賈富淳，孟憲皆

(山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院,淄博 255000)

機(jī)械振動(dòng)是機(jī)械設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中一種常見(jiàn)的現(xiàn)象，有害的機(jī)械振動(dòng)會(huì)降低機(jī)械設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)的性能和精度，甚至?xí)斐稍O(shè)備的疲勞破環(huán)，因此,關(guān)于振動(dòng)控制的問(wèn)題一直是國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)。

動(dòng)力吸振器又稱調(diào)諧質(zhì)量阻尼器，其基本原理為：在主系統(tǒng)上附加一個(gè)子系統(tǒng)，適當(dāng)調(diào)節(jié)該子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和安裝位置使得主系統(tǒng)振動(dòng)的能量發(fā)生轉(zhuǎn)移，從而達(dá)到振動(dòng)控制的目的。由于具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、安裝方便等優(yōu)點(diǎn)，動(dòng)力吸振器已廣泛的應(yīng)用于土木工程、航空航天和車輛公程等學(xué)科領(lǐng)域，成為振動(dòng)控制的重要手段[1-2]。

動(dòng)力吸振器按照其結(jié)構(gòu)形式可以分為離散參數(shù)型動(dòng)力吸振器和連續(xù)參數(shù)型動(dòng)力吸振器[3]。離散參數(shù)型動(dòng)力吸振器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且易于實(shí)施，但較窄的抑振帶寬導(dǎo)致其使用有很大局限，為了提高離散型動(dòng)力吸振器的性能，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了各種結(jié)構(gòu)形式與工作方式的動(dòng)力吸振器，其中，三要素型動(dòng)力吸振器[4]采用彈簧與阻尼串聯(lián)，再與另一彈簧并聯(lián)的形式，具有比常規(guī)動(dòng)力吸振器更好的吸振效果；多個(gè)動(dòng)力吸振器并聯(lián)或者串聯(lián)可以形成組合式動(dòng)力吸振器，在質(zhì)量比不變的條件下，組合式動(dòng)力吸振器具有更好的減振效果，文獻(xiàn)[5-7]對(duì)此做了深入的研究，并應(yīng)用于土木工程結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制中。1968年J.C.Snowdon的《阻尼機(jī)械系統(tǒng)中的振動(dòng)》[8]出版，標(biāo)志著動(dòng)力吸振器的研究由離散參數(shù)型向連續(xù)參數(shù)型轉(zhuǎn)變，連續(xù)參數(shù)型動(dòng)力吸振器的模態(tài)豐富，可以同時(shí)對(duì)多自由度離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)的多個(gè)模態(tài)振動(dòng)進(jìn)行控制。文獻(xiàn)[9]采用中間固定的雙向懸臂梁作為吸振器控制單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)，分別采用能量法和模態(tài)近似法對(duì)耦合系統(tǒng)進(jìn)行分析，得到了最優(yōu)的質(zhì)量比和阻尼比。文獻(xiàn)[10]利用功率流的方法研究了懸臂梁吸振器對(duì)薄板振動(dòng)的控制效果，并分析梁的結(jié)構(gòu)參數(shù)、梁在板上的連接位置對(duì)吸振效果的影響，分析結(jié)果表明懸臂梁動(dòng)力吸振器具有良好的吸振效果和吸振帶寬，且梁的安裝位置對(duì)吸振效果的影響較大。文獻(xiàn)[11]以功率流為基礎(chǔ)，結(jié)合有限元的方法，分析了連續(xù)參數(shù)型動(dòng)力吸振器的吸振效果，且通過(guò)ANSYS軟件的優(yōu)化模塊，對(duì)連續(xù)參數(shù)型的動(dòng)力吸振器進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，提升了其吸振效果。

針對(duì)連續(xù)參數(shù)型動(dòng)力吸振器相比離散參數(shù)型動(dòng)力吸振器所具有的優(yōu)點(diǎn)，本文提出一種用于控制桿縱振的連續(xù)參數(shù)型動(dòng)力吸振器，通過(guò)模態(tài)綜合的方法，將動(dòng)力吸振器兩個(gè)模態(tài)同時(shí)調(diào)整到主系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的固有頻率上，從而實(shí)現(xiàn)同時(shí)對(duì)桿的兩階模態(tài)振動(dòng)進(jìn)行控制。

1 動(dòng)力學(xué)建模

桿-動(dòng)力吸振器混合振動(dòng)模型如圖1所示，其中，縱向振動(dòng)的桿左端為慣性載荷F，質(zhì)量為M,右端為彈性載荷，剛度為k,桿軸向位置為x，在時(shí)間為t時(shí)的縱向變形為U(x,t)，E1，ρ1，A1，l1分別為桿的彈性模量、密度、橫截面積和長(zhǎng)度；在桿軸向位置x=a處附加連續(xù)參數(shù)型懸臂梁動(dòng)力吸振器，其中，在桿橫向位置y處相對(duì)于桿的橫向變形為W(y,t)，E2，ρ2，A2，l2，I分別為動(dòng)力吸振器的彈性模量、密度、橫截面積、長(zhǎng)度和截面慣性矩。

圖1 桿-動(dòng)力吸振器混合振動(dòng)模型Fig.1 Hybrid vibration model of a rod - dynamic vibration absorber

1.1 桿縱振的模態(tài)分析

取桿的微元做受力分析，可以得到桿做縱向振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程[12]為

(1)

c2=E1/ρ1

(2)

由式(1)可以得出桿縱向變形U(x,t)的形式解：

U(x,t)=φ(x)q(t)

(3)

(4)

q(t)=Csinω1t+Dcosω1t

(5)

式中：A，B，C和D為由邊界條件確定的常數(shù)；φ(x)，q(t)為桿的振型函數(shù)；ω1為頻率。

由彈性載荷和慣性載荷的邊界條件可得

(6)

(7)

將式(3)、式(4)和式(5)代入式(6)和式(7)可得

(8)

由式(8)可得出桿縱向振動(dòng)的各階固有頻率ω1(i),由于A1,A2的取值并不影響桿的振動(dòng)形態(tài)，所以將ω1(i)代入式(4)即可得到第i階模態(tài)振型函數(shù)φi(x)的精確解。

由桿模態(tài)振型關(guān)于質(zhì)量的正交性可得

(i≠j)

(9)

關(guān)于剛度的正交性可得

(i≠j)

(10)

各階模態(tài)質(zhì)量為

(11)

各階模態(tài)剛度為

(12)

1.2 動(dòng)力吸陣器橫向振動(dòng)的模態(tài)分析

對(duì)于連續(xù)參數(shù)型動(dòng)力吸振器，假設(shè)其做純彎曲且不考慮彎曲時(shí)消耗的能量，取懸臂梁的一個(gè)微元做受力分析，可以得到動(dòng)力吸振器做橫向振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為

(13)

由式(13)可以得到動(dòng)力吸振器橫向振動(dòng)的形式解：

W(y,t)=Y(y)F(t)

(14)

Y(y)=C1sinβy+C2cosβy+C3sinhβy+

C4coshβy

(15)

F(t)=C5sinω2t+C6cosω2t

(16)

式中：Y(y),F(t)為W(y,t)的振型函數(shù)；C1～C6均為系數(shù)，由邊界條件確定；ω2為動(dòng)力吸振器的固有頻率；β為位置系數(shù)，且

(17)

對(duì)于懸臂梁連續(xù)參數(shù)型動(dòng)力吸振器，其上端為自由端，下端為固定端，因此，動(dòng)力吸振器的邊界條件為

由第一組邊界條件可得

C2=-C4,C1=-C3

由另外三組邊界聯(lián)立可以得到關(guān)于C3和C4的代數(shù)方程組：

(18)

C3，C4有非零解的條件為

(19)

式(19)與式(17)聯(lián)立，可以求出連續(xù)參數(shù)型動(dòng)力吸振器的各階固有頻率ω2(j)，確定C3和C4的比值ξj為

其中βj為懸臂梁j階振型函數(shù)的位置系數(shù)。

由于常數(shù)C4的大小不影響振動(dòng)形態(tài)，所以令C4=1,則可以求出懸臂梁j階振型函數(shù)為

Yj(y)=coshβjy-cosβjy+ξj(sinhβjy-

sinβjy)

(20)

由懸臂梁模態(tài)振型關(guān)于質(zhì)量的正交性可得

(21)

關(guān)于剛度的正交性為

(22)

可以得到各階模態(tài)下的模態(tài)質(zhì)量為

(23)

模態(tài)剛度為

(24)

1.3 混合振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的建立

桿左端所受的縱向集中力為F(t)，是頻率為ω的簡(jiǎn)諧力。假設(shè)該簡(jiǎn)諧力激起桿第i階振動(dòng)模態(tài)和連續(xù)參數(shù)型動(dòng)力吸振器的第j階振動(dòng)模態(tài)。

耦合動(dòng)力吸振器后全系統(tǒng)的動(dòng)能為

(25)

全系統(tǒng)的勢(shì)能為

(26)

將式(11)、式(12)、式(23)、式(24)代入式(25)、式(26)可得

利用拉格朗日方法得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，寫為矩陣的形式：

(27)

式中：m1(i)為模態(tài)質(zhì)量；k1(i)為模態(tài)剛度。

將式(27)進(jìn)行拉普拉斯變換后，可以得到廣義傳遞函數(shù)H(ω),ω為頻域頻率，對(duì)其進(jìn)行無(wú)量綱化，可得

(28)

則桿的縱向變形為

U(x,t)=F(t)φ(0)H(ω)φ(x)

(29)

進(jìn)一步推導(dǎo)可以得到桿傳到基礎(chǔ)上的力與激勵(lì)力的力傳遞率為

A(g)=kH(ω)φi(l1)φi(0)

(30)

可知力傳遞率為頻率比g、固有頻率比f(wàn)、質(zhì)量比μ和動(dòng)力吸振器的線密度ml2的函數(shù)，當(dāng)ω=ω2(j)時(shí),1-f2/g2=0，力傳遞率為零值，即若連續(xù)參數(shù)型動(dòng)力吸振器的各階固有頻率均等于激勵(lì)頻率，則桿的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)消失。通過(guò)對(duì)懸臂梁型動(dòng)力吸振器的參數(shù)進(jìn)行調(diào)整使得吸振器的各階固有頻率與桿縱振的固有頻率相等，可以使桿的各階模態(tài)振動(dòng)消失，即懸臂梁連續(xù)參數(shù)型動(dòng)力吸振器的設(shè)計(jì)需要滿足的條件為

ω1(i)=ω2(j)

(31)

2 動(dòng)力吸振器的設(shè)計(jì)

取桿的材料為鑄鋼，其計(jì)算參數(shù)如下：密度ρ1=7 800 kg·m-3，彈性模量E1=1.75×1011Pa，長(zhǎng)度l1=10 m，慣性質(zhì)量M=1 000 kg，剛度k=1×109N·m-1，橫截面積A1=0.19 m2。根據(jù)式(8)，得到一個(gè)一元超越方程，采用最小二乘法得到其數(shù)值解，解即為桿縱振的各階固有圓頻率。采用連續(xù)型動(dòng)力吸振器控制桿前兩階模態(tài)振動(dòng)，只給出兩階固有圓頻率：

ω1(1)=241.43 rad·s-1，

ω1(2)=1 445 rad·s-1

采用等截面圓柱合金鋼作為連續(xù)參數(shù)型懸臂梁動(dòng)力吸振器，其計(jì)算參數(shù)如下：密度ρ2=7 900 kg·m-3，彈性模量E2=2.06×1011Pa，直徑D=0.1 m，動(dòng)力吸振器在桿上的安裝位置為a=1 m。根據(jù)式(31)，使ω1(1)=ω2(1)，計(jì)算可以得到動(dòng)力吸振器的長(zhǎng)度l2=1.36 m；使ω1(2)=ω2(2)，計(jì)算可得l2=1.39 m，由于對(duì)一二階模態(tài)振動(dòng)控制的權(quán)重相同，因此，確定懸臂梁動(dòng)力吸振器的長(zhǎng)度為l2=1.375 m。

3 吸振效果的分析

由式(28)可知，對(duì)于桿-動(dòng)力吸振器的耦合系統(tǒng)，若只考慮某一階模態(tài)下懸臂梁動(dòng)力吸振器的吸振效果，則該問(wèn)題相當(dāng)于單自由度離散動(dòng)力吸振器的吸振效果分析問(wèn)題。

分別截取桿-動(dòng)力吸振器耦合振動(dòng)系統(tǒng)的一階和二階模態(tài)進(jìn)行分析，計(jì)算各階的模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度，對(duì)于第一階模態(tài)，f=0.98，μ=7.08×10-5，ml2=62.31 kg·m-1；對(duì)于第二階模態(tài)，f=1.02，μ=4.3×10-4，ml2=63.52 kg·m-1。相應(yīng)的力傳遞率A(g)如圖2和圖3所示，由圖2和圖3可知，附加連續(xù)參數(shù)型動(dòng)力吸振器后，原來(lái)的一階二階模態(tài)振動(dòng)消失；a和b為耦合動(dòng)力吸振器前后力傳遞率A(g)曲線的交點(diǎn)，當(dāng)頻率比g位于a,b兩點(diǎn)之間時(shí)，對(duì)連續(xù)參數(shù)型動(dòng)力吸振器的影響是有利的，則當(dāng)外界激勵(lì)頻率的范圍位于220～265 rad·s-1和1 416～1 517 rad·s-1時(shí)，連續(xù)參數(shù)型動(dòng)力吸振器可有效控制桿的縱向振動(dòng)。

圖2 一階模態(tài)吸振效果分析Fig.2 Effect of the first order mode shock absorption

圖3 二階模態(tài)吸振效果分析Fig.3 Effect of the second order modal shock absorption

4 安裝位置對(duì)吸振效果的影響

討論一階模態(tài)下，連續(xù)參數(shù)型動(dòng)力吸振器不同的安裝位置a對(duì)吸振效果的影響，分別取a=1 m、5 m和10 m，即動(dòng)力吸振器分別位于桿的前端、中段和尾部時(shí)，分析其吸振效果，得到力傳遞率A(g)如圖4所示。

圖4 一階模態(tài)不同安裝位置對(duì)吸振效果的影響Fig.4 The effect of different mounting positions on the vibration absorption of the first-order mode

由圖4可知，吸振器的安裝位置對(duì)吸振器的有效吸振帶寬有較大影響，隨著a的增大，共振頻率附近的兩個(gè)峰值向中間移動(dòng)，導(dǎo)致有效的吸振帶寬減小。因此，應(yīng)使連續(xù)參數(shù)型懸臂梁動(dòng)力吸振器安裝到桿的前端，從而獲得更大的有效吸振帶寬。

5 結(jié) 論

1)采用模態(tài)綜合的方法，調(diào)整吸振器的振動(dòng)模態(tài)，使其與桿的固有頻率相等，實(shí)現(xiàn)了同時(shí)控制多階模態(tài)振動(dòng)，得到了在特定邊界條件下，桿縱向振動(dòng)與梁彎曲振動(dòng)固有頻率的解析表達(dá)式和振型函數(shù)的解析表達(dá)式。

2)在廣義坐標(biāo)下，基于桿-動(dòng)力吸振器混合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，得出了桿傳到基礎(chǔ)上的力與激勵(lì)力的力傳遞率的無(wú)量綱表達(dá)式。

3)提出了一種用于控制桿縱向振動(dòng)的連續(xù)參數(shù)型懸臂梁動(dòng)力吸振器，連續(xù)參數(shù)型懸臂梁動(dòng)力吸振器可以同時(shí)控制桿的兩階模態(tài)振動(dòng)，給出了可以有效吸振的頻率范圍。

4)吸振器的安裝位置對(duì)有效吸振帶寬有較大的影響，將吸振器布置于桿的前端可使連續(xù)參數(shù)型動(dòng)力吸振器獲得更大的吸振帶寬。