莊旦丹

摘 要：為了更好地進(jìn)行“雞兔同籠”教學(xué)，文章在分析課程標(biāo)準(zhǔn)、教材和學(xué)生的基礎(chǔ)上，從問題解決教學(xué)的角度，針對各年齡階段學(xué)生的能力發(fā)展?fàn)顩r，進(jìn)行能夠展現(xiàn)問題解決過程的優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，力求提高教學(xué)效果，啟迪學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);問題解決;優(yōu)化教學(xué)

在“雞兔同籠”問題的課后檢測中，往往會出現(xiàn)兩大問題。問題一：學(xué)生假設(shè)是兔（雞），求出來的也是兔（雞），只知套用不知根本;問題二：只知雞兔，不知其他，不能根據(jù)已學(xué)的知識產(chǎn)生類比聯(lián)想。基于以上兩點(diǎn)，筆者試著從以下四方面對本課做一個系統(tǒng)的梳理與思考。

一、凸顯課標(biāo)內(nèi)蘊(yùn)，借“優(yōu)化”明晰教學(xué)本質(zhì)

2011年版的新課標(biāo)中，關(guān)于“教材編寫”的建議特別強(qiáng)調(diào)：“教材中編入一些拓寬知識或者方法的選學(xué)內(nèi)容，增加的內(nèi)容應(yīng)注重介紹重要的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想和方法，而不應(yīng)片面追求內(nèi)容的深度、問題的難度、解題的技巧。”因此，教師在教學(xué)實(shí)施中要注重?cái)?shù)量變化中關(guān)系的分析與推理，提煉出解決問題過程中所蘊(yùn)含的思想與方法，展現(xiàn)出解決問題的思維模型，并使學(xué)生能感受、體會、領(lǐng)悟它們，受到熏陶。

二、緊扣教材聯(lián)系，借“優(yōu)化”探尋多元方式

筆者嘗試將各版本教材中的“雞兔同籠”問題進(jìn)行比較，嘗試從單一逼仄的問題解決策略向多元高效的方式方法邁進(jìn)。

（一）篩查對比，求“同”存“異”

從教材的編排順序上看，“雞兔同籠”這一教學(xué)內(nèi)容被安排到了不同年級進(jìn)行教學(xué)。從表1中，我們還可以明顯地看出，該內(nèi)容所涉及的教學(xué)對象，最小的是二年級學(xué)生，最大的是六年級學(xué)生，跨度之大，前所未有。那么，面對如此大的編排順序差異，編者想滲透的方式方法又是怎樣的呢？

1. 共同點(diǎn)

各個版本的教材基本都蘊(yùn)含了：猜想——驗(yàn)證——推理——調(diào)整、修改猜想——再驗(yàn)證，直至問題解決的嘗試這一科學(xué)發(fā)現(xiàn)方法;抽象提煉其中的規(guī)律與問題模型與思維模型，都體現(xiàn)了“由特殊到一般”“由具體到抽象”的哲學(xué)思想;都注重了實(shí)際問題的編排和應(yīng)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題能力的培養(yǎng);都注重了數(shù)學(xué)文化的滲透。

2. 不同點(diǎn)

（1）途徑多樣

不同版本教材的例題所要滲透的解決方法并不完全一致，呈現(xiàn)多樣性。人教版解決問題的途徑更加多樣化，其中“列方程”只出現(xiàn)在舊人教版教材的例題中。

（2）策略聚焦

“列表法”成為唯一一種被各版本教材都采用的解決方法。尤其是在北師大版教材中，只選擇了列表的策略，讓學(xué)生在大膽的猜測、嘗試和不斷調(diào)整的過程中，體會出解決問題的一般策略——列表枚舉。

（3）方法互通

“畫圖法與列表法”“列表法與假設(shè)法”有機(jī)結(jié)合，方法之間互相溝通，幫助學(xué)生理解并解決問題。如蘇教版例題的解答介紹了提出猜測性假設(shè)，畫圖和列表兩種驗(yàn)證、推理、調(diào)整的嘗試辦法，但更突出畫圖。旨在使學(xué)生通過直觀的畫圖，感悟、找出其中的數(shù)量變化規(guī)律和調(diào)整的辦法。

（二）穩(wěn)中求變，推“陳”出“新”

基于對教材的比較，筆者對“雞兔同籠”問題產(chǎn)生了一些新的思考，為了更好地找到解決這些問題的突破口，教研組還對每個思考點(diǎn)進(jìn)行了任務(wù)序列的分解（見表1）。

三、把握學(xué)情分析，借“優(yōu)化”推進(jìn)深度剖析

（一）縱覽學(xué)情，尋“路”探“徑”

筆者圍繞“對于雞兔同籠這樣的問題學(xué)生已經(jīng)學(xué)會了什么？”“本課學(xué)習(xí)學(xué)生真正的思維困難在哪里？”“學(xué)生通過本課學(xué)習(xí)能有怎樣的提升發(fā)展？”三個問題對學(xué)生進(jìn)行了課前調(diào)查。

能夠準(zhǔn)確回答第1小題的學(xué)生占到總數(shù)的85%，說明大多數(shù)學(xué)生都有一定的生活常識;在明確表示頭和腳后，81%的學(xué)生能夠較好地畫出雞和兔;受第2題的影響，超過半數(shù)的學(xué)生選擇了用畫圖法解決第3題，有20名程度較好的學(xué)生直接用算式解決;72%的學(xué)生能將畫圖或列式的方法遷移到第4題;在前面都是順向思考的情況下，第5小題出現(xiàn)了逆向思考，從前測中可以發(fā)現(xiàn)，前面掌握畫圖法的學(xué)生，在此題中也進(jìn)行了很好的應(yīng)用的學(xué)生共有13個，11個學(xué)生用了湊數(shù)法，4個學(xué)生用了連減的方法解決，不知道怎么解決的學(xué)生有40人。可見學(xué)生的思維困難在逆向解決問題上。

“雞兔同籠”問題對于四年級學(xué)生來說具有挑戰(zhàn)性（正確率為35.7%），正確解決問題的學(xué)生主要采用猜測法，其次是列表列舉法。假設(shè)全是雞或兔的方法，如果學(xué)生沒有經(jīng)過課外輔導(dǎo)都不會正確運(yùn)用。因此，列舉法是適合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平的有價(jià)值的方法，需要學(xué)生重點(diǎn)學(xué)習(xí)掌握。在學(xué)生的作品中可以看到，腳數(shù)與頭數(shù)的內(nèi)在變化關(guān)聯(lián)是學(xué)生解決問題的思維障礙所在，其中顧“腳”不顧“頭”的錯誤近20%?？梢姸鄶?shù)學(xué)生解題時(shí)只盲目計(jì)算，缺乏假設(shè)推演，已有的單一線性的解題經(jīng)驗(yàn)固化了思維，解題的策略性思考能力比較弱。

六年級的前測題只不過將4年級的測試題調(diào)大了數(shù)據(jù)，但前測結(jié)果卻大不相同（正確率為70.6%）。由于5年級學(xué)習(xí)了方程，所以用方程來解決“雞兔同籠”問題的人數(shù)明顯增多;另外，六年級的學(xué)生隨著年齡的增長和知識面的不斷拓寬，假設(shè)法、削足法也紛紛出現(xiàn)，可見學(xué)生的思維水平有明顯的提高。

（二）橫覓發(fā)展，順“藤”摸“瓜”

順著三個年級的前測分析這根“藤”，我們能逐漸摸到“教學(xué)設(shè)計(jì)優(yōu)化”這個“瓜”。筆者認(rèn)為，如何讓學(xué)生用畫圖法來解決“雞兔同籠”問題并解決最簡單的變式，是一年級教學(xué)的重點(diǎn);如何讓學(xué)生從不會列舉或錯誤列舉到真正學(xué)會列舉方法，會用列舉法解決問題，并進(jìn)行有序思考是四年級學(xué)生學(xué)習(xí)提升的關(guān)鍵;假設(shè)是列舉等方法的有效提升，代數(shù)是假設(shè)的聯(lián)想的產(chǎn)物，如何將兩者有機(jī)結(jié)合，并為第三學(xué)段的學(xué)習(xí)埋下伏筆，是六年級的課堂所要重點(diǎn)思考的。

四、依循認(rèn)知序列，借“優(yōu)化”形成高效策略

正是由于數(shù)學(xué)知識之間的緊密聯(lián)系，數(shù)學(xué)教材在內(nèi)容的選擇上遵循了一定的“序列”。這種序列既有數(shù)學(xué)知識邏輯關(guān)系的前后之序，也有遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的發(fā)展之序。而“雞兔同籠”問題由于其特殊性，這方面還存在著急需填補(bǔ)的空白。因此依循序列，借“優(yōu)化”形成高效策略是筆者力求突破與創(chuàng)新之處。

（一）借“石”攻“玉”—— 精選“問題解決”模式

那么如何依循認(rèn)知序列，進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)呢？筆者和教研組的教師嘗試依循著內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系將“雞兔同籠”問題進(jìn)行分散處理，并按問題解決教學(xué)的模式進(jìn)行教學(xué)。

（二）積“微”成“著”——巧用“前期數(shù)據(jù)”分析

通過“找”基石——課標(biāo)、教材對比;“理”思路——學(xué)情分析;“搭”架子——“問題解決”模式，巧用這些“前期數(shù)據(jù)”分析，從而優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，形成“雞兔同籠”序列課。

把準(zhǔn)“學(xué)”的起點(diǎn)，在關(guān)聯(lián)處生長核心問題;捕捉“學(xué)”的路徑，在斷層處設(shè)置核心問題;彰顯“學(xué)”的需求，在疑點(diǎn)處派生核心問題;豐盈“學(xué)”的厚度，在創(chuàng)生中整合核心問題。筆者所在的教研組嘗試以“問題解決”模式為基點(diǎn)，以“核心問題”為引領(lǐng)，以“校本教研”為平臺，分別為一、四、六年級設(shè)計(jì)出“雞兔同籠”問題的策略：注重思維提升，建立代數(shù)模型;掌握列舉策略，培養(yǎng)有序思考;經(jīng)歷畫圖過程，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。

以“問題”促內(nèi)化，借“優(yōu)化”求發(fā)展，“雞兔同籠”問題的教學(xué)實(shí)踐在筆者和教研組教師的共同努力下，逐漸明朗和充盈：方法各有側(cè)重、序列建構(gòu)合理、學(xué)生能力提升。在嘗試的過程中，變化的不僅僅是課堂的框架和路徑，還有教學(xué)理念上的變化，是源頭上的蛻變和教學(xué)行動上的華麗轉(zhuǎn)身。而這之后，師生必將有不同的收獲。

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