周 清 辛宗宇

(北京郵電大學理學院，北京 100876)

0 引 言

可轉債是指其持有人能夠在條款規(guī)定的一段時間里按照約定比例將可轉債轉換成確定數(shù)目的公司股票的混合金融工具．但是由于可轉債特性，使得其定價遠比普通證券的定價復雜．

Tsiveriotis和Fernandes[1]將可轉債分成股權價值和債權價值；馬超群和唐耿[2]將信用風險引入二叉樹模型中；2010年，孫卿東和朱海洋[3]闡明三叉樹模型在可轉債定價中的有效性和合理性；李念夷和陳懿冰[4]對三叉樹可轉債模型做出優(yōu)化，利用B-S公式測算發(fā)行方在單位時間內的違約概率；張紅江和楊善朝[5]將回售條款和贖回條款考慮到三叉樹模型之中；莊新田和周玲春[6]將連續(xù)復利的利率期限結構引入二叉樹模型，與此同時還引入了信用風險．

由現(xiàn)有研究的啟發(fā)，本文將可轉債價值分成股權價值和債權價值，利用信用利差的方法將信用風險引入三叉樹模型，并且引入連續(xù)復利的利率期限結構，建立基于股價和利率的三叉樹模型，并對模型進行實證分析．

1 基于雙因素引入信用風險的三叉樹可轉債定價模型

1.1 利率期限結構

利率期限結構(term structure of interest rates)就是指在某一個時間節(jié)點上，不同期限債券的到期年收益率關于到期期限的函數(shù)關系．

陳雯和陳浪南[7]綜合了國內外對利率期限結構模型的研究，結合中國市場的特點，提出了以復利的方式建立我國國債利率期限結構．

根據(jù)連續(xù)復利理論建立國債利率期限結構模型，如下：

rf=aebT.

(1)

這里的a,b為待定非零常數(shù)，T為到期期限為到期年收益率也為市場無風險利率，e為自然對數(shù)的底．

下面為確定式(1)中參數(shù)，選取上海證券交易所在市的幾只國債，通過每只國債的基本要素，計算出他們的到期期限、到期本息，到期收益率．

用SPSS軟件將表1的國債數(shù)據(jù)代入取對數(shù)的式(1)中，利用最小二乘法進行線性回歸得到表2.

表1 上海證券交易所上市國債

注：數(shù)據(jù)來自Wind資訊，到期年收益率等數(shù)據(jù)通過計算得來

從表2(數(shù)據(jù)來源：Wind資訊)中的模型匯總看到，本研究的模型決定系數(shù)為0.979，這表明到期收益率近98%的變異可以由到期期限T來解釋，同時的值還表明了取對數(shù)的到期收益率lnrf和到期期限T有很強的線性關系．

還可以看到無論是F檢驗還是t檢驗，sig(significance)欄的p值都小于0.001表明了預測變量T對于響應變量lnrf的統(tǒng)計效果極其顯著．最后通過表中得到的系數(shù)，lna為-2.674,b為0.035，代入后求出取對數(shù)前的式(1)得：

rf=0.069e0.035T.

(2)

表2 通過SPSS對國債數(shù)據(jù)進行分析結果

1.2 引入信用風險的三叉樹定價模型.

(1)三叉樹定價模型見圖1[8].

圖1 三叉樹示意圖

在風險中性的世界中，假定標的股票從t時刻到下一時刻t+Δt，價值變動會出現(xiàn)3種情況，第1是從S上漲為Su;第2是維持不變S；第3是下跌至Sd．這里的u，d是一個有范圍的值，01．把標的股票的上漲，下跌，維持不變的概率分別記作pu,pd和pm，股票的運動滿足如下：

(3)

從三叉樹的各個終點進行逆向倒推，并且在三叉樹的每個中間節(jié)點都充分的考慮贖回條款和回售條款和持有人的最優(yōu)轉股行為，從而求出該時刻的可轉債價值．

(2)模型的約束條件和終值條件,終值條件的分析.

在三叉樹模型的終點，即可轉債的到期日，可轉債持有人將面臨選擇轉換成股票或者領取債券的本息B．以此來確定終值條件：AT=max(nST，B)(4)，n是轉股比例，B是可轉債到期的本息，是到期日T對應的股價，是可轉債在T時刻的價值．

約束條件的分析：

由于復雜條款，可轉債在到期日前終止,所以本研究在對三叉樹模型進行逆向推倒時，對每一個樹的中間節(jié)點，都進行邊界約束條件的檢驗．在轉換期內如果可轉債的價值小于轉股的價值，會出現(xiàn)套利，故需要約束條件：At≥nSt(5)；如果可轉債的價值高于贖回條款中設定的贖回價格，同時還高于轉股的價值，即At≥max(C,nSt)(6);發(fā)行者就會得到套利機會，故給出邊界約束：At≥max(C,nSt)(7),C是贖回價格；在可轉債的回售期內，可轉債的價值大于回售價值，否則存在套利，第三個約束邊界條件：At≥P(8),P是回售價格．

運用Tsiveriotis和Fernandes[1]文章中的方法，將可轉債的價值分為兩個部分，一部分稱為股權價值E(Equity), 另一部分稱為債權價值D(Debt)．其中股權價值是指轉股價值和觸發(fā)贖回條款后的贖回價值；而債權價值包括回售價值和到期不轉股所得到還本付息的價值，債權價值需要考驗公司發(fā)行者現(xiàn)金儲備，所以在這一部分考慮信用風險．

債權部分面臨著到期無法得到償還的信用風險，所以貼現(xiàn)率要加入信用利差τC，使用信用利差加上無風險利率對債權部分貼現(xiàn)．

下面用公式說明這個貼現(xiàn)過程，假設在三叉樹中間節(jié)點N有：

EN=e-TfΔt(puEu+pmEm+pdEd)，

(9)

DN=e-(rf+rc)Δt(puDu+pmDm+pdDd)，

(10)

AN=EN+DN.

(11)

上面3個等式中，EN是三叉樹節(jié)點N的股權價值，Eu、Em、Ed是分別指中間節(jié)點N經(jīng)歷了Δt后上漲，維持不變，下跌的股權價值；DN是三叉樹節(jié)點N的債權價值，Du、Dm、Dd分別是指中間節(jié)點N經(jīng)歷了Δt后上漲，維持不變，下跌的債權價值，AN是可轉債在中間節(jié)點N的持有價值，rc是信用價差，rf是指無風險利率．

2 實證分析

挑選市場中的9支可轉債作為樣本，基本資料列于表3.選取從發(fā)行日起到2017年5月12日這段時間為定價區(qū)間，從Wind資訊、上交所和深交所上獲取這9支可轉債的基本資料和深度資料，還有它們在定價區(qū)間相應的市場收盤價，以及在定價區(qū)間對應的正股價格．

表3 9支可轉換債券的基本資料

注：數(shù)據(jù)來自Wind資訊、上海證券交易所、深圳證券交易所

2.1 模型的參數(shù)估計

本文通過計算股票收益率的標準差方式對股價的波動率來進行估量．具體方法為選取t個單位時間的股票收盤價有如下：

(12)

St為基準股票第t個時間間隔末的價格,ut是第t個時間間隔后的連續(xù)復利收益，τ是以年數(shù)為單位來表示的值．

本文選取可轉債發(fā)行前1年(250個交易日)的正股價格分別計算出每支可轉債的發(fā)行前波動率，因為可轉債可以轉換成股票，一定程度上可以說是發(fā)行了“新股”，另一方面可轉債的發(fā)行吸引了部分投資者，所以會使得正股波動率受到影響，為了考慮這個影響，截取每支正股在其可轉債發(fā)行后60天的股票價格來可轉債發(fā)行后的波動率．計算結果如表4所示.

表4 9支可轉債的波動率估計

注：數(shù)據(jù)來自Wind資訊

本研究通過對比發(fā)行前波動率和發(fā)行后波動率，發(fā)現(xiàn)可轉債的發(fā)行確實會對正股的波動率造成影響，有6支可轉債表現(xiàn)為抑制作用，為了減小這一影響并且使得對正股波動率的估計更加有效和精確，本研究用對兩組波動率進行作差求平均，得出波動率在可轉債發(fā)行后有總體有下降趨勢，平均下降9.1%，然后對發(fā)行前的波動率進行修正，修正后的波動率如上表．其余參數(shù)都可以從Wind資訊中查詢到的數(shù)據(jù)中得到．

無風險利率由rf=0.069e0.035T估計；關于信用利差rc，引用鄭振龍和林海[9]的結論，取0.98%作為估計．

結合(2)到(12)式，利用Java和Mathematica編程實現(xiàn)上述模型，并代入收集到的數(shù)據(jù)，計算出了本文模型的理論價值，將實際價格與理論價值作對比，可以計算出可轉債每日偏差，進而求出定價區(qū)間的平均偏差．除了計算定價區(qū)間的平均偏差之外，還利用SPSS計算可轉債實際市場價格和理論價格的皮爾遜相關系數(shù)．

下面計算出本文所選取的9支可轉債在基于雙因素三叉樹模型的理論價格與實際價格的相關系數(shù)和在定價區(qū)間下的平均偏差(表5)，定價平均偏差能夠反映出可轉債市場價格相對于理論價格的偏離程度．而皮爾遜相關系數(shù)能夠表現(xiàn)市場價格和理論價格的相關程度，或者說是擬合度，檢驗模型是否能表現(xiàn)市場走向．

表5 9支可轉債的定價區(qū)間的平均偏差和價格相關系

由表5的各支可轉債定價區(qū)間平均偏差和相關系數(shù)可以顯示出本文模型的有效性和合理性．每支可轉債定價區(qū)間平均偏差在-10%之內，整體平均偏差為-6.267%，其中偏差最大的為電氣轉債，偏差為-9.215%，查看電氣轉債的歷史數(shù)據(jù)從2015年9月30日到2015年12月4日價格一直為131.26元，2016年8月30日到2017年5月5日一直為114元，根據(jù)多個財經(jīng)網(wǎng)查找原因，得知電氣轉債以及經(jīng)歷了多次長時間停牌，使得定價造成了較大偏差．其中偏差最小的為輝豐轉債，僅為-3.279%，體現(xiàn)了很好的定價效果．各支可轉債相關系數(shù)均在0.97以上，表明了理論價格和實際價格極強的正相關性，進一步體現(xiàn)了本文的模型能夠很好的反映市場走向，有較高的擬合度．

以格力轉債為例給出可轉債的理論價格、市場價格對比，見圖2.

圖2 格力轉債理論價值和市場價值對比圖

分別將本模型與固定利率的單因素三叉樹模型[5]和雙因素二叉樹模型[6]的實證分析結果作對比，本文的固定利率取5年期國債利率2.5%，3個模型的偏差對比見表6.

表6 3個模型市場價格與理論價格平均偏差對比

由于市場價格低于理論價值，所以偏差為負值．從表中可以看出，除九州轉債的單因素三叉樹模型定價偏差小于雙因素三叉樹模型定價，其余可轉債定價偏差均為雙因素三叉樹模型偏差更小；雙因素二叉樹模型中電氣轉債的市場價格高于理論價格，偏差為0.121%，由上文知電氣轉債停牌導致偏差異常，根據(jù)3個模型對9支可轉債的平均偏差，可以得出雙因素三叉樹模型優(yōu)于單因素三叉樹模型與雙因素二叉樹模型．以格力轉債為例模型實證效果對比，見圖3和圖4.

圖3 格力轉債二叉樹理論價值、三叉樹理論價值和市場價值對比圖

3 總 結

基于雙因素的三叉樹可轉債定價模型，通過控制變量的方式，與基于二叉樹雙因素可轉債模型、基于單因素的三叉樹可轉債定價模型相比，具有良好的市場切合度，和更高的市場定價精度．