朱學(xué)治， 劉瀟翔， 焦映厚， 陳照波

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150001；2.北京控制工程研究所，北京 100000)

動(dòng)力吸振器是由Frahm[1]在一個(gè)世紀(jì)以前發(fā)明的。它是一款能夠針對(duì)特定頻率減振的理想裝置。由于具有簡(jiǎn)單、可靠和高效等特點(diǎn)，動(dòng)力吸振器廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)減振降噪工程中[2-4]。吸振器的減振性能對(duì)于結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的誤差非常敏感，單個(gè)吸振器用于結(jié)構(gòu)減振時(shí)，參數(shù)設(shè)置稍有偏差就會(huì)造成減振效果的明顯下降。因此，學(xué)者們研究了具有自調(diào)諧功能的吸振器、多自由度吸振器、復(fù)式動(dòng)力吸振器或者多個(gè)頻率不同的吸振器組合來(lái)克服這些缺點(diǎn)[5-7]。近年來(lái)，多個(gè)動(dòng)力吸振器用于連續(xù)體的減振的特性得到廣泛的研究。研究人員發(fā)現(xiàn)，與單個(gè)動(dòng)力吸振器相比，多個(gè)動(dòng)力吸振器用于抑制結(jié)構(gòu)的振動(dòng)有更好的寬頻效果，分布式動(dòng)力吸振器更容易獲得穩(wěn)健的寬頻大范圍的減振效果[8-10]。

動(dòng)力吸振器用于結(jié)構(gòu)減振時(shí)，需要經(jīng)過(guò)參數(shù)優(yōu)化調(diào)諧才能獲得最優(yōu)的減振效果。目前，用于單自由度系統(tǒng)減振的動(dòng)力吸振器的優(yōu)化問(wèn)題已經(jīng)有非常完善的方法。Denhartog[11]提出的不動(dòng)點(diǎn)理論和單個(gè)動(dòng)力吸振器的優(yōu)化調(diào)諧方法是最經(jīng)典有效的方法。Crandall等[12]提出了用于單自由度減振的單個(gè)動(dòng)力吸振器的H2優(yōu)化方法。Asami等[13]通過(guò)研究提出了用于阻尼線性系統(tǒng)減振的單個(gè)動(dòng)力吸振器的優(yōu)化調(diào)諧方法的解析表達(dá)式。

對(duì)于單個(gè)動(dòng)力吸振器用于梁板等連續(xù)結(jié)構(gòu)減振的優(yōu)化方法研究也已經(jīng)比較充足。Jacquot[14]研究了隨機(jī)激勵(lì)下動(dòng)力吸振器對(duì)薄板減振的特性，并提出了動(dòng)力吸振器減振的傳遞函數(shù)用來(lái)預(yù)測(cè)分析動(dòng)力吸振器的減振效果，還指出了吸振器最優(yōu)調(diào)諧參數(shù)的一般規(guī)律。Cheung等[15]提出了單個(gè)動(dòng)力吸振器用于薄板結(jié)構(gòu)減振的H∞和H2解析優(yōu)化公式。Dayou[16]將不動(dòng)點(diǎn)理論應(yīng)用到用于連續(xù)體整體減振的單個(gè)動(dòng)力吸振器的優(yōu)化問(wèn)題中，得到了簡(jiǎn)潔的動(dòng)力吸振器調(diào)諧公式。

然而，當(dāng)多個(gè)動(dòng)力吸振器安裝在梁板等連續(xù)體結(jié)構(gòu)上減振時(shí)，多個(gè)動(dòng)力吸振器與主結(jié)構(gòu)組成的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)就復(fù)雜的多。對(duì)于多個(gè)動(dòng)力吸振器用于連續(xù)體結(jié)構(gòu)的減振的優(yōu)化，研究人員常常采用數(shù)值優(yōu)化算法。盡管各種優(yōu)化算法的應(yīng)用能夠獲得多個(gè)動(dòng)力吸振器的最優(yōu)減振效果，但是由于算法往往比較復(fù)雜，這對(duì)于實(shí)際工程中的動(dòng)力吸振器的優(yōu)化設(shè)計(jì)不太方便。針對(duì)目前的研究現(xiàn)狀，并鑒于實(shí)際工程中的板類結(jié)構(gòu)往往存在阻尼，本文研究的目的就是通過(guò)理論分析提出分布式動(dòng)力吸振器用于含有阻尼的板類結(jié)構(gòu)減振的參數(shù)優(yōu)化調(diào)諧公式。使減振降噪工程中分布式動(dòng)力吸振器的優(yōu)化設(shè)計(jì)有比較簡(jiǎn)潔且有效的理論依據(jù)。

1 理 論

如圖1所示，長(zhǎng)和寬分別是a和b的矩形薄板上安裝有M個(gè)動(dòng)力吸振器，薄板在位置(x0,y0)處受到一個(gè)外激勵(lì)f0(t)。

圖1 安裝了多個(gè)動(dòng)力吸振器的薄板

利用模態(tài)疊加法可以得出薄板和動(dòng)力吸振器組成的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程[17]

{P}f0(t)

(1)

其中振動(dòng)位移向量可以表示為

(2)

式中：{w(t)}和{z(t)}分別為薄板各模態(tài)和動(dòng)力吸振器的振動(dòng)位移向量，它們的表達(dá)式分別是

{w(t)}={w1(t),w2(t),w3(t),…,wJ(t)}T

(3)

{z(t)}={z1(t),z2(t),z3(t),…,zM(t)}T

(4)

式中：J為振動(dòng)系統(tǒng)中一共包含薄板的J階模態(tài)。

{P}為外激勵(lì)在薄板上的位置分布向量，其表達(dá)式為

(5)

這里

(6)

式中：{0}M為M階零向量。[φ(x,y)]為薄板的模態(tài)振型向量，其表達(dá)式為

[φ(x,y)]=[φ1(x,y),…,φj(x,y),…,

φJ(rèn)(x,y)]T

(7)

式中：φj(x,y)為薄板的第j階模態(tài)振型。

式(1)中：質(zhì)量陣，剛度陣和阻尼陣分別為

(8)

(9)

(10)

矩陣中各個(gè)子矩陣的表達(dá)式分別為：

[Kpr]=[Krp]T=[k1[φ(x1,y1)],k2[φ(x2,y2)],…,kM[φ(xM,yM)]],

[Dpr]=[Drp]T=[c1[φ(x1,y1)],c2[φ(x2,y2)],…,cM[φ(xM,yM)]]

在實(shí)際的工程中，振動(dòng)結(jié)構(gòu)的第一階模態(tài)或者基礎(chǔ)模態(tài)是最主要的模態(tài)，第一階模態(tài)頻率往往是動(dòng)力吸振器應(yīng)用的目標(biāo)頻率。假設(shè)基板的振動(dòng)以基礎(chǔ)模態(tài)主導(dǎo)，在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)假設(shè)條件下，振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式(1)可以縮減為

(11)

[D1M]=

[K1M]=

由于動(dòng)力吸振器的質(zhì)量陣、剛度陣和阻尼陣在式(11)中是完全對(duì)角陣。每個(gè)動(dòng)力吸振器的振動(dòng)位移只和薄板的振動(dòng)位移W1相關(guān)。根據(jù)動(dòng)力吸振器的振動(dòng)特征[18]，動(dòng)力吸振器的振動(dòng)位移幅值向量可以寫成

{Z}=Zref{s1,r,s2,r,…,sn,r,…,sM,r}T

(12)

其中

sn,r=φ1(xn,yn)

(13)

Zref為各個(gè)吸振器振動(dòng)位移幅值的參考值。把式(12)代入到式(11)得到

(14)

式中：

(15)

所有吸振器都具有相同的參數(shù)，即每個(gè)吸振器的質(zhì)量、固有頻率、阻尼比、剛度分別是mr，ωr，ξr，kr。并記u=mr/M1為質(zhì)量比，g=ω/β1為激勵(lì)頻率比，f=ωr/β1為固有頻率比，δst=f0/K1為系統(tǒng)靜變形。

基板振動(dòng)位移的大小可以表示為

(16)

式中：

Y1={f2-[1+4fξ1ξr+(1+Au)f2]g2+g4}2,

Y2=4g2{(f2-g2)ξ1+f[1-(1+Au)g2]ξr}2。

式(16)與有阻尼單自由度系統(tǒng)附加一個(gè)動(dòng)力吸振器后的振動(dòng)系統(tǒng)具有相同的特性。經(jīng)分析，可以得到動(dòng)力吸振器的最優(yōu)調(diào)諧頻率比和最優(yōu)阻尼比為

(17)

(18)

式中：

C0=52+41Au+8A2u2，

C1=-1 296+2 124Au+6 509A2u2+5 024A3u3+

1 616A4u4+192A5u5,

C2=48 168+112 887Au+105 907A2u2+49 664A3u3+

11 632A4u4+1 088A5u5

當(dāng)基板無(wú)阻尼時(shí)，動(dòng)力吸振器的最優(yōu)調(diào)諧頻率比和最優(yōu)阻尼比退化為

(19)

(20)

2 數(shù)值計(jì)算與討論

2.1 優(yōu)化公式的數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證

優(yōu)化調(diào)諧公式是通過(guò)式(14)表示的簡(jiǎn)化的二自由度振動(dòng)系統(tǒng)推導(dǎo)得到的。優(yōu)化調(diào)諧公式能否適用于原“阻尼薄板-分布式動(dòng)力吸振器”振動(dòng)系統(tǒng)，可以通過(guò)計(jì)算原振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)來(lái)分析驗(yàn)證。根據(jù)式(1)可以計(jì)算得到原振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)

{Q}=(-ω2[M]+jω[D]+[K])-1{P}f0

(21)

其中振動(dòng)位移表達(dá)式為

(22)

薄板各階模態(tài)以及各個(gè)動(dòng)力吸振器的振動(dòng)位移表達(dá)式分別可以寫成{w(t)}={W}ejωt和{z(t)}={Z}ejωt。

計(jì)算分析中，M個(gè)動(dòng)力吸振器均布在薄板上，分為ra行和rb列。每行與每列吸振器之間以及外邊動(dòng)力吸振器到薄板邊緣的距離為a/(ra+1)和b/(rb+1)。

薄板和動(dòng)力吸振器的參數(shù)設(shè)置，如表1所示。

表1 薄板和動(dòng)力吸振器的參數(shù)設(shè)置

通過(guò)式(21)計(jì)算得到由第一階模態(tài)主導(dǎo)的薄板的振動(dòng)位移，如圖2所示。圖2中實(shí)線表示未安裝吸振器時(shí)，阻尼薄板的振動(dòng)響應(yīng)。其他幾條曲線表示安裝動(dòng)力吸振器后薄板的振動(dòng)響應(yīng)。安裝阻尼薄板上安裝分布式動(dòng)力吸振器后，薄板的振動(dòng)得到明顯的抑制。圖中的點(diǎn)劃線表示吸振器的參數(shù)是根據(jù)本文的優(yōu)化方法來(lái)設(shè)定的。點(diǎn)線代表吸振器參數(shù)經(jīng)過(guò)Denhartog的經(jīng)典調(diào)諧公式設(shè)定，虛線表示吸振器的參數(shù)是任意設(shè)定值。對(duì)比幾條曲線容易得知，任意設(shè)定吸振器的參數(shù)具有很大的盲目性，吸振器往往達(dá)不到最好的減振效果。經(jīng)典調(diào)諧公式雖然對(duì)單自由度系統(tǒng)中的單個(gè)動(dòng)力吸振器有很好的優(yōu)化結(jié)果，但它并不適用于連續(xù)體上安裝的多個(gè)動(dòng)力吸振器的優(yōu)化。根據(jù)本文的優(yōu)化方法設(shè)定動(dòng)力吸振器的參數(shù)后，薄板振動(dòng)響應(yīng)曲線上的兩個(gè)峰值取得相同的振動(dòng)量。這證實(shí)了本文的優(yōu)化調(diào)諧公式對(duì)于優(yōu)化阻尼薄板結(jié)構(gòu)上的分布式動(dòng)力吸振器參數(shù)的有效性。

圖2 薄板的單模態(tài)振動(dòng)響應(yīng)

本文中優(yōu)化公式是以“薄板的振動(dòng)以第一階模態(tài)主導(dǎo)”為假設(shè)條件推導(dǎo)得到。但實(shí)際上，薄板的振動(dòng)還有高階模態(tài)的貢獻(xiàn)量。因此，當(dāng)計(jì)及薄板的多階模態(tài)從而使得薄板發(fā)生真實(shí)的振動(dòng)情況時(shí)，本文提出的優(yōu)化公式是否還適用，以及相對(duì)于經(jīng)典優(yōu)化公式是否還有優(yōu)勢(shì)需要進(jìn)行驗(yàn)證。通過(guò)式(21)計(jì)算得到薄板的多階模態(tài)振動(dòng)位移后，可以求得薄板的綜合振動(dòng)

w(x,y,t)=[φ(x,y)]T{W}ejωt

(23)

這里需要注意，式(21)所示的薄板振動(dòng)響應(yīng)的求救是根據(jù)薄板的振動(dòng)方程式(1)直接求逆得到，求解過(guò)程中不含有任何假設(shè)及簡(jiǎn)化，因此求得的結(jié)果是 “邏輯絕對(duì)正確”的結(jié)果。將薄板的阻尼設(shè)置為0.15，計(jì)及的模態(tài)共“7×7”49階模態(tài)，經(jīng)過(guò)優(yōu)化調(diào)諧的吸振器的減振效果，如圖3所示。將圖3中各個(gè)參數(shù)設(shè)置所取得的減振曲線與圖2中相應(yīng)的曲線進(jìn)行對(duì)比，不難發(fā)現(xiàn)，盡管計(jì)及了薄板的多階模態(tài)，吸振器對(duì)薄板的真實(shí)振動(dòng)抑制效果與對(duì)薄板一階模態(tài)振動(dòng)抑制效果是一致的。也即，本文提出的優(yōu)化方法能夠?qū)ξ衿鬟M(jìn)行優(yōu)化調(diào)諧從而夠獲得對(duì)薄板真實(shí)振動(dòng)的最理想的抑制效果。

圖3 包含多階模態(tài)的薄板的振動(dòng)響應(yīng)

2.2 優(yōu)化公式對(duì)薄板綜合振動(dòng)抑制的優(yōu)化效果

吸振器在實(shí)際應(yīng)用中，其最優(yōu)調(diào)諧減振效果有可能受到薄板其他階模態(tài)的阻尼的影響，本部分分析薄板的高階模態(tài)阻尼對(duì)最優(yōu)調(diào)諧吸振器的減振效果的影響。將薄板設(shè)定為無(wú)阻尼(ξj=0)、小阻尼(ξj=0.03)、中阻尼(ξj=0.15)和大阻尼(ξj=0.3)4種阻尼狀態(tài)，分別計(jì)算薄板含有不同數(shù)量的模態(tài)階數(shù)(J=1×1,2×2,3×3,7×7)時(shí)，在每種阻尼狀態(tài)下的綜合振動(dòng)。選定薄板的中心點(diǎn)(xp,yp)為振動(dòng)響應(yīng)拾取點(diǎn)。計(jì)算結(jié)果如圖4～圖7所示。

對(duì)比各圖中的實(shí)線代表的無(wú)阻尼薄板的低頻綜合振動(dòng)： 圖4表示薄板的振動(dòng)以其第一階模態(tài)主導(dǎo)，當(dāng)算例中計(jì)及的薄板的模態(tài)階數(shù)增加后(見圖5～圖7)，薄板的綜合振動(dòng)量沒(méi)有明顯的提高。當(dāng)薄板中的阻尼值增加后，計(jì)算中高階模態(tài)的引入也沒(méi)能導(dǎo)致薄板綜合振動(dòng)量的明顯提升。因此，在包含薄板一階模態(tài)頻率的低頻范圍內(nèi)，薄板的振動(dòng)是以其一階模態(tài)主導(dǎo)的。

圖4 包含1×1階模態(tài)的薄板的振動(dòng)響應(yīng)

圖5 包含2×2階模態(tài)的薄板的振動(dòng)響應(yīng)

圖6 包含3×3階模態(tài)的薄板的振動(dòng)響應(yīng)

圖7 包含7×7階模態(tài)的薄板的振動(dòng)響應(yīng)

在圖4和圖5中，薄板綜合振動(dòng)響應(yīng)的算例中計(jì)及的模態(tài)階數(shù)分別是1×1和2×2。在這兩種模態(tài)數(shù)量的情況下，薄板在各個(gè)阻尼狀態(tài)下的振動(dòng)響應(yīng)曲線上的雙峰都取得了相同的振動(dòng)位移，本文中的優(yōu)化公式取得了理想的優(yōu)化效果。當(dāng)更多的模態(tài)參與到振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算中后，薄板振動(dòng)響應(yīng)曲線上的兩個(gè)振動(dòng)位移峰值的量值產(chǎn)生了差值，如圖6和圖7所示。但是，從圖7也可知，盡管參與計(jì)算的模態(tài)數(shù)已經(jīng)很大，兩個(gè)振動(dòng)位移峰值的差值并不顯著。而且，隨著薄板阻尼值的提高，兩個(gè)峰值的量值趨于相同。因此，采用分布式動(dòng)力吸振器來(lái)抑制含阻尼薄板結(jié)構(gòu)的特定共振頻率處的振動(dòng)時(shí)，利用本文提出的優(yōu)化公式來(lái)調(diào)諧吸振器的參數(shù)能夠獲得理想的最優(yōu)減振效果。

3 結(jié) 論

(1) 本文研究了用于抑制薄板結(jié)構(gòu)低頻振動(dòng)的分布式動(dòng)力吸振器的優(yōu)化方法。以“薄板的振動(dòng)以其第一階模態(tài)主導(dǎo)”和“每個(gè)動(dòng)力吸振器都具有相同的參數(shù)”為假設(shè)條件，并采用含阻尼線性系統(tǒng)中吸振器的最優(yōu)參數(shù)的求解方法，推導(dǎo)得到了分布式動(dòng)力吸振器的最優(yōu)調(diào)諧頻率比和最優(yōu)阻尼比的解析表達(dá)式。

(2) 考慮到薄板結(jié)構(gòu)在工程應(yīng)用中不可避免的存在阻尼，為了使本文的研究更加貼近于實(shí)際，薄板中的阻尼以模態(tài)阻尼比的形式引入。

(3) 本文推導(dǎo)得到的解析優(yōu)化公式的形式與經(jīng)典的單自由度系統(tǒng)中吸振器的調(diào)諧公式的形式相似，但是分布式動(dòng)力吸振器的最優(yōu)調(diào)諧頻率比和最優(yōu)阻尼比還與吸振器在薄板上的安裝位置及薄板的阻尼比相關(guān)。

(4) 本文提出的優(yōu)化調(diào)諧公式通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到了驗(yàn)證。數(shù)值計(jì)算分析還表明，盡管優(yōu)化公式是以“薄板是單一模態(tài)振動(dòng)”為假設(shè)條件推導(dǎo)得到，薄板結(jié)構(gòu)振動(dòng)中的其他模態(tài)的貢獻(xiàn)量以及其他模態(tài)的阻尼對(duì)優(yōu)化效果的影響很微小。

(5) 本文推導(dǎo)得到的優(yōu)化調(diào)諧公式可以很便捷的應(yīng)用在分布式動(dòng)力吸振器的設(shè)計(jì)中，從而獲得對(duì)含阻尼薄板結(jié)構(gòu)共振頻率處綜合振動(dòng)抑制的最優(yōu)效果。