☉江蘇省海安市海陵中學(xué) 劉 生

不等式性質(zhì)新授課教學(xué)是很多教研活動(dòng)的熱點(diǎn)課題，不少老師往往類比等式性質(zhì)進(jìn)行不等式性質(zhì)的研究，通過(guò)一些具體數(shù)運(yùn)算的舉例引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不等號(hào)方向的規(guī)律，進(jìn)而歸納得出不等式的性質(zhì)，再進(jìn)行大量的例、習(xí)題的訓(xùn)練，這種教學(xué)實(shí)施當(dāng)然很有實(shí)效，但是與高品質(zhì)的數(shù)學(xué)教學(xué)、追求數(shù)學(xué)育人的高標(biāo)準(zhǔn)還有一定的距離.筆者所在備課組經(jīng)過(guò)充分研討、集體備課生成的不等式性質(zhì)課例重視由“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”引入新課，并預(yù)設(shè)講授如何從一般意義驗(yàn)證不等式性質(zhì)，讓學(xué)生感受到一種新的數(shù)學(xué)性質(zhì)的生成需要經(jīng)過(guò)證明才能確認(rèn)，雖然減少了訓(xùn)練題的數(shù)量，但數(shù)學(xué)味兒更濃，教學(xué)效果也很好.下面先梳理該課的教學(xué)設(shè)計(jì)，并跟進(jìn)教學(xué)立意的闡釋，供研討.

一、不等式的性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié)（一） 創(chuàng)設(shè)情境，引出新知

情境引入：學(xué)習(xí)不等式之后，對(duì)于一些簡(jiǎn)單的不等式，如x+2＞4，可以直接看出它的解集為x＞2；但對(duì)于較為復(fù)雜的一元一次不等式，如，如何求其解集呢？這就需要學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)，然后以此為依據(jù)將復(fù)雜的不等式進(jìn)行變形求解.所以本課的任務(wù)就是研究不等式的性質(zhì).

教學(xué)環(huán)節(jié)（二） 歸納規(guī)律，驗(yàn)證性質(zhì)

“實(shí)驗(yàn)1”：已知1＜2，計(jì)算并比較：

1+3____2+3，1+6____2+6，1+2019____2+2019；

1-3____2-3，1-6____2-6，1-2019____2-2019.

規(guī)律發(fā)現(xiàn)：不等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)的方向不變.

“實(shí)驗(yàn)2”：已知1＜2，計(jì)算并比較：

1×3____2×3，1×6____2×6，1×2019____2×2019；

1 ×（-3）____2 ×（-3），1 ×（-6）____2 ×（-6），1 ×（-2019）____2×（-2019）.

規(guī)律發(fā)現(xiàn)：不等式兩邊同時(shí)乘上同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式兩邊同時(shí)乘上同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.

教學(xué)組織：在學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律之后，師生合作歸納出不等式的性質(zhì)的文字表達(dá)，教師將其板書(shū)在黑板的主板區(qū)，先寫(xiě)出這些是“發(fā)現(xiàn)規(guī)律”，為了對(duì)這些規(guī)律進(jìn)行驗(yàn)證，教師預(yù)設(shè)以下一些方法的講授（可結(jié)合PPT進(jìn)行）.

比如，利用數(shù)軸進(jìn)行驗(yàn)證.在數(shù)軸上由左到右取兩點(diǎn)A、B，對(duì)應(yīng)著數(shù)a、b，a＜b.同時(shí)加上一個(gè)數(shù)，就是將A、B兩點(diǎn)向相同方向平移一定的距離，仍然有a+m＜b+m，an＜b-n.

對(duì)于m＞0，利用數(shù)軸演示am＜bm時(shí)，可利用乘法的本質(zhì)是加法，轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行演示說(shuō)明.

對(duì)于n＜0，利用數(shù)軸演示an＞bn比較麻煩，可以利用相反數(shù)的意義，先在數(shù)軸上理解-a＞-b，再擴(kuò)大幾倍理解an＞bn.

還可從一般意義進(jìn)行證明，借助于作差法.

不等式性質(zhì)1的證法：因?yàn)閍＜b，所以a-b＜0，所以a+m-b-m＜0，即a+m-（b+m）＜0，所以a+m＜b+m.

不等式性質(zhì)2的證法：因?yàn)閍＜b，所以a-b＜0.又m＞0，所以m（a-b）＜0（依據(jù)：異號(hào)兩數(shù)相乘，符號(hào)為負(fù)），所以ma-mb＜0.所以ma＜mb.

不等式性質(zhì)3的證法：因?yàn)閍＜b，所以a-b＜0.又n＜0，所以n（a-b）＞0（依據(jù)：同號(hào)兩數(shù)相乘，符號(hào)為正），所以na-nb＞0.所以na＞nb.

說(shuō)明：以上驗(yàn)證或證明可結(jié)合班情、學(xué)情進(jìn)行鏈接選學(xué)，待學(xué)生理解并確認(rèn)之后給出不等式性質(zhì)的文字、符號(hào)表達(dá)方法，形成板書(shū).

教學(xué)環(huán)節(jié)（三） 初步運(yùn)用，步步有據(jù)

例1 設(shè)a＞b，用“＞”或“＜”填空，并說(shuō)明理由.

（1）a+3___b+3；（2）a-2019___b-2019；（3）-5a___-5b；

預(yù)設(shè)變式：設(shè)a＜b，用“＞”或“＜”填空，并說(shuō)明理由.

（1）a+1___b+1；（2）2a-2019___2b-2019；（3）3-5a___3-5b；（4）-

教學(xué)組織：安排學(xué)生先獨(dú)立思考，再在小組內(nèi)交流，并大組匯報(bào).展示交流時(shí)，教師先示范口答的格式.如“例1（3），根據(jù)不等式性質(zhì)3，不等式兩邊同時(shí)乘負(fù)5，不等式的方向改變，所以答案是-5a＜-5b”.再如變式（4）的口答格式，“先由不等式性質(zhì)2，不等式兩邊同時(shí)除以5，再由不等式性質(zhì)1，不等式兩邊同時(shí)減去，不等式方向都不改變”.教師示范之后，對(duì)于每道小題，至少安排2～3個(gè)學(xué)生復(fù)述.一方面，可以讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉不等式的性質(zhì)；另一方面，可以促進(jìn)學(xué)生區(qū)別等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)的不同表達(dá)方式，這里并不是簡(jiǎn)單的機(jī)械重復(fù)的教學(xué)行為.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四） 課堂小結(jié)，參與究錯(cuò)

小結(jié)問(wèn)題1：本課所學(xué)習(xí)的不等式性質(zhì)與等式性質(zhì)有怎樣的關(guān)系？你是如何理解的？在小組內(nèi)舉例交流.

小結(jié)問(wèn)題2：運(yùn)用不等式性質(zhì)解以下幾個(gè)簡(jiǎn)單的不等式：

教學(xué)組織：解答展示時(shí)，需要講出具體的方法或步驟.

小結(jié)問(wèn)題3：小安提出一個(gè)命題，若x＜2，則ax＜2a.

請(qǐng)判斷小安的命題是真命題還是假命題，并說(shuō)明理由.

教學(xué)組織：先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后由學(xué)生評(píng)價(jià)這種解法，并進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)，指出需要分類討論，這可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)不等式性質(zhì)的深刻理解.

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

（一）深入研讀教材，充分想清教材導(dǎo)入語(yǔ)的用意

本課例在開(kāi)課階段的過(guò)渡語(yǔ)雖然簡(jiǎn)短，但是忠實(shí)于教材，是因?yàn)橄肭辶私滩膶?dǎo)入的意圖，也就是為什么要研究不等式的性質(zhì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)：是因?yàn)榻獠坏仁綍r(shí)需要考慮的算理、依據(jù)就是不等式的性質(zhì)，所以需要研究.如果我們忽略教材導(dǎo)入語(yǔ)的價(jià)值，認(rèn)為它可有可無(wú)，則可能忽略它，從而采用其他新知導(dǎo)入方式.可見(jiàn)，不同的導(dǎo)入方法，背后往往體現(xiàn)了教者研究教材的深度與角度.

（二）針對(duì)班級(jí)學(xué)情，追求深度教學(xué)，發(fā)展核心素養(yǎng)

在上面的課例中，考慮到班級(jí)學(xué)情整體較好，我們不想在不等式性質(zhì)的應(yīng)用上加大題量進(jìn)行機(jī)械訓(xùn)練，降低學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，讓一些優(yōu)秀學(xué)生處于空轉(zhuǎn)狀態(tài).所以預(yù)設(shè)了帶領(lǐng)學(xué)生一起理解不等式性質(zhì)的證明.這是對(duì)教材上簡(jiǎn)單的一些數(shù)據(jù)演算、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、歸納性質(zhì)的必要補(bǔ)充，讓優(yōu)秀學(xué)生理解數(shù)學(xué)，懂得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要從實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)走向一般證明.現(xiàn)在大家都在倡導(dǎo)數(shù)學(xué)育人，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，我們認(rèn)為，用有數(shù)學(xué)味兒的內(nèi)容來(lái)促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)，學(xué)會(huì)研究數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的套路來(lái)研究數(shù)學(xué)，正是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要方式.

（三）重視示范引領(lǐng)，通過(guò)學(xué)生不斷復(fù)述鞏固新知

不管如何重視“以學(xué)為中心”“學(xué)生為主體”，但是“關(guān)注教”“研究教”是永不過(guò)時(shí)的，也是十分必要的，教與學(xué)的研究不可偏廢.在本課例中，關(guān)于不等式性質(zhì)的一般證明，需要教師的啟發(fā)式講授來(lái)節(jié)約課堂教學(xué)時(shí)間，而在應(yīng)用不等式性質(zhì)時(shí)，教師的示范引領(lǐng)作用非常關(guān)鍵，我們通過(guò)先示范講解解題方法，在學(xué)生傾聽(tīng)理解之后，安排多名學(xué)生連續(xù)復(fù)述解題步驟，這個(gè)過(guò)程十分必要、非常有效.一方面，可以讓學(xué)生對(duì)不等式性質(zhì)的文字表達(dá)更加熟悉；另一方面，促進(jìn)學(xué)生理解不等式變形過(guò)程中的步步有據(jù).事實(shí)上，有了這樣的過(guò)程，在不等式性質(zhì)發(fā)現(xiàn)和歸納之后，就不需要安排學(xué)生讀記、背誦的環(huán)節(jié)（相比后面講解變形步驟，數(shù)學(xué)上使用讀背的方式容易讓學(xué)生厭煩），因?yàn)閿?shù)學(xué)是需要理解和運(yùn)用的.