高飛

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年）》指出：“教學(xué)活動(dòng)中，要使學(xué)生逐步體會(huì)為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標(biāo)準(zhǔn)。在分類的過(guò)程中，如何認(rèn)識(shí)對(duì)象的性質(zhì)，如何區(qū)分不同對(duì)象的不同性質(zhì)?！庇纱丝梢?jiàn)，分類不僅是一種重要的數(shù)學(xué)思想和思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，而且是學(xué)生理解及掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的重要方式。小學(xué)階段，幾乎所有數(shù)學(xué)概念都能在生活中找到它們的原型。舉目四望，生活中隨處可見(jiàn)“平行”和“相交（垂直）”的現(xiàn)象。課始，引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)兩條直線，一方面能夠激活學(xué)生已有的關(guān)于兩條直線位置關(guān)系的“前概念”，為新知識(shí)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備，另一方面，為認(rèn)識(shí)“平行”和“垂直”積累外部思維材料，激發(fā)學(xué)生探究學(xué)習(xí)的興趣。教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生圍繞幾組直線展開(kāi)三次分類活動(dòng)，從而促使學(xué)生理解平行和垂直概念的本質(zhì)特征，實(shí)現(xiàn)生活經(jīng)驗(yàn)“數(shù)學(xué)化”。

一、經(jīng)歷第一次分類活動(dòng)，消除生活經(jīng)驗(yàn)的干擾

數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生自主確定分類標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素材進(jìn)行比較及分類活動(dòng)，可以暴露學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)對(duì)概念學(xué)習(xí)的干擾，這些認(rèn)知上的錯(cuò)誤往往就是教學(xué)難點(diǎn)。通過(guò)組織學(xué)生對(duì)認(rèn)知錯(cuò)誤進(jìn)行辨析和交流，能夠及時(shí)消除“負(fù)遷移”的影響，提高學(xué)生概念“首次感知”的效果。為此，可以在學(xué)生自主畫(huà)出四組直線的基礎(chǔ)上，組織學(xué)生分類。

師：這四組直線可以分成幾類？怎樣分？為什么這樣分？

生1：根據(jù)兩條直線是否相交，可以分成兩類：

師：兩種分類方法的不同點(diǎn)是什么？

師：到底相交不相交？我們可以——

生：延長(zhǎng)看看！

師生共同延長(zhǎng)后發(fā)現(xiàn)可以相交。

學(xué)生在作業(yè)紙上延長(zhǎng)兩條直線，發(fā)現(xiàn)不相交。

師：在同一個(gè)平面內(nèi)不相交的兩條直線叫平行線，也可以叫互相平行。

直線是抽象思維的產(chǎn)物，是一種主觀性存在。在生活中，人們能見(jiàn)到的線都是線段，所以像■這樣的位置關(guān)系，學(xué)生往往認(rèn)為是不相交的，形成生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)平行概念認(rèn)識(shí)的負(fù)遷移。這也是認(rèn)識(shí)平行概念的教學(xué)難點(diǎn)。而出現(xiàn)這種負(fù)遷移是由于學(xué)生對(duì)直線本質(zhì)屬性認(rèn)識(shí)上的“缺陷”造成的。因此，讓學(xué)生重新體驗(yàn)及感受直線的無(wú)限性特征，是突破平行概念認(rèn)知難點(diǎn)的舉措之一。案例中，首先引導(dǎo)學(xué)生對(duì)同一平面內(nèi)四組直線的位置關(guān)系自主分類，充分暴露學(xué)生認(rèn)識(shí)平行時(shí)可能出現(xiàn)的問(wèn)題。其次，結(jié)合直線的特性，通過(guò)操作（延長(zhǎng)）和交流等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“不相交”的兩條直線是可以相交的事實(shí)，從而突破了平行概念認(rèn)知的障礙，鋪平了概念學(xué)習(xí)的道路。

二、經(jīng)歷第二次分類活動(dòng)，認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)特征

分類活動(dòng)的關(guān)鍵是確定分類依據(jù)或者標(biāo)準(zhǔn)。學(xué)生經(jīng)歷確立分類標(biāo)準(zhǔn)的思考過(guò)程，就是深入感知、體驗(yàn)、歸納和概括概念的本質(zhì)屬性的思維過(guò)程。為此，在垂直教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷對(duì)幾組相交直線進(jìn)行分類的活動(dòng)，就是對(duì)幾組直線位置關(guān)系進(jìn)行觀察和比較、分析和綜合、歸納和概括的認(rèn)知過(guò)程。學(xué)生經(jīng)歷此過(guò)程，就可以體會(huì)和感悟互相垂直概念的本質(zhì)特征，從而理解并建構(gòu)數(shù)學(xué)概念。

出示：

師：比一比，余下三組直線有什么相同點(diǎn)？

生：每組直線相交于一點(diǎn)。

生：三組直線相交后分別組成四個(gè)角。

師：量一量，三組直線相交成的角分別是多少度？

學(xué)生測(cè)量之后交流。

師：相交成的角有什么不同點(diǎn)？

生：相交成的角有的是銳角和鈍角，有的是直角。

師：假如把三組直線劃分為兩類，你認(rèn)為可以怎樣分？為什么這樣分？

師：為什么這樣分？

生：根據(jù)相交成的角是不是直角劃分的。

師指出：兩條直線相交成直角，就說(shuō)這兩條直線是互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點(diǎn)叫做垂足。（板書(shū)）

烏申斯基指出：“比較是我們理解和思維的基礎(chǔ)，我們正是通過(guò)比較來(lái)認(rèn)識(shí)世界的一切的。”案例中，通過(guò)觀察、比較、測(cè)量等活動(dòng)，讓學(xué)生從操作和結(jié)果兩個(gè)方面，體驗(yàn)和辨別每組直線相交所成“角”的不同之處，為接下來(lái)的分類活動(dòng)奠定認(rèn)知基礎(chǔ)。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生結(jié)合每組直線相交所成的角的特點(diǎn)，確定分類標(biāo)準(zhǔn)，把三組直線劃分成兩類。學(xué)生經(jīng)歷此分類過(guò)程，不僅是深入比較和分析、討論和交流三組直線的位置關(guān)系，深刻感受相互垂直的本質(zhì)特征的思維過(guò)程，更是體悟分類思想方法，積累分類活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要時(shí)機(jī)。

三、經(jīng)歷第三次分類活動(dòng)，系統(tǒng)掌握概念的結(jié)構(gòu)

如果說(shuō)，前兩次分類活動(dòng)是促進(jìn)學(xué)生理解“平行”和“相互垂直”的概念，那么，第三次分類活動(dòng)就是在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生從更高層次上抽象和概括同一個(gè)平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系的特征，促成學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)“結(jié)構(gòu)化”“系統(tǒng)化”，深化學(xué)生對(duì)“相互平行”和“相互垂直”的概念認(rèn)識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，提升學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)。

出示：下面各組直線，哪一組互相平行？哪一組互相垂直？

在學(xué)生判斷并說(shuō)理的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷第三次分類活動(dòng)：

師：這四組直線，讓你分成兩類，打算怎樣分？為什么這樣分？

生：根據(jù)是否相交，第2組直線分成一類，第1、3、4組直線分成一類。

師：根據(jù)現(xiàn)在分類結(jié)果，你能想辦法把同一平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系整理出來(lái)嗎？

生：同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系，可以分為：平行和相交，其中相交中包含相互垂直。

在學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)相互平行和相互垂直的概念的基礎(chǔ)上，通過(guò)學(xué)生的比較、分析、整理和交流等活動(dòng)，促使學(xué)生在更高層次上歸納和概括同一個(gè)平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系已經(jīng)“水到渠成”。案例中，學(xué)生利用文字或思維導(dǎo)圖等形式，表征同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系，有助于學(xué)生深化和提升概念理解水平，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]