李 娜，張晉宇，沈 陽(yáng)

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20世紀(jì)以來(lái)中國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)課程中數(shù)學(xué)表征能力的發(fā)展趨勢(shì)與啟示——以幾何為例

李 娜1，張晉宇2，3，沈 陽(yáng)1

（1．華東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200241；2．華東師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，上海 200062；3．上海市“立德樹(shù)人”數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地，上海 200241）

依據(jù)20世紀(jì)以來(lái)中國(guó)各年代的中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（大綱），采用文本分析法，從表達(dá)交流、操作轉(zhuǎn)換和建模應(yīng)用3個(gè)水平構(gòu)建數(shù)學(xué)表征能力的水平分析框架．分別對(duì)初、高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的平面幾何、立體幾何教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分析，進(jìn)而探討20世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)表征能力在中國(guó)不同時(shí)期中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的發(fā)展趨勢(shì)以及獲得的啟示．結(jié)果表明，在數(shù)學(xué)表征能力方面，中國(guó)中學(xué)幾何課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)操作轉(zhuǎn)換的要求逐步上升，對(duì)表達(dá)交流的要求相對(duì)穩(wěn)定，而對(duì)建模應(yīng)用水平關(guān)注較少，課改后期開(kāi)始才得到一定重視．

數(shù)學(xué)表征能力；中學(xué)數(shù)學(xué)；課程標(biāo)準(zhǔn)；教學(xué)內(nèi)容；幾何

眾所周知，數(shù)學(xué)表征能力是學(xué)生數(shù)學(xué)核心能力之一，也是許多國(guó)家數(shù)學(xué)教育課程改革中備受關(guān)注的核心能力之一．從2000—2018年，PISA評(píng)估框架中表征能力一直是將其作為評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要指標(biāo)之一，而且2018年的框架尤其強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)表征能力的重要性．目前，很多研究者圍繞教師的教學(xué)、學(xué)生的學(xué)習(xí)、問(wèn)題解決以及水平劃分等方面對(duì)數(shù)學(xué)表征能力展開(kāi)了相關(guān)的研究[1-4]．中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)是中小學(xué)教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的最重要的依據(jù)，但未發(fā)現(xiàn)圍繞20世紀(jì)以來(lái)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)文本中數(shù)學(xué)表征能力發(fā)展趨勢(shì)的相關(guān)研究．以平面幾何和立體幾何為例，探討20世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)表征能力在中國(guó)不同時(shí)期中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的發(fā)展趨勢(shì)以及啟示．

1 研究設(shè)計(jì)

1.1 概念界定

表征在《辭?！分袃煞N含義：其一為提示、闡明，其二為事物顯露外在的征象[5]．如果說(shuō)《辭海》中“表征”的解釋包羅萬(wàn)象，那么加了學(xué)科色彩的“數(shù)學(xué)表征”的內(nèi)涵將進(jìn)一步縮小．《數(shù)學(xué)教育百科全書(shū)》講述了數(shù)學(xué)表征的3層含義，其中教育界最常見(jiàn)的解釋為：“數(shù)學(xué)表征是可見(jiàn)的或有形的產(chǎn)物，例如圖表、數(shù)軸、圖形、具體對(duì)象或操作的排列、物理模型、數(shù)學(xué)表達(dá)式、公式和方程、或者計(jì)算機(jī)（器）屏幕上的描繪——編碼、代表或體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想或聯(lián)系．”[6]美國(guó)《學(xué)校教育原則與標(biāo)準(zhǔn)》（2000）對(duì)數(shù)學(xué)表征有如下解釋?zhuān)骸靶g(shù)語(yǔ)‘表征’既指過(guò)程又指結(jié)果．換句話(huà)說(shuō)，是指用某種形式表達(dá)數(shù)學(xué)概念或關(guān)系的行為，也指行為本身．”[7]而PISA則將其定義更加具體化，即“包括圖像、表格、圖表、圖片、方程式、公式和具體材料”[8]．

從形式上來(lái)看，數(shù)學(xué)表征的形式是靜態(tài)的，而相對(duì)于前者，數(shù)學(xué)表征能力是動(dòng)態(tài)的．徐斌艷（2013）將數(shù)學(xué)表征和變換能力作為6個(gè)數(shù)學(xué)核心能力之一，并將其定義為：“用某種形式，例如書(shū)面符號(hào)、圖形（表）、情景、操作性模型、文字（包括口頭文字）等，表達(dá)要學(xué)習(xí)的或處理的數(shù)學(xué)概念或關(guān)系，以便最終解決問(wèn)題．”[9]PISA中對(duì)數(shù)學(xué)表征能力的定義在逐步更新和發(fā)展，但其在2018年評(píng)價(jià)框架中基本延用之前的定義，即“表征能力需要選擇、解釋、轉(zhuǎn)換和使用各種表征來(lái)捕獲情境的數(shù)學(xué)本質(zhì)、解決問(wèn)題或展示自己的作品”[8]．這里將數(shù)學(xué)表征能力界定為數(shù)學(xué)表征（包括符號(hào)表達(dá)、圖形圖表、操作模型和情境）之間的動(dòng)態(tài)操作，以表達(dá)交流、操作轉(zhuǎn)換和建模應(yīng)用各種表征來(lái)呈現(xiàn)、解決數(shù)學(xué)或現(xiàn)實(shí)問(wèn)題．

1.2 分析框架

美國(guó)的《學(xué)校教育原則和標(biāo)準(zhǔn)》（2000）將數(shù)學(xué)表征能力按要求分為3個(gè)維度：第一，“創(chuàng)造和利用各種數(shù)學(xué)表征來(lái)組織、記錄和交流數(shù)學(xué)觀念”；第二，“選擇、應(yīng)用和互換各種數(shù)學(xué)表征方法解決問(wèn)題”；第三，“應(yīng)用表征模擬并解釋物理的、社會(huì)的和數(shù)學(xué)中的現(xiàn)象”[7]．Niss[10]（2003）將數(shù)學(xué)表征作為八大數(shù)學(xué)能力之一，并列舉出3條表征數(shù)學(xué)實(shí)體（對(duì)象和情境）能力的要求：其一，理解和利用（解碼、解釋、區(qū)分）數(shù)學(xué)對(duì)象、現(xiàn)象和情境的不同種類(lèi)的表征；其二，理解和利用同一實(shí)體的不同表征之間的關(guān)系，包括了解它們的相對(duì)優(yōu)勢(shì)和局限性；其三，選擇和切換表征．PISA2018的數(shù)學(xué)評(píng)估框架依據(jù)3個(gè)數(shù)學(xué)過(guò)程對(duì)數(shù)學(xué)表征進(jìn)行了維度劃分，即以數(shù)學(xué)方式表述情境，運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、事實(shí)、程序和推理，解釋、應(yīng)用和評(píng)估數(shù)學(xué)結(jié)果[8]．

綜上，3者均將數(shù)學(xué)表征能力劃分為3個(gè)維度，美國(guó)的《學(xué)校教育原則和標(biāo)準(zhǔn)》（2000）與PISA2018的維度劃分有異曲同工之妙，而Niss的維度劃分與前兩者劃分有些不同，未明確提出應(yīng)用的要求，但3者的要求均有在交叉維度中出現(xiàn)．為方便此次課程標(biāo)準(zhǔn)（教學(xué)大綱）幾何教學(xué)內(nèi)容的文本分析，得出數(shù)學(xué)表征能力的分析框架如表1所示．此分析框架為三級(jí)：第一級(jí)為表征水平，將表征能力分為表達(dá)交流、操作轉(zhuǎn)換和建模應(yīng)用3類(lèi)；第二級(jí)為內(nèi)涵，表達(dá)交流水平分為符號(hào)表達(dá)、圖形，操作轉(zhuǎn)換水平對(duì)應(yīng)操作模型，建模應(yīng)用水平對(duì)應(yīng)情境應(yīng)用；第三級(jí)為樣例，舉例說(shuō)明其對(duì)應(yīng)更為具體的數(shù)學(xué)表征，而且，將符號(hào)表達(dá)進(jìn)一步界定為書(shū)面符號(hào)（文字），操作模型進(jìn)一步分為公理（定理/性質(zhì)）和計(jì)算（方法）．

表1 數(shù)學(xué)表征能力分析框架

1.3 研究對(duì)象

研究對(duì)象來(lái)源于《20世紀(jì)中國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)·教學(xué)大綱》中的中學(xué)部分課程標(biāo)準(zhǔn)或教學(xué)大綱、2001年和2011年出版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的初中部分、以及2003年和2017年出版的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》．由于涉及的文本年限跨度較大，內(nèi)容較多，這里將僅從平面幾何和立體幾何兩科目來(lái)探討數(shù)學(xué)表征能力在中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（教學(xué)大綱）對(duì)應(yīng)教學(xué)內(nèi)容模塊中的發(fā)展趨勢(shì)．為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，后文將課程標(biāo)準(zhǔn)或教學(xué)大綱簡(jiǎn)寫(xiě)為課標(biāo)或大綱．

1.4 研究方法

采用文本分析法，其編碼流程分為3個(gè)階段，即初步形成編碼表—效度檢驗(yàn)—使用編碼表及信度分析．第一階段：通過(guò)閱讀文獻(xiàn)確立3個(gè)表征水平指標(biāo)及對(duì)應(yīng)內(nèi)涵，利用分析框架形成編碼表，兩個(gè)成員再分別選用相同的3個(gè)課標(biāo)的幾何教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行文本分析，在文本中尋找對(duì)應(yīng)的關(guān)鍵詞，修正內(nèi)涵，并進(jìn)一步確定關(guān)鍵詞樣例，初步形成一致的編碼表和關(guān)鍵詞選取原則（根據(jù)分析框架的內(nèi)涵和樣例選擇最合適的分類(lèi)，其中若關(guān)鍵詞有多種含義，至多填入兩種樣例分類(lèi)）．第二階段：第三個(gè)未參與的成員使用此編碼表隨機(jī)選取除之前選定的課標(biāo)進(jìn)行編碼，檢驗(yàn)此編碼表的有效性，若有效則進(jìn)入第二階段，否則進(jìn)一步修正分析框架的第三級(jí)指標(biāo)，二次編碼和驗(yàn)證，直至有效．第三階段：第一作者使用編碼表對(duì)幾何各部分內(nèi)容文本的關(guān)鍵詞進(jìn)行檢索、分類(lèi)、計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)．請(qǐng)第三作者隨機(jī)選取3個(gè)課標(biāo)，按照編碼表依次對(duì)平面幾何、立體幾何編碼表進(jìn)行詞頻統(tǒng)計(jì)，匯總為高中和初中兩個(gè)階段，計(jì)算得到內(nèi)部一致性分別為0.964和0.941．因此，編碼結(jié)果具有較高的信度和效度．

2 研究結(jié)果

20世紀(jì)的中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（教學(xué)大綱）是從1902年開(kāi)始存在的．但是，從1923年起，中學(xué)數(shù)學(xué)課標(biāo)才呈現(xiàn)具體的教學(xué)內(nèi)容．因?yàn)橐罁?jù)上述分析框架對(duì)數(shù)學(xué)課標(biāo)的教學(xué)內(nèi)容模塊進(jìn)行分析，所以接下來(lái)將僅呈現(xiàn)1923年之后的結(jié)果并予以分析．

2.1 平面幾何

2.1.1 初中

如圖1所示，從變化趨勢(shì)來(lái)看，表達(dá)交流水平和操作轉(zhuǎn)換水平波動(dòng)較大，二者變換趨勢(shì)大體一致，均表現(xiàn)為逐漸上升，但建模應(yīng)用水平波動(dòng)很?。粡臄?shù)量上來(lái)看，操作轉(zhuǎn)換水平最多，表達(dá)交流水平次之，建模應(yīng)用水平最少．

圖1 基于編碼的初中數(shù)學(xué)課標(biāo)平面幾何教學(xué)內(nèi)容

（1）第一階段（1923—1951）．

初始時(shí)期，由于課標(biāo)剛剛加入具體教學(xué)內(nèi)容，未進(jìn)一步充實(shí)，所以課標(biāo)教學(xué)內(nèi)容的描述更加側(cè)重表達(dá)交流水平．1932年開(kāi)始，課標(biāo)增加了實(shí)驗(yàn)幾何單元，同時(shí)強(qiáng)調(diào)幾何應(yīng)注重直觀；并將“訓(xùn)練學(xué)生關(guān)于計(jì)算及作圖之技能，養(yǎng)成計(jì)算純熟準(zhǔn)確，作圖美潔精密之習(xí)慣”[11]列為課程目標(biāo)之一．這些均體現(xiàn)了課標(biāo)對(duì)于操作轉(zhuǎn)換水平的重視在不斷增加．抗戰(zhàn)勝利后，為適應(yīng)社會(huì)需求，1948年教育部重新修訂課標(biāo)，教學(xué)內(nèi)容較之前更加具體．而新中國(guó)成立后，教育部通過(guò)座談會(huì)的方式發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)教材編排不合理、學(xué)生負(fù)擔(dān)過(guò)重，并于1950年頒發(fā)了精簡(jiǎn)綱要草案，精簡(jiǎn)教材中不必要或重復(fù)的內(nèi)容，故而知識(shí)數(shù)量降低．

課標(biāo)雖然在教學(xué)內(nèi)容模塊未有涉及建模應(yīng)用水平，但其它模塊有體現(xiàn)相關(guān)內(nèi)容．由于抗戰(zhàn)背景所致，實(shí)施方法均提出了關(guān)于軍事方面的具體應(yīng)用，如測(cè)量、測(cè)繪等．而且教學(xué)目標(biāo)也強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)與日常實(shí)際生活的聯(lián)系．

（2）第二階段（1952—2000）．

總體來(lái)說(shuō)，課標(biāo)的教學(xué)內(nèi)容在適應(yīng)中國(guó)國(guó)情的探索過(guò)程中逐步成熟．“52大綱”與中國(guó)之前的大綱相脫離，以蘇聯(lián)最新的十年制數(shù)學(xué)教學(xué)大綱為藍(lán)本，采取“先搬過(guò)來(lái)，再中國(guó)化”方針，只修改和補(bǔ)充完全不符合中國(guó)情況的內(nèi)容，故大綱的教學(xué)內(nèi)容數(shù)量和前面未能保持一致的趨勢(shì)．并且，該大綱注重系統(tǒng)地研究幾何圖形的性質(zhì)，以解答計(jì)算題和作圖題，因此操作轉(zhuǎn)換水平大幅提升．學(xué)習(xí)蘇聯(lián)時(shí)期，3個(gè)大綱中的幾何教學(xué)要求都有提到要“運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題”，但僅“56大綱”增加了一些有關(guān)生產(chǎn)技術(shù)的教學(xué)內(nèi)容，與建模應(yīng)用水平相對(duì)應(yīng)．

1960年，教育部送呈的“關(guān)于修訂中、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱和編寫(xiě)中、小學(xué)數(shù)學(xué)通用教材的請(qǐng)示報(bào)告”指出，“根據(jù)中國(guó)和兄弟?chē)?guó)家的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，初中學(xué)完平面幾何是可能的”[11]．相應(yīng)地，從1963年開(kāi)始，中國(guó)高中課標(biāo)的平面幾何教學(xué)內(nèi)容全部移入初中，因此該年大綱的教學(xué)內(nèi)容大幅度提升．同時(shí)，其教學(xué)要求指明要掌握平面幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，“解答平面幾何的證明題、計(jì)算題和作圖題，進(jìn)行簡(jiǎn)單的測(cè)量，以適應(yīng)參加生產(chǎn)勞動(dòng)和進(jìn)一步學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等科的需要”[11]，這也對(duì)應(yīng)著表征的3種水平．

1986年開(kāi)始，為配合義務(wù)教育的實(shí)施，中國(guó)在頒發(fā)義務(wù)教育課標(biāo)的過(guò)渡期以及實(shí)施階段，均秉承減負(fù)的理念．如1986年大綱針對(duì)1978年大綱的教學(xué)內(nèi)容做了適度調(diào)整，遵循“適當(dāng)降低難度，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，教學(xué)要求盡量明確、具體”[12]的原則；1990年對(duì)“86大綱”的修訂說(shuō)明指出“減去過(guò)多的內(nèi)容，降低過(guò)高的要求”[11]．

（3）第三階段（2001至今）．

第三階段，處于新世紀(jì)課程改革時(shí)期，其主要特征為：與前一階段相比，由于教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求混編的呈現(xiàn)方式進(jìn)一步細(xì)化了教學(xué)內(nèi)容，表達(dá)交流水平和操作轉(zhuǎn)換水平均顯著增長(zhǎng)．特別地，教學(xué)內(nèi)容更多以操作要求的形式展現(xiàn)．而且，教學(xué)內(nèi)容也加入了些許應(yīng)用，建模應(yīng)用水平有小幅增長(zhǎng)．

“01課標(biāo)”設(shè)置了“空間與圖形”以取代歐幾里得幾何體系．演繹幾何相對(duì)減少，實(shí)驗(yàn)幾何大幅增加，尤其新增大量變換幾何內(nèi)容，更多地與操作轉(zhuǎn)換水平相對(duì)應(yīng)．雖然課標(biāo)與實(shí)際生活聯(lián)系更加密切，要求從實(shí)例中探索、感受和認(rèn)識(shí)圖形[13]，但其關(guān)于解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的要求還是最少，即教學(xué)內(nèi)容較少?gòu)?qiáng)調(diào)建模應(yīng)用水平．

相對(duì)于“01課標(biāo)”，2011年版將“空間與圖形”改為“圖形與幾何”．而且教學(xué)內(nèi)容仍在增多，其中，表達(dá)交流水平增長(zhǎng)幅度最大．該課標(biāo)從學(xué)生發(fā)展的角度出發(fā)，刪除了一些重復(fù)、脫離學(xué)生生活需要或?qū)W習(xí)有困難的內(nèi)容，如梯形等；增加了相關(guān)內(nèi)容的補(bǔ)充，如概念等進(jìn)一步細(xì)化，對(duì)應(yīng)的表達(dá)交流水平進(jìn)一步凸顯[14]．同時(shí)，該課標(biāo)也增加了與圖形證明相關(guān)的選學(xué)內(nèi)容，以便為學(xué)生提供更多深入學(xué)習(xí)幾何的機(jī)會(huì)，操作轉(zhuǎn)換水平也相應(yīng)增加．

2.1.2 高中

如圖2，從整體上看，高中平面幾何變化趨勢(shì)與初中不同，表達(dá)交流和操作轉(zhuǎn)換均呈下降趨勢(shì)，但操作轉(zhuǎn)換水平曾出現(xiàn)大幅增長(zhǎng)的區(qū)間，波動(dòng)更大．同時(shí)，與初中有所相似的地方是，除前兩個(gè)教學(xué)大綱之外，操作轉(zhuǎn)換水平的數(shù)量一直高于表達(dá)交流水平，而且建模應(yīng)用水平一直數(shù)量最少，僅有小幅度波動(dòng)．

（1）第一階段（1923—1949）．

該階段初期處于摸索階段，教學(xué)內(nèi)容在不斷減少，從1932年開(kāi)始趨于穩(wěn)定．其主要特征體現(xiàn)為：隨著課標(biāo)表述愈發(fā)簡(jiǎn)潔，表達(dá)交流和操作轉(zhuǎn)換相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容在逐步下降的過(guò)程中趨于穩(wěn)定，二者的變化折線(xiàn)也由緊密相鄰到逐漸分化．

圖2 基于編碼的高中數(shù)學(xué)課標(biāo)平面幾何教學(xué)內(nèi)容

此階段課標(biāo)增加了大量知識(shí)，寫(xiě)法卻較之前精簡(jiǎn)，概念和定理少有進(jìn)一步展開(kāi)．但教法要求強(qiáng)調(diào)了幾何證明及作圖，這也可能導(dǎo)致操作轉(zhuǎn)換高于表達(dá)交流．1948年課標(biāo)改動(dòng)較多，刪減了作圖方法和部分定理，增加了部分圖形．建模應(yīng)用水平在此階段體現(xiàn)很少．從1932年開(kāi)始，提到了“基本軌跡及其應(yīng)用”，可以作為建模應(yīng)用水平的雛形；在抗日戰(zhàn)爭(zhēng)階段，教學(xué)要求增加了軍事應(yīng)用，如作圖和測(cè)量等．

（2）第二階段（1950—2002）．

相比于第一階段，該階段的操作轉(zhuǎn)換水平和表達(dá)交流水平進(jìn)一步出現(xiàn)明顯分化．同時(shí)，該階段出現(xiàn)一段平面幾何教學(xué)內(nèi)容空白期（1963—1995）．

1950—1962年，操作轉(zhuǎn)換水平顯著高于交流表達(dá)．1950年精簡(jiǎn)綱要對(duì)證明和作圖方法說(shuō)明更加明確．與之前課標(biāo)不同，經(jīng)學(xué)習(xí)蘇聯(lián)后，大綱的知識(shí)單元?jiǎng)澐值酶蛹?xì)致．而且“56大綱”增加了與實(shí)地測(cè)繪有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，建模應(yīng)用水平有所體現(xiàn)．

1996年，作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容的一部分，平面向量首次列入中國(guó)高中大綱，這也一定程度上說(shuō)明了中國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)在不斷地向現(xiàn)代化發(fā)展[15]．或許由于平面向量剛剛引入，大綱還未提及建模應(yīng)用，僅有“向量”和“向量的坐標(biāo)表示”與表達(dá)交流水平對(duì)應(yīng)，其余均為操作轉(zhuǎn)換水平．這也可能是由于向量是幾何轉(zhuǎn)為代數(shù)的工具，除用于表示幾何之外，更加注重工具性的使用．

（3）第三階段（2003至今）．

此階段課標(biāo)教學(xué)內(nèi)容與20世紀(jì)末保持一致，仍只有平面向量，但較之前，表達(dá)交流水平和操作轉(zhuǎn)換水平都有不同程度的增長(zhǎng)．后者內(nèi)容多于前者，與“增加數(shù)學(xué)意識(shí)”的要求有一定關(guān)系[16]．同時(shí)，建模應(yīng)用水平對(duì)應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容再次出現(xiàn)，這也體現(xiàn)著高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)制定組重視數(shù)學(xué)運(yùn)用意識(shí)[17]．

2017年版課標(biāo)與“03課標(biāo)”的向量?jī)?nèi)容基本一致，雖然向量的概念及表示在“加細(xì)”說(shuō)明，但由于向量本身的工具性，教學(xué)內(nèi)容對(duì)其操作轉(zhuǎn)換描述更多．值得一提的是，向量應(yīng)用作為單獨(dú)課時(shí)，尤其提到用以解決力學(xué)問(wèn)題．

2.2 立體幾何

2.2.1 初中

如圖3所示，從1932年起，初中課標(biāo)才有滲透少量的立體幾何內(nèi)容．其中，除1948年外，表達(dá)交流水平一直存在于各時(shí)期課標(biāo)教學(xué)內(nèi)容中，相比之下，操作轉(zhuǎn)換水平對(duì)應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容在1963—2000年出現(xiàn)空白期；而建模應(yīng)用水平在新世紀(jì)課標(biāo)中才有體現(xiàn)．

圖3 基于編碼的初中數(shù)學(xué)課標(biāo)立體幾何教學(xué)內(nèi)容

（1）第一階段（1923—1949）．

初中課標(biāo)的立體幾何僅體現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)幾何中，包含“空間幾何圖形”和“立體面積及體積之度量”，分別對(duì)應(yīng)表達(dá)交流水平中的1項(xiàng)圖形和操作轉(zhuǎn)換水平中的2項(xiàng)計(jì)算；而抗戰(zhàn)勝利后，1948年修訂的課標(biāo)僅剩余“簡(jiǎn)易立體面積及體積之計(jì)算”．

（2）第二階段（1950—2000）．

與前一階段相比，表達(dá)交流和操作轉(zhuǎn)換水平的平衡狀態(tài)被打破，均出現(xiàn)明顯增長(zhǎng)．1950—1956大綱中，實(shí)驗(yàn)幾何內(nèi)容被包含在算術(shù)學(xué)科，立體幾何集中于“體”、“面”和“簡(jiǎn)單幾何體”的體積計(jì)算公式．學(xué)習(xí)蘇聯(lián)大綱時(shí)期，課標(biāo)又加入了幾個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的表面積．除此之外，“56大綱”進(jìn)一步要求制作包括立方體和長(zhǎng)方體模型以及對(duì)應(yīng)的展開(kāi)圖，與該大綱的算術(shù)課程中的幾何教學(xué)方法提到的“利用圖形、模型和常見(jiàn)的物理，讓學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)各種幾何圖形”[11]相

呼應(yīng)．

1963—2000年，初中課標(biāo)僅包含表達(dá)交流水平．1963年起，初中算術(shù)課程取消，只講授平面幾何內(nèi)容，該大綱僅在幾何緒論中出現(xiàn)“體”和“面”與立體幾何對(duì)應(yīng)．而從1978年開(kāi)始，教學(xué)要求新增“初步了解簡(jiǎn)單體的視圖”[11]，注重培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，與之對(duì)應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容為“視圖的初步知識(shí)”和“簡(jiǎn)單體的視圖”[11]，并刪去了幾何緒論．“86大綱”又增加了“二視圖”和“三視圖”，進(jìn)一步擴(kuò)充了知識(shí)內(nèi)容．1992年起，中國(guó)正式啟用《九年義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用）》，發(fā)展學(xué)生的空間觀念在該大綱中體現(xiàn)更加突出，分布在幾何緒論、空間直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系和視圖3個(gè)部分．

（3）第三階段（2001至今）．

“01課標(biāo)”中，立體幾何的教學(xué)內(nèi)容集中分布于視圖與投影．由于教學(xué)內(nèi)容與具體要求混編，“視圖”內(nèi)容改為從操作的角度敘述，故而操作轉(zhuǎn)換劇烈增長(zhǎng)，表達(dá)交流相應(yīng)減少．當(dāng)然，這也可能與該課標(biāo)幾何體系發(fā)生改變，突出空間觀念有關(guān)．2011年延續(xù)前一課標(biāo)，將之前的“視圖與投影”改為“圖形的投影”，三視圖的要求未變，刪除了陰影、視點(diǎn)、視角盲區(qū)等內(nèi)容，故而表達(dá)交流再次下降．但兩課標(biāo)的建模應(yīng)用水平均體現(xiàn)了基本幾何體的視圖與展開(kāi)圖在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用．

2.2.2 高中

如圖4所示，從變化趨勢(shì)來(lái)看，操作轉(zhuǎn)換水平波動(dòng)最大，波峰波谷較多；相比之下，表達(dá)交流水平波動(dòng)較單一，總體趨勢(shì)為先上升后下降；建模應(yīng)用水平僅有3次近乎與零刻度線(xiàn)貼合的波動(dòng)．從數(shù)量來(lái)看，建國(guó)前，除個(gè)別課標(biāo)外，表達(dá)交流水平對(duì)應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容均高于操作轉(zhuǎn)換水平，建國(guó)后，恰好相反；建模應(yīng)用水平數(shù)量接近于零．

圖4 基于編碼的高中數(shù)學(xué)課標(biāo)立體幾何教學(xué)內(nèi)容

（1）第一階段（1923—1949）．

在1923年和1929年的課標(biāo)教學(xué)內(nèi)容中，立體幾何在幾何“空間部”單元呈現(xiàn)．1932年課標(biāo)教學(xué)內(nèi)容首次出現(xiàn)“立體幾何”字樣．此3個(gè)課標(biāo)的教學(xué)內(nèi)容全部以羅列圖形為主，計(jì)算和定理次之，未涉及應(yīng)用．特別地，1932年公布的正式課標(biāo)增加了代數(shù)和三角部分的內(nèi)容和課時(shí)，而幾何課時(shí)每周減少一次，立體幾何較之前刪除了空間位似圖和空間對(duì)稱(chēng)圖等內(nèi)容．

1941年六年制課標(biāo)與1936年課標(biāo)基本保持一致，區(qū)別是1936年課標(biāo)為緩解學(xué)生學(xué)業(yè)壓力，提出分兩組方案教學(xué)，僅甲組包含立體幾何，而1941年不再分組教學(xué)．兩課標(biāo)的立體幾何教法要點(diǎn)均提出需注重空間性質(zhì)及量法，因此偏重操作轉(zhuǎn)換水平．而且，其教學(xué)內(nèi)容包含“關(guān)于多面體及回轉(zhuǎn)體之各種應(yīng)用問(wèn)題”，與建模應(yīng)用水平相對(duì)應(yīng)．

為適應(yīng)抗戰(zhàn)需求，1941年修訂的高中課標(biāo)，該立體幾何課時(shí)每周縮短一小時(shí)，降低了對(duì)其教學(xué)要求，而且教法要點(diǎn)提出“使學(xué)生能將空間圖形表示清楚”[11]，突出了對(duì)表達(dá)交流水平的需求．可能與初中算術(shù)中已講授立體面積與體積有關(guān)，高中課標(biāo)的求積計(jì)算只包含球．抗戰(zhàn)勝利后，1948年修訂課標(biāo)與1941年修訂課標(biāo)在立體幾何教學(xué)內(nèi)容保持一致，僅提高了教學(xué)要求．

（2）第二階段（1950—2002）．

與第一階段相比，該階段課標(biāo)操作轉(zhuǎn)換水平持續(xù)高于表達(dá)轉(zhuǎn)換水平，未提及建模應(yīng)用水平，但在教學(xué)目的均提及到與實(shí)際相聯(lián)系．

從1950年開(kāi)始，中國(guó)課標(biāo)的教學(xué)內(nèi)容對(duì)許多綱目進(jìn)一步細(xì)化，圖形和定理、面積與體積的計(jì)算數(shù)量均在增多，且后者比重稍多于前者．學(xué)習(xí)蘇聯(lián)時(shí)期，大綱均在說(shuō)明模塊中清晰地指出了幾何的教學(xué)目的，對(duì)幾何圖形性質(zhì)的系統(tǒng)研究和面積、體積的計(jì)算，對(duì)學(xué)生邏輯思維和空間想象能力的培養(yǎng)以及幾何的實(shí)際應(yīng)用與測(cè)量．與此對(duì)應(yīng)的，教學(xué)內(nèi)容除了包含直線(xiàn)與平面、多面體和回轉(zhuǎn)體等立體圖形外，性質(zhì)、定理、求積運(yùn)算等內(nèi)容要遠(yuǎn)高于之前課標(biāo)．

“63大綱”強(qiáng)調(diào)了基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的重要性，而且立體幾何的教學(xué)內(nèi)容增加了多面體和旋轉(zhuǎn)體的直觀圖、二視圖等圖形．“78大綱”中，直線(xiàn)和平面在空間的位置關(guān)系相關(guān)內(nèi)容未有縮減，但對(duì)多面體和旋轉(zhuǎn)體的要求僅?！澳芙鉀Q有關(guān)柱、錐、臺(tái)、球的一些計(jì)算問(wèn)題”，教學(xué)內(nèi)容未有進(jìn)一步呈現(xiàn)，所以表達(dá)交流水平和操作轉(zhuǎn)換水平這些都跌至前面的最低點(diǎn)．

1978—1995年，立體幾何教學(xué)內(nèi)容在各數(shù)學(xué)表征能力水平變化穩(wěn)定．“80大綱”是在“78大綱”的基礎(chǔ)上修訂的，除了多面體和旋轉(zhuǎn)體計(jì)算有進(jìn)一步擴(kuò)展外，部分幾何體的概念、性質(zhì)、畫(huà)法也被列入，因此表達(dá)交流水平和操作轉(zhuǎn)換水平都有增加．1996—2002年課標(biāo)教學(xué)內(nèi)容3個(gè)水平的分布保持一致．與之前大綱的區(qū)別在于教學(xué)內(nèi)容再次精簡(jiǎn)，如幾何體的表面積和體積計(jì)算只呈現(xiàn)在具體要求中．

（3）第三階段（2003至今）．

新世紀(jì)課程改革開(kāi)始，課標(biāo)教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)要求混編，很多關(guān)鍵詞由原來(lái)的靜態(tài)轉(zhuǎn)為動(dòng)態(tài)，操作轉(zhuǎn)換水平顯著提升．2003年高中課標(biāo)實(shí)行文理科不同教學(xué)內(nèi)容，理科較文科多出“空間向量與立體幾何”單元．而且，從2003年開(kāi)始，建模應(yīng)用水平對(duì)應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容再次出現(xiàn)，如2003年課標(biāo)的實(shí)習(xí)作業(yè)要求畫(huà)建筑物的直觀圖和三視圖，2017版課標(biāo)有對(duì)幾何體表面積和體積公式的實(shí)際應(yīng)用等．

3 討論與結(jié)論及啟示

從平面幾何、立體幾何課程教學(xué)內(nèi)容模塊，對(duì)20世紀(jì)以來(lái)中國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（教學(xué)大綱）中數(shù)學(xué)表征能力趨勢(shì)進(jìn)行梳理，可以初步得到以下結(jié)論．

（1）中國(guó)中學(xué)課標(biāo)對(duì)數(shù)學(xué)表征能力的表達(dá)交流水平和操作轉(zhuǎn)換水平一直比較注重，特別地，對(duì)于操作轉(zhuǎn)換水平的關(guān)注一直處于增加的過(guò)程，而對(duì)表達(dá)交流水平的要求相對(duì)穩(wěn)定．

（2）21世紀(jì)以前的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（大綱）較少關(guān)注數(shù)學(xué)表征能力的建模應(yīng)用水平，新世紀(jì)以后的課程標(biāo)準(zhǔn)在這方面有一定增長(zhǎng)，尤其是2017年版高中課標(biāo)將數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)單獨(dú)作為一個(gè)主題．因此，與建模應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)表征能力將會(huì)受到越來(lái)越多的重視．

研究還發(fā)現(xiàn)，上述結(jié)果與時(shí)代背景密切相關(guān)，其知識(shí)內(nèi)容及體系在不斷適應(yīng)社會(huì)和個(gè)人發(fā)展的過(guò)程中變化著．

20世紀(jì)50年代，中國(guó)教育開(kāi)始進(jìn)入全面學(xué)習(xí)蘇聯(lián)階段，將蘇聯(lián)十年制學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)大綱改編為中國(guó)新大綱．該大綱教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)較中國(guó)之前大綱更加嚴(yán)謹(jǐn)，著重了對(duì)知識(shí)與技能的系統(tǒng)學(xué)習(xí)和邏輯思維的訓(xùn)練，因此，數(shù)學(xué)表征能力主要體現(xiàn)在操作轉(zhuǎn)換和表達(dá)交流上．

20世紀(jì)80年代，隨著改革開(kāi)放時(shí)期的到來(lái)，中國(guó)的教育開(kāi)始全面進(jìn)入復(fù)蘇和發(fā)展階段．課標(biāo)的修訂過(guò)程立足于中國(guó)的國(guó)情，在實(shí)踐中不斷吸取經(jīng)驗(yàn)[18]．課標(biāo)更加強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能．而且，為減負(fù)，課標(biāo)推出因材施教，分科教學(xué)或增加選學(xué)內(nèi)容模塊，有益于學(xué)生的個(gè)性發(fā)展．

為適應(yīng)新世紀(jì)的迅速發(fā)展，中國(guó)先后分別頒發(fā)了兩次《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》．隨著許多國(guó)家將數(shù)學(xué)表征能力列為學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力之一，數(shù)學(xué)表征能力在中國(guó)課標(biāo)中也愈發(fā)得到重視，并且一直呈現(xiàn)增長(zhǎng)趨勢(shì)．特別地，建模應(yīng)用水平在課標(biāo)的教學(xué)內(nèi)容中一直體現(xiàn)較少，但2017年版高中課標(biāo)將數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)和數(shù)學(xué)探究活動(dòng)作為4個(gè)主題之一．這一舉措展現(xiàn)了課標(biāo)對(duì)建模應(yīng)用的重視程度以及單獨(dú)發(fā)展中學(xué)生建模能力的必要性．目前，新的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課標(biāo)修訂在即，建?；顒?dòng)也很大程度上適合被增入新修訂的課標(biāo)中．

通過(guò)研究，可以得到如下啟示：（1）在許多國(guó)家的中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和數(shù)學(xué)表征能力的相關(guān)文獻(xiàn)中，數(shù)學(xué)表征能力被列為學(xué)生數(shù)學(xué)核心能力之一，因此中國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)也應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)表征能力的內(nèi)涵、行為表現(xiàn)提出明確的要求；（2）強(qiáng)調(diào)“雙基”教學(xué)是中國(guó)數(shù)學(xué)課程的傳統(tǒng)，在保持傳統(tǒng)的同時(shí)，應(yīng)該大力提倡數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，特別是即將修訂的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，也需提出明確的課程及教學(xué)要求．

致謝：特此感謝華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院徐斌艷教授、數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院范良火教授和鮑建生教授在文章寫(xiě)作過(guò)程中給予的指導(dǎo)和幫助．

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The Development Trend and Enlightenment of Mathematical Representational Competency in Mathematics Standards of Middle School in China since the 20th Century——Taking Geometry as an Example

LI Na1, ZHANG Jin-yu2, 3, SHEN Yang1

(1. School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China;3. Shanghai Research Base for School Mathematics Education, Shanghai 200241, China)

According to the Chinese mathematics syllabi of middle school in different eras since the 20th century, the paper used text analysis method to construct an analytical framework of mathematical representational competency based on related research, which contained three levels, i.e. (1) expression and communication, (2) operation and transformation, and (3) modelling and application. Based on the framework, we then analyzed the content of plane geometry and solid geometry in Chinese mathematics syllabi for middle school respectively, and further discussed the developmental trend of the competency in Chinese middle school mathematics syllabi since the 20th century and the enlightenment. The results showed that Chinese middle school mathematics syllabi gradually paid more attention to operation and transformation, whereas the request for expression and communication remained relatively stable. Compared with them, the syllabi showed less attention to the modelling and application, though the situation was slightly better than before.

mathematical representational competency; mathematics in middle school; syllabus; course content; geometry

2019–03–16

教育部人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地重大項(xiàng)目——中國(guó)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)評(píng)研究（16JJD880023）；上海高?！傲⒌聵?shù)人”人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地——華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地項(xiàng)目（A8）

李娜（1994—），女，遼寧遼陽(yáng)人，博士生，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．

G423.07

A

1004–9894（2019）03–0036–06

李娜，張晉宇，沈陽(yáng)．20世紀(jì)以來(lái)中國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)課程中數(shù)學(xué)表征能力的發(fā)展趨勢(shì)與啟示——以幾何為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（3）：36-41．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳雋]