熊易文　

摘 要：非歐幾何的產(chǎn)生在數(shù)學(xué)史上具有劃時(shí)代的意義。從歐氏幾何到非歐幾何，幾何模型的改變可以看出人們對幾何認(rèn)識的不同。論文以第五公設(shè)問題的解決為出發(fā)點(diǎn)，通過分析歐氏幾何和非歐幾何兩者幾何模型的區(qū)別，進(jìn)而分析非歐幾何的產(chǎn)生是歐氏幾何的在認(rèn)識論上的轉(zhuǎn)變。

關(guān)鍵詞：非歐幾何;幾何模型;實(shí)在論;建構(gòu)論

中圖分類號：G64? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1673-9132（2019）16-0192-01

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2019.16.176

非歐幾何創(chuàng)立于十九世紀(jì)初期，非歐幾何的產(chǎn)生打破了原有歐氏幾何模型思想的束縛，從根本上改變了人們對空間結(jié)構(gòu)的認(rèn)識。歐氏幾何模型是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)概括歸納的模型，是實(shí)在論的具體體現(xiàn);非歐幾何模型是根據(jù)第五公設(shè)問題的解決構(gòu)建的模型，是建構(gòu)論的具體體現(xiàn)。從平行公設(shè)的不同，可以看出歐氏幾何和非歐幾何的本質(zhì)區(qū)別。幾何模型的不同反映了認(rèn)識論上的區(qū)別，模型的轉(zhuǎn)變同時(shí)也是認(rèn)識論轉(zhuǎn)變的具體體現(xiàn)。

一、第五公設(shè)引起的幾何模型變換

歐幾里得的《幾何原本》是歐氏幾何的集中體現(xiàn)?！稁缀卧尽分杏涊d著九條公理，五條公設(shè)。其中公理適用于數(shù)和形，公設(shè)則是專門討論形的[1]?！稁缀卧尽芬蚱涔砘臍v史地位，使人們奉為真理，并認(rèn)為運(yùn)用《幾何原本》中的公理推演能夠探尋真理，從而得到真理。正是出于這種對真理的探求，人們力求《幾何原本》的完備性。在對其完備性的證明中，人們發(fā)現(xiàn)其中的第五公設(shè)既不能和其他公理去證明，也不能用其他公理來證明。這種“不相容”影響了完備性的證明，使《幾何原本》相對“不完美”。因此，第五公設(shè)成為眾多數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家爭相討論、證明的公設(shè)。

歐氏幾何內(nèi)部的矛盾引發(fā)了幾何學(xué)上的發(fā)展。在面對第五公設(shè)引發(fā)的問題時(shí)，人們要不避免使用，要不用其他公理、公設(shè)來替代它的作用。這種方法沒有從根本上解決第五公設(shè)的問題。在第五公設(shè)問題解決的路上，羅巴切夫斯基對非歐幾何的產(chǎn)生有著至關(guān)重要的作用，從第五公設(shè)的否命題出發(fā)。否命題：其一，過已知直線外的任一點(diǎn)可以作出一條以上的直線同已知直線平行。代替第五公設(shè)得出的是羅巴切夫斯基幾何（又叫雙曲型幾何）。其二，過已知直線外的任一點(diǎn)所作的任何一條直線都同已知直線平行。代替第五公設(shè)得出的是黎曼幾何（又叫橢圓型幾何）[2]。第五公設(shè)的否命題不僅解決了第五公設(shè)的問題，而且引發(fā)了幾何模型的轉(zhuǎn)變。

二、模型的轉(zhuǎn)變是認(rèn)識論的體現(xiàn)

歐氏幾何的幾何模型是平面幾何和立體幾何。這種幾何模型是人們根據(jù)現(xiàn)實(shí)生活總結(jié)歸納，利用抽象思維將質(zhì)化為體，構(gòu)造出的歐氏幾何模型，方便幾何空間的想象和運(yùn)用。歐氏幾何的幾何模型是實(shí)在論的一種體現(xiàn)。實(shí)在論是柏拉圖“理念論”的認(rèn)識思想，是指在世界的背后尋找一種抽象的實(shí)在，或以亞里士多德的概念來說是要尋找某種普遍性的“實(shí)體”[3]。在以實(shí)在論為認(rèn)識角度的主導(dǎo)下，歐氏幾何通過抽象思維，將具體的實(shí)際物質(zhì)轉(zhuǎn)化為幾何模型，根據(jù)當(dāng)時(shí)社會的二維和三維物質(zhì)轉(zhuǎn)化為平面幾何和立體幾何。歐氏幾何是由實(shí)踐歸納而來，符合人們的認(rèn)知習(xí)慣，而且能在現(xiàn)實(shí)生活中找到對應(yīng)的事物進(jìn)行事實(shí)論證。因此，歐氏幾何被人們廣泛接受并習(xí)以為常，以至于出現(xiàn)了第五公設(shè)這種用現(xiàn)有體系無法解決的幾何公設(shè)，人們也不愿相信歐氏幾何是錯(cuò)誤的，而是用其他公理、公設(shè)進(jìn)行第五公設(shè)的替代。在人們的認(rèn)知領(lǐng)域中，第五公設(shè)似乎是一個(gè)可以忽略的問題，來保護(hù)人們已有的認(rèn)知領(lǐng)域。

但第五公設(shè)的問題仍就存在，等待人們的發(fā)現(xiàn)。羅巴切夫斯基從已有的幾何知識理論出發(fā)，跳出思想的束縛。從否命題的角度出發(fā)，發(fā)現(xiàn)了非歐幾何，從而發(fā)現(xiàn)了非歐幾何模型。非歐幾何的幾何模型是建構(gòu)論的體現(xiàn)。建構(gòu)論打破原有的理論體系，利用現(xiàn)有的知識為原料，利用邏輯建構(gòu)出一種新的理論體系。羅巴切夫斯基通過第五公設(shè)的否命題替代第五公設(shè)，并和歐氏幾何中其余的公理、公設(shè)進(jìn)行組合、構(gòu)建，得出了非歐幾何?？梢哉f，非歐幾何是在歐氏幾何的公理基礎(chǔ)上建構(gòu)出來的幾何體系。在建構(gòu)論的指導(dǎo)下，人們發(fā)現(xiàn)可以解決第五公設(shè)問題的非歐幾何，利用邏輯思維和空間想象，構(gòu)建出非歐幾何的幾何模型。

三、認(rèn)識論轉(zhuǎn)變引發(fā)非歐幾何的產(chǎn)生

非歐幾何的產(chǎn)生之所以沒有產(chǎn)生數(shù)學(xué)危機(jī)，在于認(rèn)識論上的轉(zhuǎn)變。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生是由于人們無法接受非整數(shù)即無理數(shù)的出現(xiàn)。無理數(shù)的出現(xiàn)打破了人們已有的整數(shù)認(rèn)識論，從而產(chǎn)生了危機(jī)。從歐氏幾何到非歐幾何，幾何模型的轉(zhuǎn)變是直觀的表現(xiàn)。模型的轉(zhuǎn)變提供給人們一個(gè)新的認(rèn)知領(lǐng)域，使人們打破原有思想的束縛，在另一個(gè)模型中思考問題并以另一個(gè)模型的認(rèn)知領(lǐng)域解決問題。非歐幾何是從原有的歐氏幾何體系中出發(fā)，僅以第五公設(shè)的否命題替代第五公設(shè)，其余定理不變進(jìn)行的非歐幾何演繹。從人們已知的領(lǐng)域出發(fā)進(jìn)行邏輯推演更易于人們認(rèn)識論上的轉(zhuǎn)變，從而易于讓人們接受。正因如此，非歐幾何的產(chǎn)生不但沒有產(chǎn)生數(shù)學(xué)危機(jī)，反而因認(rèn)識論的轉(zhuǎn)變使非歐幾何得以產(chǎn)生。

參考文獻(xiàn)：

[1]梁東芝.從歐氏幾何的公理模式到希爾伯特的公理化思想[D].山西師范大學(xué)，2014.

[2]趙曉芬.從非歐幾何的產(chǎn)生看數(shù)學(xué)對人類文化的影響[J].長春師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2004（5）.

[3]霍凱旋.柏拉圖的概念實(shí)在論及其缺陷與影響[D].延安大學(xué)，2017.

[責(zé)任編輯 張翼翔]

作者簡介：熊易文（1994.10— ），女，漢族，遼寧沈陽人，哈爾濱師范大學(xué)馬克思主義學(xué)院科學(xué)技術(shù)哲學(xué)專業(yè)碩士研究生在讀，研究方向：科學(xué)技術(shù)哲學(xué)。