陳中明

摘要：全概率公式和貝葉斯公式是概率論中的兩個重要公式，也是教學中的重點和難點。本文運用啟發(fā)式教學方法，分別從公式的引入、理解及應用三個方面對全概率公式和貝葉斯公式的教學設計進行了探討，結(jié)合案例引導學生熟悉掌握全概率公式和貝葉斯公式。

關鍵詞：全概率公式；貝葉斯公式；啟發(fā)式教學；教學設計

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2019）25-0202-02

一、前言

全概率公式與貝葉斯公式是概率論課程中的兩個重要公式，這部分內(nèi)容是條件概率知識的進一步擴展和延伸，研究如何從已知簡單事件的概率推算出未知復雜事件的概率。全概率公式和貝葉斯公式在模型預測、可靠性評估、產(chǎn)品檢測、機器學習等領域有著廣泛的應用。由于公式較復雜，難于記憶，更因其在實際生活的應用廣泛而成為概率論課程教學中的一個重點和難點問題。在實際教學中，學生常常只是硬背公式，卻不知道怎么用。結(jié)合實際教學經(jīng)驗，本文就全概率公式和貝葉斯公式的教學設計給出了新的嘗試，運用啟發(fā)式教學法，引導學生理解公式背后的含義，并結(jié)合有趣的例子以調(diào)動學生的興趣和提高解決實際問題的能力。

二、引例

課堂引入階段，運用啟發(fā)式教學法，結(jié)合學生熟悉的掛科問題，激發(fā)學習興趣，通過實例簡單分析全概率公式和貝葉斯公式的實質(zhì)，形成對新公式的直觀性理解。

例1：根據(jù)以往某門課程的考試結(jié)果分析，努力學習的學生有90%的可能考試及格，不努力的學生有90%的考試不及格。據(jù)調(diào)查，學生中有80%的人是努力學習的。問1：隨機選一名學生，其考試及格的可能性多大？問2：若某同學考試及格，其有多大可能是學習努力的？

分析：設A表示學習努力，表示學習不努力，B表示考試及格，表示考試不及格，依題意有P（B|A）=

0.9，P（|）=0.9，P（A）=0.8，求P（B）和P（A|B）。為求

P（B），我們可以先把考試及格的學生分成兩類：一類是學習努力的學生，一類是學習不努力的學生，然后分別計算在兩種情況下考試及格的概率，即P（B）=

P（B|A）P（A）+P（B|）P（）=0.9×0.8+0.1×0.2=0.74。其中，P（B|）=1-P（|）=0.1，P（）=1-P（A）=0.2?？紤]

P（A|B）時，實際上是一個反向思考的過程，即我們已知考試結(jié)果來推斷產(chǎn)生結(jié)果的原因。這里可以直接運用條件概率公式和乘法公式，有P（A|B）====0.973。

該例題簡單明了，學生易于接受，推導過程也不復雜，大部分學生是可以理解的，同時也符合學生的直覺，即：只有努力學習才有可能考試及格。在求解例1的過程中，第一問是從因素出發(fā)，求出最后結(jié)果發(fā)生的概率，而第二問是在已知結(jié)果的情況下來分析產(chǎn)生的原因。由此，便自然誘導出要學習的全概率公式和貝葉斯公式了。

三、相關概念及思想

公式闡述階段，結(jié)合前面的例子引入公式基本概念，通過類比分析理解，促進嚴謹思維習慣和邏輯推理能力。

1.樣本空間的劃分。設S為試驗E的樣本空間，B，B，…，B為E的一組事件。若：（1）BB=？覫，i≠j，i，j=1，

2，…，n；（2）B∪B∪…∪B=S，則稱B，B，…，B為樣本空間S的一個劃分。在前面的例子中，我們把整個樣本空間S按照學習是否努力做了劃分，即S=A∪。

2.全概率公式和貝葉斯公式。有了劃分概念，再結(jié)合乘積公式和條件概率公式就可以推導出全概率公式和貝葉斯公式了。

定理1：（全概率公式）設試驗E的樣本空間為S，A為E的事件，B，B，…，B是樣本空間S的一個分割，且P（B）>0（i=1，2，…，n），則P（A）=∑P（A|B）P（B）。

定理2：（貝葉斯公式）設試驗E的樣本空間為S，A為E的事件，B，B，…，B是樣本空間S的一個劃分，

P（A）>0，P（B）>0（i=1，2，…，n），則P（B|A）=。

3.對全概率公式和貝葉斯公式的理解。全概率公式和貝葉斯公式均可用來求解復雜事件的概率，兩個公式也體現(xiàn)了兩種不同的思維方式。全概率公式實際上是一個“由因推果”的過程，運用的是化整為零、分類討論的思想，通過將一個復雜事件的概率計算問題分解為若干個簡單事件的概率計算問題，最后應用概率的可加性求出最終結(jié)果。貝葉斯公式是一個“執(zhí)果尋因”的過程，分析每個原因?qū)Y(jié)果所做的貢獻，相應的條件概率即為該原因?qū)Y(jié)果所做貢獻的比例。全概率公式和貝葉斯公式的含義以及兩者之間的聯(lián)系可由下圖表示。

四、應用實例

在實踐教學階段，全概率公式和貝葉斯公式在生活中有著廣泛的應用，可以選取一些貼近生活的例題，讓學生有興趣思考，從而運用所學的知識解決問題。這里以伊索寓言中“狼來了”的故事為例。

例2：一個小孩每天到山上放羊，山上有狼出沒。一天，他在山上喊“狼來了、狼來了”，山下的村民聞聲去打狼，到了山上，發(fā)現(xiàn)狼并沒有來；第二天仍是如此，第三天，狼真的來了，可任憑牧羊的孩子怎么喊叫，也沒有人去救他，因為前兩次他撒了謊，村民們不再相信他。問：如何用概率知識解釋故事背后的道理？

分析：事件A：“小孩說謊”；事件B：“小孩可信”。假設村民起初對小孩的信任度P（B）=0.8，可信的孩子說謊的可能性P（A|B）=0.1，不可信的孩子說謊的可能性P（A|）=0.5。

第一次小孩說謊后，村民對小孩的信任度變?yōu)椋?/p>

P（B|A）===0.444。

這表明村民上一次當以后對小孩的信任程度由原來的0.8降到0.444。

在此基礎上，依然用貝葉斯公式計算小孩第二次說謊后村民對他的信任度：

P（B|A）===0.138。

五、結(jié)語

采用啟發(fā)式教學法，以學生熟悉的課堂生活為故事情境，引入全概率公式和貝葉斯公式，激發(fā)學生的學習興趣，在解決問題的同時提煉了學習重點，體現(xiàn)了知識源于實踐的特點。用形象、生動的語言來解釋公式的內(nèi)涵，可以加強學生對知識的理解和掌握。知識性和趣味性的結(jié)合，有助于提高教學效果。

參考文獻：

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