☉江蘇省南通田家炳中學(xué) 張愛華

知識與智能是相互依存、相互制約的.合理地儲存和運(yùn)用知識可以完美展現(xiàn)知識能力，快速提高智能水平.知識的儲存可以更好地促進(jìn)知識的運(yùn)用，知識的合理運(yùn)用是對所儲存知識效果的一種檢測.因此，深度探究影響知識儲存和運(yùn)用的最重要因素，才能真正意義上提升知識儲存和運(yùn)用的效果，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).下面，筆者結(jié)合自己的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，談一談如何優(yōu)化學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，不斷提升學(xué)生的知識運(yùn)用能力.

一、概念和定理教學(xué)，應(yīng)注重知識的條件化培養(yǎng)

課堂教學(xué)中，學(xué)生借助一系列數(shù)學(xué)實(shí)踐活動，獲取數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)定理.不過，怎么利用數(shù)學(xué)概念、定理去分析和解決數(shù)學(xué)問題，常常會讓學(xué)生感覺到困惑，并頻頻受挫.因此，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)概念和定理的教學(xué)時，既需引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)概念、定理和公式這一系列陳述性知識“收入囊中”，更需學(xué)生掌握“如果……就……”之類的程序性知識［1］.數(shù)學(xué)中的概念和定理來源于實(shí)際生活，是對實(shí)際生活的一種抽象概括，具有條件與范圍意義上的局限性.

例如，在教學(xué)“平行線”這一內(nèi)容時，教師給出概念：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線平行.此處，我們就必須著重強(qiáng)調(diào)“在同一平面內(nèi)”這一限制條件.

要培養(yǎng)學(xué)生知識的條件化，教師應(yīng)注意滲透，將特殊問題中的一般性條件單獨(dú)抽取，激活學(xué)生已有知識，提升運(yùn)用知識解決實(shí)際問題時的通性、通法，獲得認(rèn)識上的提升，促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷生長，快速完善，并形成較好遷移［2］.

例如，如果依次將任意一個四邊形四條邊上的中點(diǎn)連接，那么所得的四邊形是什么四邊形？我們可以進(jìn)行以下的變式訓(xùn)練：

變式1：如果依次將一個平行四邊形四條邊上的中點(diǎn)連接，那么所得的四邊形是什么四邊形？

還可將此題中的平行四邊形進(jìn)行改變，可以為菱形、矩形、正方形、等腰梯形，想一想：改變之后可得什么四邊形呢？

變式2：（1）如果我們想得到的圖形為菱形，可以依次連接哪種四邊形四條邊的中點(diǎn)？

（2）如果我們依次連接某種四邊形四條邊的中點(diǎn)，得到了一個矩形，那么，這個四邊形的對角線需（ ）.

A.相等并且垂直 B.垂直并且平分

C.相互垂直 D.相互平分

變式3：如圖1，已知四邊形ABCD，其中AC=6，BD=8，AC⊥BD，依次連接四邊形ABCD的四條邊AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，可以得到四邊形A1B1C1D1，接著依次連接四邊形A1B1C1D1的四條邊的中點(diǎn)，可以得到四邊形A2B2C2D2……以此類推，最終得到四邊形AnBnCnDn.仔細(xì)探討，并解答：

圖1

（1）求最終所得的四邊形AnBnCnDn的面積；

（2）求四邊形A5B5C5D5的周長.

從以上案例中可以看出，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師可以不斷變換方式去合理運(yùn)用教學(xué)素材，從不同的角度，選用不同的方法，幫助學(xué)生逐步走出簡單思維的窠臼，通過不斷變換方法與范圍運(yùn)用知識，獲得認(rèn)知上的不斷提升，加速思維的節(jié)奏，在變式中求創(chuàng)新，引導(dǎo)思維結(jié)構(gòu)的發(fā)展，讓思維具有靈活性、廣闊性、延展性，并不斷培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)求異思維.

二、習(xí)題教學(xué)，應(yīng)注重知識策略化的培養(yǎng)

所謂的“策略性知識”，就是教會學(xué)生學(xué)習(xí)與思維有關(guān)的知識.它位于知識結(jié)構(gòu)的最頂端，是對學(xué)生學(xué)習(xí)和思維的調(diào)節(jié).正確把握策略，不但可以將知識運(yùn)用的范圍減小，還可以提升運(yùn)用的速度.教師在指導(dǎo)時，不僅需將解決問題的方式教給學(xué)生，還需培養(yǎng)學(xué)生自我調(diào)控思維的方式.

解題離不開聯(lián)想，借助聯(lián)想可以更好地形成問題與知識之間的聯(lián)系，從而遷移已有解題經(jīng)驗.不過，如何合理展開聯(lián)想呢？數(shù)學(xué)教師可以借助習(xí)題教學(xué)進(jìn)行系統(tǒng)指導(dǎo).

一般意義上來講，教師進(jìn)行有策略的教學(xué)，首先，需有寬廣的數(shù)學(xué)學(xué)科策略，從而實(shí)現(xiàn)對其他學(xué)科的遷移；其次，需凸顯解題時采用的一般策略與重點(diǎn)策略；最后，需注重和具體教學(xué)方法相融合.

例1如圖2，已知p+q+1＜0，求證：1在x2+px+q=0的兩根之間.

圖2

本案例中，如果按照一般解題方法解題，先運(yùn)用求根公式去求此方程的兩個根x1、x2，再進(jìn)行求證，會陷入解題誤區(qū).所以，必須尋求其他的解題思路.

假設(shè)y=x2+px+q.顯然，此拋物線的開口是向上的.如果x=1，那么y=p+q+1.已知p+q+1＜0，則點(diǎn)（1，p+q+1）位于x軸下方，所以方程有兩個根x1和x2，并且1位于這兩個根之間.

第二種解題方法顯然沒有使用一般思維進(jìn)行思考，而是巧妙使用了圖像法，并成功破解難題.

例2三角形三邊的長分別為a、b、c，求證：方程b2x2+（b2+c2-a2）x+c2=0根的情況為沒有實(shí)數(shù)根.

本題是融合了代數(shù)與幾何的一道綜合題，從數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上來講，它涉及了一元一次方程、不等式、二次函數(shù)等.學(xué)生首先需聯(lián)想什么條件下一元二次方程不存在實(shí)數(shù)根.此題的本質(zhì)是需證明題中方程根的判別式Δ=（b2+c2-a2）2-4b2c2＜0成立，并據(jù)此去聯(lián)想因式分解.分解因式后，繼續(xù)聯(lián)想三角形三條邊之間的關(guān)系，據(jù)此判別連乘積的符號，最后得證.

在數(shù)學(xué)解題的過程中，我們采用的基本策略有：列舉法、轉(zhuǎn)化法、數(shù)形結(jié)合、一般與特殊化、整體與局部等.在課堂教學(xué)中，教師在進(jìn)行解題策略的教學(xué)時，需做到由簡到難，逐步滲透；基于解題策略，精選巧妙案例展示其廣泛的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生對已學(xué)策略的概括性認(rèn)識；策略傳授需注重適時、適量，給予學(xué)生充足的消化理解時間.

三、單元教學(xué)，應(yīng)注重知識結(jié)構(gòu)化的培養(yǎng)

每個學(xué)生的知識存儲結(jié)構(gòu)有所不同，所以在運(yùn)用效率上也存在一定的差異.假如學(xué)生可以在大腦中形成系統(tǒng)的、相關(guān)聯(lián)的，并具有一定結(jié)構(gòu)層次的系統(tǒng)知識，那么在運(yùn)用的時候就會更靈活、更完善.換句換說，若學(xué)生大腦中的知識結(jié)構(gòu)是“零散”“孤立”“碎片”的形式，那么運(yùn)用起來也是割裂的、困難的.

在課堂教學(xué)中，注重知識結(jié)構(gòu)化的培養(yǎng)，教師需立足于一個整體化的高度，將待學(xué)知識置于一個系統(tǒng)化的結(jié)構(gòu)框架中，深入分析教材，融通各個知識點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，不斷滲透知識結(jié)構(gòu)上的整體意識.通過教學(xué)，將學(xué)生頭腦中的知識串聯(lián)成線狀，鏈接成鏈狀，結(jié)合成網(wǎng)狀，形成系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)知識結(jié)構(gòu).教師在對每個單元進(jìn)行教學(xué)時，引導(dǎo)學(xué)生將一些在廣泛區(qū)域內(nèi)運(yùn)用的知識，置于一個更為寬廣的區(qū)域進(jìn)行教學(xué)，從而串聯(lián)所有數(shù)學(xué)知識.

例如，筆者在教學(xué)完“二次函數(shù)”這個章節(jié)之后，帶領(lǐng)學(xué)生從二次項前面的系數(shù)、拋物線開口的方向、對稱軸、增減性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最值等關(guān)鍵要素出發(fā)完善“二次函數(shù)”的知識結(jié)構(gòu)圖，促進(jìn)知識結(jié)構(gòu)化延展.

實(shí)踐經(jīng)驗表明，若想培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)化，需要教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會“融通”不同知識的能力.教師通過數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，借助綜合練習(xí)和一題多解等訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)不同知識之間的串聯(lián)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的縱橫聯(lián)系，互相滲透.在不斷的學(xué)習(xí)中，有效促進(jìn)學(xué)生大腦中知識結(jié)構(gòu)的不斷完善和優(yōu)化，并實(shí)現(xiàn)在其他學(xué)科中的遷移運(yùn)用.

總之，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師需深度研究教材，借助師生之間的互動，進(jìn)行教學(xué)反饋，將學(xué)習(xí)策略滲透到各種教學(xué)中，不斷優(yōu)化學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生的知識運(yùn)用能力，發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).