復(fù)頻率ω實(shí)部始終為零(即頻率ω為純虛數(shù))，而虛部由零開始增大。由此說明薄膜始終處于發(fā)散失穩(wěn)的狀態(tài)，速度越大，發(fā)散失穩(wěn)越快，且該現(xiàn)象與薄膜的隨從力無(wú)關(guān)。

圖5 L=0時(shí)無(wú)量綱復(fù)頻率ω隨無(wú)量綱速度c的變化曲線Fig.5 The relationship between dimensionless complex frequency and the dimensionless velocity when L=0

5 結(jié) 論

1) 薄膜的非線性振動(dòng)對(duì)初始運(yùn)動(dòng)條件有敏感依賴性，運(yùn)動(dòng)條件不同，薄膜的非線性振動(dòng)特性有顯著差別。

2) 初始運(yùn)動(dòng)條件L=1和無(wú)量綱速度c=0.5，長(zhǎng)寬比r越小，薄膜隨從力越大時(shí)，薄膜越容易產(chǎn)生振動(dòng)發(fā)散失穩(wěn)現(xiàn)象。適當(dāng)增加薄膜的長(zhǎng)寬比，減小隨從力，可有效避免大撓度非線性振動(dòng)的產(chǎn)生。

3) 當(dāng)初始運(yùn)動(dòng)條件L=0和無(wú)量綱速度c=0.5時(shí)，薄膜始終處于大撓度振動(dòng)狀態(tài)，隨從力的變化不影響系統(tǒng)發(fā)散失穩(wěn)的快慢，且該現(xiàn)象與薄膜的長(zhǎng)寬比無(wú)關(guān)。

4) 初始運(yùn)動(dòng)條件L=1和長(zhǎng)寬比r=1時(shí)，減小薄膜的隨從力Q可提高薄膜振動(dòng)失穩(wěn)的臨界速度，使失穩(wěn)的臨界速度高于薄膜的工作速度，能夠有效地保證薄膜工作在穩(wěn)定的狀態(tài)。

5) 初始運(yùn)動(dòng)條件為L(zhǎng)=0，長(zhǎng)寬比為r=1時(shí)，薄膜始終處于發(fā)散失穩(wěn)的狀態(tài)，速度越大，發(fā)散失穩(wěn)越快，減小薄膜無(wú)量綱運(yùn)動(dòng)速度c，可以有效避免大撓度非線性振動(dòng)現(xiàn)象的產(chǎn)生。