廖曉青
[摘 ?要] 幾何動點問題是中考常見的重難點問題,在解析問題時需要采用合適的策略,構建合理的模型和思路,常用的策略有“動”“靜”之間的轉化與結合,文章結合實例探討化動為靜、動中取靜、以靜制動、動靜結合四種策略.
[關鍵詞] 動點;幾何;恒定條件;模型;函數(shù)關系;特殊位置
幾何動點問題是初中數(shù)學較為典型的問題,圖形中由于點的位置變化會引起眾多幾何元素的變化,例如線變、面變和形變,因此學生在解析時容易陷入思維停滯,難以獲得解題思路. 一般而言,解析思路有兩條:一是提煉動態(tài)圖形中的不變內容,二是利用特殊模型來研究動點狀態(tài). 下面對其轉化策略進行探究.
化動為靜,把握不變條件
動點問題的難點在于對幾何動態(tài)的轉化,因此某些動點問題可以采用“化動為靜”的策略,從中提煉恒定條件,將問題轉化為一般的靜態(tài)問題,從而快速獲得問題突破的思路. 例如,與速度相關的雙動點問題,可以分析動點的速度,提取動點之間的位移關系.
例1:如圖1所示,△ABC為等邊三角形,在頂點的A和C處各放置一只蝸牛,兩只蝸牛同時以相同的速度,分別向著點B和點A爬行. 若經(jīng)過時間t后,兩只蝸牛分別爬行到了點D和點E處,回答下列問題:
(1)在爬行的過程中,線段CD和BE是否一直相等.
(2)若將原題中“分別向著點B和點A爬行”改為“沿著AB和CA的延長線爬行”,而EB與CD的交點為Q,其他條件不變,如圖2所示,蝸牛爬行過程中∠CQE的大小保持不變,試求證∠CQE =60°.
分析 由于兩只蝸牛分別從A和C出發(fā),爬行的速度相同,則經(jīng)過時間t后所走的路程也相同,即AD=CE,可利用該條件解析問題.
解 (1)根據(jù)題意可知AC=BC,∠A=∠ACB=60°,且AD=CE,在△DAC和△ECB中,AD=CE,∠A=∠BCE,AC=BC,則△DAC≌△ECB,所以CD=BE,即CD和BE始終相等.
(2)根據(jù)題干條件可得
BC=AB,∠DBC=∠EAB,BD=AE,可證△BCD?艿△ABE,所以∠BCD=∠ABE. 所以∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=120°,進一步可得∠CQE =60°.
評析 上述在分析動點問題時準確把握題目中的“同時以相同的速度爬行”的條件,獲得了相應的等線段恒定條件,從而將問題視為是一般靜態(tài)問題,利用全等三角形性質、角度換算等方式完成了線段證明和角度求值.
動中取靜,確定適用模型原理
在研究幾何動點問題時也可以采用“動中取靜”的策略,根據(jù)題干信息確定動點軌跡,然后根據(jù)圖形特點確定適用的模型原理,利用模型原理來研究滿足條件時動點的位置,進而實現(xiàn)求解. 例如研究線段最值問題常用的“將軍飲馬模型”“胡不歸模型”就是基于“兩點之間,線段最短”原理,通過軸對稱的方式確定了動點的位置,實現(xiàn)了動點問題的簡化.
例2:如圖3所示,四邊形ABCD是正方形,點E是位于邊AD上的一個動點,現(xiàn)在過點A作BE的垂線,垂足為點H,然后連接DH,已知正方形的邊長為4,試求線段DH的最小值.
分析 DH的長度與點E的位置有關,由題干信息可知∠AHB始終為90°,則可以利用“直徑所對的圓周角為直角”定理來構建關于點H的運動軌跡. 如圖4所示,設圓心為點P,顯然當三點P,H,D共線時,根據(jù)“兩點之間,線段最短”原理可知此時PD與圓的交點就是DH取最小值時點H的位置,后續(xù)只需要借助幾何性質求長度即可.
解:以AB為直徑畫半圓,圓心設為點P,連接PD,PD為圓的交點就為滿足條件時點H的位置,已知AD=4,AP=2,利用勾股定理可求得PD=2 ,而PH為圓的半徑,則PH=2,所以DH=PD-PH=2 -2,即DH的最小值為2 -2.
評析 上述是常見的與動點相關的線段最值問題,解題的關鍵是確定點的運動軌跡,然后根據(jù)軌跡來建立模型或使用原理. 上述所使用的三點共線模型及“兩點之間,線段最短”原理是該類問題最為常用的解析策略.
以靜制動,建立函數(shù)關系
采用“以靜制動”的策略來解析幾何動點問題的思路是:設出描述動點的運動參數(shù),建立與問題相關的函數(shù)模型,利用函數(shù)的性質來分析求解. 該策略的優(yōu)勢在于忽略了因點動引起的次生問題,而采用發(fā)展的觀點來建立運動元素之間的相互聯(lián)系,可有效降低思維難度.
例3:拋物線的解析式為y=-x2+bx+c,與x軸相交于點A(1,0)和B(-3,0)兩點.
(1)試求該拋物線的解析式;
(2)點P是拋物線在第二象限上的一個動點,連接PB,PC,BC,試分析△PBC面積的最大值,以及此時點P的坐標.
分析 (1)已知拋物線與x軸的兩個交點,可以由兩點坐標獲得拋物線解析式. (2)分析拋物線上與動點相關的面積問題,可以設出動點的坐標,通過三角形面積割補的方式構建面積模型,從而建立與動點坐標相關的面積函數(shù),利用函數(shù)性質來確定點P的坐標,求最大面積.
解 (1)根據(jù)A(1,0)和B(-3,0)兩點,可得拋物線解析式為y=-(x-1)(x+3),化簡可得y=-x2-2x+3.
(2)設點P(x,-x2-2x+3),過點P作x軸的垂線,垂足為點E,PE交BC于點F,如圖5所示,通過面積割補可得S△PBC=S四邊形BPCO-S△BOC,代入面積公式可得S△PBC= - x+ 2+ ,分析可知當x=- 時,S△PBC= ,此時點P的坐標為- , .
評析 上述是以拋物線為背景的動點問題,動點位于拋物線上,因此以動點為頂點建立的三角形面積與動點的坐標有關. 因此在分析時可以采用“以靜制動”的策略,建立關于動點坐標參數(shù)的面積函數(shù)模型. 該策略是函數(shù)性質分析幾何動點問題的典型代表,另外構建函數(shù)解析式還可以利用勾股定理、三角形相似性質等,解析時需充分提取圖形特征.
動靜結合,分段特性討論
在某些幾何動點問題中,由于動點的移動圖形的結構存在規(guī)律性的變化,此時就可以采用“動靜結合”的解析策略,基于圖形結構來對動點的移動軌跡進行分段,然后通過分類討論、特性分析的方式來確定答案. 該策略解析的關鍵點有兩個:一是對圖形特性的提取,二是對動點軌跡的分段. 解析時需要綜合考慮,全面分析.
例4 如圖6所示,△ABC的內角∠ACB=90°,AC=6,BC=8,已知動點P從點A出發(fā),以速度1沿著路徑A→C→B運動,動點Q從點B出發(fā),以速度3沿著路徑B→C→A運動. 已知兩動點同時出發(fā),到對應的終點時才會停止. 在某一時刻,分別過P和Q作l的垂線,垂足分別為點E和F,則當點P運動多長時間時,可使△PEC和△QFC為全等三角形?
分析 本題目屬于雙動點問題,需要根據(jù)路徑對運動的時間進行分類討論. 對于動點P:當0≤t≤6時,在線段AC上;而當6≤t≤14時,在線段BC上. 對于動點Q:當0≤t≤ 時,在線段BC上;當 ≤t≤ 時,在線段BC上;而當t≥ 時,點Q與點A相重合,則停止運動. 根據(jù)圖形特性和動點位置關系可以分為四種情形:①點P在線段AC上,點Q在線段BC上;②點P和Q均位于AC上;③點P在線段AC上,而點Q與點A相重合,停止運動;④點P在線段BC上,點Q與點A相重合,停止運動. 則后續(xù)只需要根據(jù)運動區(qū)段,結合全等要求來確定討論時間的合理性即可.
解 設時間t后,△PEC?艿△QFC,由全等性質可得CP=CQ.
①當點P在線段AC上,點Q在線段BC上時,0≤t≤ ,如圖7,CP=6-t,CQ=8-3t,由CP=CQ解得t=1.
②當點P和Q均位于AC上時, ≤t≤ ,如圖8,只有兩點重合才可能全等,則CP=6-t=3t-8,解得t=3.5.
③當點P在線段AC上,而點Q與點A相重合,停止運動,則 ≤t≤6,分析可知不滿足全等條件.
④當點P在線段BC上,點Q與點A相重合,停止運動,則6≤t≤14,如圖9,則CQ=6,CP=t-6,由CP=CQ解得t=12.
綜上可知,當點P運動時間為1、3.5或者12時,△PEC和△QFC可為全等三角形.
評析 上述在分析與雙動點相關的三角形全等問題時,根據(jù)動點所在位置情況確立了分類標準,確定了時間范圍,進而根據(jù)三角形全等條件建立了關于時間的方程,完成求解. 上述使用的是“動靜結合”的解析策略,其中“動”表示動點所在線段上的位置變化,而“靜”表示時間范圍確定、全等條件固定. 因此在采用“動靜結合”策略解析時應明確其中的“動”“靜”條件,靈活建模.