賈鵬霄，周 越，李鑫偉

（北京林業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，北京100083）

高速大噸位的吊桿式起重機(jī)目前已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于建筑業(yè)和港口運(yùn)輸業(yè)[1]。吊桿式起重機(jī)通過在臂架末端懸掛負(fù)載可以實(shí)現(xiàn)起重和吊裝等功能。吊桿式起重機(jī)的運(yùn)動(dòng)主要包括臂架的俯仰運(yùn)動(dòng)和轉(zhuǎn)臺(tái)的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)[2]。但是當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)進(jìn)行回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于向心力的作用，一維的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)往往會(huì)產(chǎn)生二維的負(fù)載擺動(dòng)，這種擺動(dòng)不僅降低起重機(jī)的作業(yè)效率，而且有可能與周圍的貨物或者操作人員發(fā)生碰撞，造成嚴(yán)重的安全事故。為了防止事故的發(fā)生，對(duì)起重機(jī)操作人員的操作水平提出了很高的要求，并且也增加了操作人員的工作負(fù)擔(dān)[3]。為了降低操作人員的工作負(fù)擔(dān)，目前已經(jīng)有很多學(xué)者針對(duì)負(fù)載的防擺控制展開研究，提出了很多控制方案，包括最優(yōu)控制[4]，滑模控制[5]，自適應(yīng)控制[6]，輸入整形控制[7]，以及基于Lyapunov穩(wěn)定性的非線性控制[8]等。

在已往的研究中，為了對(duì)負(fù)載的二維擺動(dòng)進(jìn)行抑制，需要同時(shí)控制臂架的俯仰運(yùn)動(dòng)和轉(zhuǎn)臺(tái)的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)才能夠?qū)崿F(xiàn)防擺的目的。這樣一方面增加了控制器的復(fù)雜程度，另一方面由于臂架俯仰運(yùn)動(dòng)需要克服負(fù)載重力，所以起重機(jī)要消耗更多的能量，增加了成本?？紤]到這種擺動(dòng)是由于一維的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)引起的，所以研究只通過控制轉(zhuǎn)臺(tái)的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)就能實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)臺(tái)的定位和防擺的控制器就顯得非常重要。

目前國外已經(jīng)有一些學(xué)者針對(duì)通過轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)來抑制負(fù)載擺動(dòng)這種方案展開了研究。文獻(xiàn)[9]提出了一種開環(huán)控制方法，通過對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡進(jìn)行規(guī)劃來實(shí)現(xiàn)負(fù)載的擺動(dòng)抑制。但是當(dāng)外界有其他干擾時(shí)，這種開環(huán)控制系統(tǒng)的控制效果就會(huì)變差。為此，本文設(shè)計(jì)了一種僅需控制回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)就能實(shí)現(xiàn)定位和防擺的非線性控制器，并且通過Lyapunov 穩(wěn)定性理論對(duì)控制器的穩(wěn)定性進(jìn)行了證明。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器的有效性。

1 吊桿式起重機(jī)系統(tǒng)建模

吊桿式起重機(jī)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。負(fù)載通過繩索懸掛在臂架的頂端，臂架在液壓缸的作用下可以實(shí)現(xiàn)在豎直平面的俯仰運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)臺(tái)在液壓馬達(dá)的作用下可以實(shí)現(xiàn)在水平面的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

圖1 吊桿式起重機(jī)

負(fù)載在空間的擺動(dòng)可以用臂架平面內(nèi)擺角θ1和平面外擺角θ2來描述。對(duì)于實(shí)際的起重機(jī)吊擺系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，除了自身非線性的元件外，還會(huì)受到外界的各種干擾，包括各種摩擦、空氣阻力等的影響。為了方便對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析，進(jìn)而對(duì)防擺控制進(jìn)行研究，對(duì)實(shí)際的起重機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行如下的抽象簡化處理。

(1)把繩索懸掛的負(fù)載簡化為質(zhì)點(diǎn)，假設(shè)吊繩剛度足夠大，且忽略其質(zhì)量；

(2)假設(shè)負(fù)載擺動(dòng)角度θ1和θ2都是可測的，并且其角速度有界；

(3)忽略系統(tǒng)內(nèi)各機(jī)構(gòu)間的摩擦和外部干擾。

根據(jù)上述簡化假設(shè)，可以將起重機(jī)抽象為如圖2所示的簡化模型。

假設(shè)負(fù)載的質(zhì)量為mload，臂架長為LB，繩長為l。為了方便分析，假設(shè)臂架平面與沿起重機(jī)轉(zhuǎn)臺(tái)軸線水平X軸的夾角為回轉(zhuǎn)角α，臂架與豎直Z軸的夾角用β來表示。

只考慮臂架的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，利用拉格朗日法可得到吊桿式起重機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型如下式所示

圖2 吊桿式起重機(jī)模型

其中：uα是回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的控制輸入，K是增益，J是回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，假定J是恒定的，并且忽略回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的摩擦力等外部干擾。為了進(jìn)行防擺控制器的設(shè)計(jì)，假定負(fù)載擺角θi和擺角速度都很小，(i=1,2)，于是在式(1)中，有因此，式(1)可進(jìn)一步簡化為

2 控制器的設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析

在對(duì)控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，考慮兩個(gè)問題[10]，一個(gè)是控制器必須使轉(zhuǎn)臺(tái)能夠盡快到達(dá)參考軌跡r指定的期望位置，即定位問題；另一個(gè)是轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)過程中和結(jié)束后應(yīng)使負(fù)載的擺動(dòng)盡可能的小，即防擺問題。假設(shè)轉(zhuǎn)臺(tái)運(yùn)動(dòng)的參考軌跡r的1階導(dǎo)數(shù)和2階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)。為了對(duì)控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)，考慮如下的Lyapunov函數(shù)

結(jié)合式(2)和式(3)，提出如下的控制律

其中：p=Kese+Kθ2bs2，和K2是正常數(shù)，ε是一個(gè)很小的常數(shù)。

當(dāng) |p| ≥ε時(shí)，式(6)代入式(5)中，經(jīng)過整理后可得

假定≠0，如果K2＞1，則是負(fù)定的。

如果 |p| ＜ε，式(6)代入(5)中，經(jīng)過簡單整理后可以得到

并且可以得到

其中：η1=2K1·min(Ke,Kθ2b2)

根據(jù)進(jìn)行防擺控制研究的假設(shè)條件，θi和，i=1,2 有界，并且 |p| ＜ε，所以η2是有界的。通過調(diào)整控制律的參數(shù)，就可以實(shí)現(xiàn)理想的控制效果。

3 仿真分析

為了驗(yàn)證所提控制方法的有效性，進(jìn)行如下的仿真實(shí)驗(yàn)。控制器的參數(shù)和模型參數(shù)如表1所示。

為了驗(yàn)證所提控制器防擺控制的性能，采用普

表1 仿真參數(shù)

通的PD控制器進(jìn)行對(duì)比研究。

PD控制器的結(jié)構(gòu)如下

其中：e=r-α。Kp=50，Kv=10；

考慮參考軌跡為五次多項(xiàng)式

采用PD 控制器的控制結(jié)果如圖3所示，在圖a中實(shí)線為參考軌跡，虛線為轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)角α，可以看到α可以很好地跟蹤上參考軌跡。圖b 為負(fù)載在臂架平面內(nèi)的擺角θ1，由圖可以看到當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)角α轉(zhuǎn)到45°后，擺角θ1存在等幅振蕩；圖c為負(fù)載在臂架平面外的擺角θ2，由圖可見θ2也存在等幅振蕩。因此采用傳統(tǒng)的PD 控制器，轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)角α作為反饋，只能實(shí)現(xiàn)參考軌跡的跟蹤，并不能實(shí)現(xiàn)有效的擺動(dòng)抑制。

采用本文設(shè)計(jì)控制器的控制結(jié)果如圖4所示。

在圖4(a)中實(shí)線為參考軌跡，虛線為轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)角α，可以看到α也可以很好地跟蹤上參考軌跡。圖4(b)為負(fù)載在臂架平面內(nèi)的擺角θ1，由圖可見，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)角α到達(dá)45°后，θ1角基本為0；圖4(c)為負(fù)載在臂架平面外的擺角θ2，由圖可見，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)角α到達(dá)45°后θ2也基本為0；由此可見，采用本文所設(shè)計(jì)的控制器都作為反饋，既可以實(shí)現(xiàn)跟蹤參考軌跡的目的，也可以實(shí)現(xiàn)負(fù)載防擺的目的。

圖3 采用PD控制器

圖4 采用設(shè)計(jì)的控制器(α=45°)

4 結(jié)語

吊桿式起重機(jī)在進(jìn)行回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)使懸掛的負(fù)載產(chǎn)生二維擺動(dòng)；為了對(duì)二維擺動(dòng)繼續(xù)抑制，本文提出了一種僅需考慮回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)就能實(shí)現(xiàn)定位和防擺的控制方法。首先采用拉格朗日法對(duì)吊桿式起重機(jī)進(jìn)行建模得到了其動(dòng)力學(xué)模型；然后基于這個(gè)模型，采用Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)了一種非線性控制器；最后通過仿真研究驗(yàn)證了本文所提方法的有效性。