杜 浩，楊 戈，劉海倫

（上海同科交通科技有限公司，上海 200092）

機場道面使用性能預(yù)測是道面養(yǎng)護決策優(yōu)化及中長期養(yǎng)護計劃制定的基本依據(jù)，是道面管理系統(tǒng)的核心。合理的預(yù)測對提高道面維修養(yǎng)護水平和節(jié)省維修經(jīng)費具有重要意義。由于中國機場道面現(xiàn)場檢測數(shù)據(jù)較少，道面性能影響因素復(fù)雜、變異性大，傳統(tǒng)道面性能預(yù)測方法難以適用。

目前道面使用性能預(yù)測的主要方法包括：以力學(xué)分析或回歸分析為基礎(chǔ)的確定型模型和以馬爾可夫為代表的概率型模型[1]，近年來又出現(xiàn)了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[2]和灰色預(yù)測[3]等新方法。在確定型模型和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中，前者無法反映路面使用性能復(fù)雜多變的特性，后者雖可以考慮多因素對道面使用性能的影響，但需要大量的訓(xùn)練樣本。灰色預(yù)測的優(yōu)點是無需考慮復(fù)雜因素的影響，直接從自身數(shù)據(jù)序列中尋找建模信息，能夠適用于樣本數(shù)量小、影響因素復(fù)雜的預(yù)測問題，且短期預(yù)測精度較高，但不宜作長期預(yù)測[4]。

馬爾可夫模型主要是針對道面使用性能變化受載荷、環(huán)境、材料等變異性影響具有不確定性而建立的，它通過概率分布的形式反映各隨機因素對道面性能的影響程度，利用狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移概率矩陣預(yù)測事件發(fā)生的狀態(tài)及其發(fā)展變化的趨勢，因而更符合實際情況，具有較大的應(yīng)用前景。其特點是建模簡單適用于長期預(yù)測，具有無后效性、可變起點。但在歷史數(shù)據(jù)不足時，多采用回歸分析方法確定轉(zhuǎn)移概率矩陣[5]，這種方法雖能彌補樣本數(shù)據(jù)不足的缺點，卻對模型建立帶來較大誤差。

根據(jù)中國道面使用性能數(shù)據(jù)量貧乏、道面性能變化復(fù)雜的特點，針對馬爾可夫方法在道面使用性能預(yù)測中存在的問題，提出基于灰色預(yù)測的馬爾可夫道面使用性能預(yù)測方法。該方法利用灰色預(yù)測模型所需信息少，具有克服樣本數(shù)據(jù)少且短期預(yù)測精度高的優(yōu)點，對道面使用性能進行短期預(yù)測，補充實測樣本信息。在此基礎(chǔ)上，采用最小二乘法替代回歸法建立馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率矩陣，并應(yīng)用馬爾可夫模型進行道面使用性能的中長期預(yù)測。

1 灰色預(yù)測模型

GM（1，1）模型[6]是指一階、一個變量的微分方程預(yù)測模型，是用于時間單序列的線性動態(tài)模型。其建模過程如下：設(shè)已知原始數(shù)列為X(0)=（x(0)（1），x(0)（2），…，x(0)（n）），對X(0)進行一次累加生成（1-AGO），得到新數(shù)列X(1)=（x(1)（1），x(1)（2），…，x(1)（n）），對一階生成數(shù)據(jù)序列建立預(yù)測模型為

其中：a、u 為待識別的灰色參數(shù)。對其進行最小二乘估計，得到時間響應(yīng)式為

進行累減還原后得到原始序列的預(yù)測值為

然后進行精度檢驗，采用絕對關(guān)聯(lián)度和相對誤差雙項指標(biāo)檢驗灰色模型的精度。接受標(biāo)準(zhǔn)為相對誤差不超過2%，且絕對關(guān)聯(lián)度大于0.8。

2 馬爾可夫預(yù)測模型

馬爾可夫預(yù)測就是根據(jù)某些變量的現(xiàn)在狀態(tài)及其變化趨向，預(yù)測其在未來某一特定期間內(nèi)可能出現(xiàn)的狀態(tài)。假設(shè)系統(tǒng)所處的狀態(tài)有n 種，任意時刻系統(tǒng)處于各種狀態(tài)的概率分布記為

定義系統(tǒng)從狀態(tài)i 經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j 的概率為一步轉(zhuǎn)移概率，則具有n 種狀態(tài)的系統(tǒng)轉(zhuǎn)移概率就構(gòu)成了系統(tǒng)轉(zhuǎn)移概率矩陣P，即

因此，事物t 時刻的狀態(tài)概率向量X（t）可由初始狀態(tài)的概率向量X（0）表示，則馬爾可夫預(yù)測模型為

馬爾卡夫預(yù)測方法的建模步驟主要有3 個：①選擇預(yù)測指標(biāo)，劃分指標(biāo)狀態(tài)空間；②獲得馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率矩陣；③應(yīng)用式（7）進行狀態(tài)預(yù)測?？梢婑R爾可夫預(yù)測的關(guān)鍵是如何獲取一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P。

2.1 狀態(tài)劃分

采用國際廣泛應(yīng)用的道面狀況指數(shù)（PCI，pavement condition index）作為道面使用性能的預(yù)測指標(biāo)。為了較好地反映機場道面使用性能的衰減過程，將PCI 離散為由優(yōu)、良、中、次、差5 個狀態(tài)組成的狀態(tài)空間，然后確定每個狀態(tài)對應(yīng)的區(qū)間及區(qū)間中值。并作如下假設(shè)：在日常維修養(yǎng)護條件下，道面使用性能由低水平狀態(tài)向高水平狀態(tài)轉(zhuǎn)移的情況不會發(fā)生。即當(dāng)i ＞j 時，pij=0；在一年時間內(nèi)其使用性能等級不會下降太快，可近似認為道面使用性能衰減只發(fā)生在兩個等級之間。即當(dāng)j-1≥2 時，轉(zhuǎn)移矩陣可表示為

2.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的確定

確定馬爾可夫轉(zhuǎn)移矩陣常用的方法有統(tǒng)計法和回歸分析法，統(tǒng)計法需要大量的樣本數(shù)據(jù)，所以缺乏可行性。而回歸分析法即應(yīng)用道面使用性能的經(jīng)驗回歸方程獲取馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率矩陣[5]，具體如下：

1）將狀態(tài)空間中值向量c 代入回歸方程，反算使用年數(shù)ti，并將ti+1代入回歸方程求得一年后性能參數(shù)的期望值；

2）近似假定PCI 在使用年數(shù)上呈正態(tài)分布，以各性能參數(shù)的期望值為均值，以回歸方程的誤差標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)離差，在所有狀態(tài)上離散該分布，然后計算落在各狀態(tài)上的概率。

回歸法的缺點是：①要獲取道面使用性能的經(jīng)驗回歸方程，在沒有歷史數(shù)據(jù)的情況下只能移植或借鑒其他道面的回歸方程，與實際情況不符；②由回歸方程確定的正態(tài)分布參數(shù)并不一定具有無偏性，從而導(dǎo)致建模誤差較大。因此，在少量樣本數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上采用最小二乘法求解道面狀況轉(zhuǎn)移矩陣，最小二乘法求解方法為

其中：at=a0Pt，a0為預(yù)測基年道面使用性能的狀態(tài)分布概率向量；at為t 時刻的狀態(tài)分布概率向量；y（t）為t時刻的樣本值；（t）為t 時刻道面性能預(yù)測的期望值；c 為各狀態(tài)區(qū)間的中值向量。

為比較不同建模方法對預(yù)測結(jié)果的影響，分別使用以上兩種方法得到的轉(zhuǎn)移概率矩陣進行預(yù)測。為方便起見，將建立在回歸法基礎(chǔ)上的預(yù)測方法記為灰-馬（Ⅰ），將建立在最小二乘法基礎(chǔ)上的預(yù)測方法記為灰-馬（Ⅱ）。

2.3 預(yù)測值及精度檢驗

確定系統(tǒng)的馬爾可夫轉(zhuǎn)移矩陣后，由馬爾可夫預(yù)測模型可確定系統(tǒng)未來某年的狀態(tài)分布向量，結(jié)合狀態(tài)分布區(qū)間的中值，計算PCI 預(yù)測指標(biāo)的期望值，以該期望值作為道面使用性能指標(biāo)的馬爾可夫預(yù)測值。決策者依據(jù)預(yù)測值判斷道面所處的狀態(tài)區(qū)間來制定相應(yīng)的維修措施，因此更關(guān)心誤差對判斷結(jié)果的影響。故采用絕對誤差描述模型精度，中遠期預(yù)測誤差應(yīng)分別小于3 和5。

3 實例分析

由于中國尚未積累PCI 實測數(shù)據(jù)，為介紹灰色-馬爾可夫模型在道面使用性能中的應(yīng)用方法，并驗證模型的預(yù)測精度，采用文獻[7]中的一組PCI 數(shù)據(jù)作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)序列基年道面性能分布概率為a0=[0.92 0.08 0 0 0]。

3.1 灰色模型近期預(yù)測

假定只能獲取連續(xù)4年的PCI 數(shù)據(jù)，用X(0)=[94.2 92.3 90.2 87.9]作為原始建模序列。計算得到原始數(shù)據(jù)序列的預(yù)測模型為

對未來4年的PCI 進行預(yù)測，預(yù)測值為[85.8 83.8 81.7 79.8]。結(jié)果經(jīng)關(guān)聯(lián)度和相對誤差檢驗發(fā)現(xiàn)，前兩年的預(yù)測精度達到要求，而后兩年預(yù)測結(jié)果的相對誤差分別為2.1%和3.5%，不滿足精度要求。

3.2 馬爾可夫中遠期預(yù)測

1）狀態(tài)區(qū)間確定

由PCI 的5 個狀態(tài)等級劃分方法確定其狀態(tài)區(qū)間及其中值向量如下

道面狀況調(diào)查每年進行一次，以年為單位作為狀態(tài)轉(zhuǎn)移的基本周期。

2）轉(zhuǎn)移概率矩陣確定

方法一采用回歸法建立轉(zhuǎn)移概率矩陣，首先以灰色預(yù)測方法得到的道面使用性能時間響應(yīng)方程作為道面的經(jīng)驗回歸方程，按照回歸法確定轉(zhuǎn)移概率矩陣的步驟，計算得到轉(zhuǎn)移概率矩陣P1如下

方法二加入灰色預(yù)測值，補充樣本信息，以序列X(0)=[94.2 92.3 90.2 87.9 85.8 83.8]作為初始樣本。采用最小二乘方法，通過Matlab 優(yōu)化工具箱來處理轉(zhuǎn)移概率矩陣的求解問題，得到馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率矩陣P2如下

獲得轉(zhuǎn)移概率矩陣后，應(yīng)用馬爾可夫模型實現(xiàn)道面使用性能中遠期預(yù)測，結(jié)果如表1所示。

由以上結(jié)果得到對應(yīng)的道面性能衰減曲線和誤差變化曲線，如圖1和圖2所示。從圖1和圖2可以看出，灰-馬（II）模型的預(yù)測誤差明顯小于其他兩種預(yù)測方法，且中遠期預(yù)測精度滿足要求，說明該方法能較好地應(yīng)用于道面性能預(yù)測?；疑Ｐ碗m然短期預(yù)測精度較高，但隨著預(yù)測時刻變遠，預(yù)測誤差越來越大，無法滿足中遠期預(yù)測的要求?；疑?馬（I）預(yù)測模型精度明顯低于前兩種方法，無法滿足預(yù)測要求。其主要原因為：①由灰色預(yù)測結(jié)果可見，該模型并不能較好地擬和原始數(shù)據(jù)，因此用灰色時間響應(yīng)方程代替道面性能的經(jīng)驗回歸方程存在較大誤差；②轉(zhuǎn)移概率矩陣的建立方法不合理，由此建立的轉(zhuǎn)移矩陣誤差較大。從而導(dǎo)致灰-馬（I）比其他方法預(yù)測誤差大。可見不同的建模方法和預(yù)測方法對預(yù)測結(jié)果的影響非常明顯。

表1 道面使用性能（PCI）實測值與預(yù)測值對比Tab.1 Comparison between measured and predicted PCI

圖1 道面使用性能衰變預(yù)測圖Fig.1 Predicted PCI decline

圖2 各類模型預(yù)測誤差圖Fig.2 Predicted error of several models

4 模型精度敏感性分析

對于實測歷史數(shù)量較少的小樣本預(yù)測問題，初始樣本信息的微小變化，可能會對后期的預(yù)測結(jié)果造成顯著影響。因此在應(yīng)用灰-馬（Ⅱ）模型進行PCI 預(yù)測時，應(yīng)充分認識樣本數(shù)量和質(zhì)量對模型預(yù)測精度的影響。

4.1 分析方法

為反映樣本數(shù)量和樣本質(zhì)量對預(yù)測精度的影響，將實測數(shù)據(jù)序列稱為原樣本，將原樣本中前4 個數(shù)據(jù)與灰色預(yù)測得到的4 個數(shù)據(jù)組成的序列稱為新樣本。分別選取不同的初始樣本，建立馬爾可夫預(yù)測模型，比較模型的預(yù)測精度。具體方法如下：

1）分別選取原樣本中前4 個、6 個及8 個數(shù)據(jù)按最小二乘法建立轉(zhuǎn)移概率矩陣進行馬爾可夫中長期預(yù)測，比較3 種情況下模型的預(yù)測精度，分析在相同樣本質(zhì)量情況下，不同樣本數(shù)量對預(yù)測精度的影響；

2）選取新樣本中6 個和8 個數(shù)據(jù)作為建模初始數(shù)據(jù)，建立馬爾可夫模型進行中遠期預(yù)測，比較基于兩類樣本中6 個及8 個初始數(shù)據(jù)的預(yù)測模型的精度，分析引入灰色預(yù)測誤差前后，在樣本數(shù)量相同的前提下，不同樣本質(zhì)量對預(yù)測精度的影響；

3）根據(jù)以上計算結(jié)果，比較新樣本中6 個和8 個初始數(shù)據(jù)兩種情況下模型的預(yù)測精度，分析在不同樣本數(shù)據(jù)和樣本質(zhì)量情況下，樣本數(shù)量與樣本質(zhì)量對灰色-馬爾可夫模型預(yù)測精度的影響大小。

為直觀反映各因素的影響程度，采用絕對誤差及誤差標(biāo)準(zhǔn)差對樣本數(shù)量和質(zhì)量與預(yù)測精度的關(guān)系進行分析。誤差標(biāo)準(zhǔn)差計算公式[8]為

4.2 分析結(jié)果

按照模型應(yīng)用方法及精度分析要求得到不同樣本情況下模型的預(yù)測誤差隨時間變化的趨勢圖，如圖3和圖4所示。計算得到誤差標(biāo)準(zhǔn)差如表2所示。

圖3 樣本數(shù)量對預(yù)測精度影響圖Fig.3 Influence of sample size on prediction accuracy

圖4 樣本質(zhì)量對預(yù)測精度影響圖Fig.4 Influence of sample quality on prediction accuracy

表2 不同初始條件預(yù)測精度對比Tab.2 Prediction accuracy comparison of different initial conditions

由表2可以看出，在沒有引入灰色模型預(yù)測信息時，預(yù)測誤差標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值隨著樣本數(shù)量的增加而逐漸減小，即馬爾可夫模型預(yù)測精度隨樣本數(shù)量增加而有所提高，但精度提高幅度隨著初始樣本數(shù)量增加而減小。比較引入灰色預(yù)測信息前后模型的精度可發(fā)現(xiàn)，由于引入灰色預(yù)測信息的同時也引入了其預(yù)測誤差，因此在樣本數(shù)量相同時，采用新樣本建立的模型的精度要低于原樣本。

引入灰色預(yù)測信息后，預(yù)測精度隨樣本數(shù)量的增加而降低。主要原因是灰色模型由4 個樣本擴充到6個樣本時，補充樣本滿足灰色預(yù)測精度要求。而擴充到8 個樣本時，第7～8 個樣本的預(yù)測精度不滿足要求，樣本中引入了較大的誤差，導(dǎo)致模型預(yù)測精度難以滿足要求。同時在誤差允許范圍內(nèi)，通過灰色預(yù)測擴充樣本信息后，馬爾可夫模型的預(yù)測精度明顯提高。且由圖3和圖4也可發(fā)現(xiàn)，樣本數(shù)量由4 個擴充到6 個時，中遠期預(yù)測精度均得到提高，但由4 個擴充到8 個時精度反而降低且不滿足精度要求。

由此可見，在灰色預(yù)測精度允許范圍內(nèi)，雖然灰色-馬爾可夫方法的預(yù)測精度相比同數(shù)量原始樣本的馬爾可夫精度要低，但比沒有補充樣本信息時的預(yù)測精度有很大提高，可見灰色-馬爾可夫方法針對“小樣本、貧信息”預(yù)測問題是可行的。但如果灰色預(yù)測引入過大誤差則對后期預(yù)測精度影響較大。

5 結(jié)語

1）分析中國機場道面使用性能預(yù)測中存在的問題，引入灰色預(yù)測和馬爾可夫預(yù)測方法，建立了道面使用性能灰色-馬爾可夫預(yù)測模型和方法，基本思路是采用灰色預(yù)測模型進行近期預(yù)測，利用灰色預(yù)測補充后的樣本數(shù)據(jù)，采用馬爾可夫預(yù)測模型進行中遠期預(yù)測，實例檢驗表明該方法具有較強的科學(xué)性和實用性，可為中國機場道面性能預(yù)測的研究提供參考。

2）采用最小二乘法求解馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率矩陣，并通過Matlab 語言編程實現(xiàn)。通過計算表明該方法是可行，而且比經(jīng)驗回歸方程法更具科學(xué)性與有效性。

3）選取不同樣本信息對灰色-馬爾可夫預(yù)測模型的精度進行分析，結(jié)果表明：除建模方法外，樣本數(shù)量對模型精度有一定影響，樣本數(shù)量越多精度越高。而樣本質(zhì)量對模型的預(yù)測精度影響更為明顯，灰色預(yù)測雖然擴充了樣本信息，但也引入了部分錯誤信息，因此，實際預(yù)測中可采用改進措施提高灰色預(yù)測精度，抑制灰色預(yù)測誤差對后期預(yù)測的干擾。