王罡

【摘要】初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師僅僅依照教材內(nèi)容順序開(kāi)展教學(xué)是不夠的，還應(yīng)注重挖掘每章內(nèi)容的整體知識(shí)結(jié)構(gòu).教師需設(shè)法幫助學(xué)生探尋知識(shí)間的邏輯結(jié)構(gòu)聯(lián)系，以實(shí)現(xiàn)內(nèi)容的有效過(guò)渡和銜接，同時(shí)讓學(xué)生學(xué)會(huì)融會(huì)貫通.本文選取多項(xiàng)式乘法與因式分解和平行四邊形兩個(gè)典型例子在教材內(nèi)容分析的基礎(chǔ)上提出相應(yīng)的教學(xué)改進(jìn)策略和建議，以促進(jìn)和實(shí)現(xiàn)學(xué)生的有效學(xué)習(xí).

【關(guān)鍵詞】整體性;知識(shí)結(jié)構(gòu);有效學(xué)習(xí)

美國(guó)著名教育心理學(xué)家布魯納曾提出認(rèn)知結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)理論，他主張“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)”，同時(shí)認(rèn)為知識(shí)的結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)是通向有效學(xué)習(xí)的捷徑，教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)使用發(fā)現(xiàn)法引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).初中數(shù)學(xué)教學(xué)更是如此，一方面，初中數(shù)學(xué)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)絕非單個(gè)的孤立存在，而是知識(shí)彼此間環(huán)環(huán)相扣，聯(lián)系密切，故容易形成知識(shí)結(jié)構(gòu);另一方面，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，“教材編寫應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)整體性，注重突出核心內(nèi)容，注重內(nèi)容之間的相互聯(lián)系，注重體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的整體性”.鑒于此，教師理應(yīng)對(duì)章節(jié)教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)了然于胸，同時(shí)在教學(xué)中幫助學(xué)生整體把握教學(xué)內(nèi)容，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)圖.

然而，筆者在觀摩聽(tīng)課的過(guò)程中，不時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)存在這樣一種有待改進(jìn)的不足：許多教師在課堂上往往對(duì)教學(xué)內(nèi)容的全局把握能力不夠，甚至平時(shí)僅注重知識(shí)點(diǎn)的孤立教學(xué)，只有到了章末復(fù)習(xí)小結(jié)時(shí)才會(huì)在教材的提示下幫助學(xué)生梳理本章的知識(shí)結(jié)構(gòu).顯然，此時(shí)教師所做的不過(guò)是將教材內(nèi)容經(jīng)過(guò)理解加工轉(zhuǎn)化為自己的教學(xué)內(nèi)容.事實(shí)上，單元教學(xué)設(shè)計(jì)可以有效改善這一不良狀況，它的整體性和綜合性是一般教學(xué)設(shè)計(jì)所不能比擬的，應(yīng)當(dāng)成為教師日后努力的方向.只有這樣，才能真正體現(xiàn)教師勞動(dòng)的創(chuàng)造性，從而真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生的高效學(xué)習(xí).下面筆者選取兩個(gè)典型的章節(jié)內(nèi)容予以具體分析和說(shuō)明.

一多項(xiàng)式乘法與因式分解

（一）教材內(nèi)容分析

多項(xiàng)式乘法與因式分解是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”模塊下數(shù)與式部分的重要內(nèi)容，兩者互為相反方向的變形.筆者分別翻閱人教版和北師版教材與之相關(guān)的章節(jié)內(nèi)容，將兩版本教材中的有關(guān)內(nèi)容展開(kāi)整體對(duì)比分析，整理成下表：

版本人教版北師版

整章知識(shí)體系整式乘法的預(yù)備知識(shí)→整式乘法→乘法公式→因式分解整式乘除的預(yù)備知識(shí)→整式乘法→乘法公式→整式除法因式分解另起一章

多項(xiàng)式乘法均通過(guò)轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘得到兩個(gè)多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則;

均通過(guò)由特例到一般的歸納過(guò)程得到乘法公式

因式分解提公因式法→公式法→十字相乘法（作為課后閱讀材料給出）提公因式法→公式法

圖1-1 兩版本教材多項(xiàng)式乘法與因式分解對(duì)比分析

通過(guò)整理可以看到，北師和人教兩版本教材在介紹多項(xiàng)式乘法和因式分解時(shí)，整章知識(shí)體系及內(nèi)容廣度均存在一定的差異.筆者認(rèn)為，相對(duì)來(lái)講，人教版比北師版更好地呈現(xiàn)了該章節(jié)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，但仍有不足，例如，由多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則到乘法公式的過(guò)渡和聯(lián)系不夠緊密等.鑒于此，教師需要適當(dāng)擺脫教材內(nèi)容編排體系的束縛，自主從中挖掘和開(kāi)發(fā)一些新的內(nèi)容，以更好地實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式乘法與因式分解相關(guān)內(nèi)容的有效銜接.

（二）教學(xué)改進(jìn)策略和建議

1.一般多項(xiàng)式相乘與乘法公式

根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則，兩個(gè)多項(xiàng)式相乘的一般形式為（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq，這主要針對(duì)兩個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)互不相同而言.由該一般形式，教師可啟發(fā)學(xué)生思考以下兩個(gè)問(wèn)題：

① 這里的a，b，p，q通常是兩兩互不相同的項(xiàng)，能否將該一般形式特殊化？

② 考慮某兩項(xiàng)相同的情況，共可以分為幾種特殊情況？

學(xué)生在教師的一步步提示和引導(dǎo)下，可以將其分為四種特殊情況：

① 某個(gè)多項(xiàng)式本身的兩項(xiàng)相同，即a=b或p=q.若以a=b為例，則原形式可化簡(jiǎn)為（a+a）（p+q）=2a（p+q）=2ap+2aq，顯然此時(shí)轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的情形;

② 兩個(gè)多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)完全不同，例如，均含有a，另一項(xiàng)分別為p和q，原形式可化簡(jiǎn)為（a+p）（a+q）=a2+（p+q）a+pq，此時(shí)運(yùn)算結(jié)果是二次三項(xiàng)式.事實(shí)上，如果將a換成x，將得到x2+（p+q）x+pq型的式子，這與后續(xù)將學(xué)習(xí)的一元二次方程乃至二次函數(shù)都有著密切的聯(lián)系;

③ 兩個(gè)多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)不同，但互為相反數(shù)（絕對(duì)值相同）.例如，均含有a，另一項(xiàng)分別是b和-b，此時(shí)可得到（a+b）（a-b）=a2-b2，即平方差公式;

④ 兩個(gè)多項(xiàng)式中的兩項(xiàng)完全相同，例如，均含有相同的項(xiàng)a和b，此時(shí)可得到（a+b）2=a2+2ab+b2，即完全平方公式.

與教材中以探究的形式給出幾道題目并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律相比，顯然上述做法更能突出核心內(nèi)容（兩個(gè)多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則），揭示一般多項(xiàng)式乘法與乘法公式的邏輯結(jié)構(gòu)聯(lián)系，有利于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成.此外，初中生已經(jīng)習(xí)慣了由特例到一般探尋規(guī)律的思維方式，如果教師能夠按照上述改進(jìn)建議讓學(xué)生嘗試由一般到特殊的思維方式，將有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì).

2.多項(xiàng)式乘法與因式分解

盡管課程標(biāo)準(zhǔn)只要求學(xué)生掌握因式分解的兩種方法（提公因式法和公式法），但考慮到學(xué)生后繼學(xué)習(xí)及完善知識(shí)結(jié)構(gòu)的實(shí)際需要，分組分解法和十字相乘法也應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生了解和熟悉的內(nèi)容.事實(shí)上，如果教師組織學(xué)生將前面探討的兩個(gè)多項(xiàng)式相乘的幾種情況和因式分解的幾種方法放在一起進(jìn)行對(duì)比分析，學(xué)生會(huì)不禁驚訝地發(fā)現(xiàn)，一種情況對(duì)應(yīng)一種方法，兩者互為相反方向的變形.具體內(nèi)容如下表：

多項(xiàng)式乘法的情況因式分解的方法一般形式聯(lián)系該表借鑒單元教學(xué)設(shè)計(jì)的思路，試圖改變根據(jù)因式分解的方法進(jìn)行孤立教學(xué)的方式，將多項(xiàng)式乘法的情形與因式分解的方法一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，清晰地呈現(xiàn)了兩者的聯(lián)系，體現(xiàn)了教學(xué)內(nèi)容的整體性和綜合性.學(xué)生頭腦中的知識(shí)結(jié)構(gòu)由此形成，同時(shí)整體綜合和靈活敏捷的思維品質(zhì)獲得了提升.

二、平行四邊形

（一）教材內(nèi)容分析

平行四邊形是初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”模塊的核心內(nèi)容之一，主要包括一般的平行四邊形和特殊的平行四邊形（矩形、菱形、正方形）.筆者翻閱人教版和北師版教材與之相關(guān)的章節(jié)內(nèi)容，并進(jìn)行對(duì)比分析，總結(jié)成下表：

由表格可獲知，盡管兩版本教材在某些方面存在一定差異，但總體內(nèi)容均按照由一般平行四邊形到特殊平行四邊形的順序編排.換而言之，只有當(dāng)介紹完一般平行四邊形的性質(zhì)和判定之后，才能緊接著介紹某個(gè)特殊的平行四邊形，以此類推，這樣存在的一個(gè)弊端是容易將研究對(duì)象（平行四邊形、矩形、菱形、正方形）人為地割裂開(kāi)來(lái)，進(jìn)而導(dǎo)致各對(duì)象間的邏輯結(jié)構(gòu)聯(lián)系不夠密切，不利于學(xué)生形成系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu).筆者認(rèn)為，為了彌補(bǔ)這種不足，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)酌情加以改進(jìn)，以豐富完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu).

（二）教學(xué)改進(jìn)策略和建議

眾所周知，三角形的兩個(gè)要素分別是邊和角，故可以按照內(nèi)角大小將三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，也可以按照邊長(zhǎng)的關(guān)系將三角形分為三邊不等的三角形、底和腰不等的等腰三角形以及等邊三角形.同理，四邊形的要素有角、邊和對(duì)角線，倘若教師引導(dǎo)學(xué)生抓住某個(gè)要素對(duì)幾類特殊的四邊形（含梯形）的性質(zhì)進(jìn)行總結(jié)，相信學(xué)生對(duì)幾類特殊四邊形之間的關(guān)系將產(chǎn)生更深刻的理解和認(rèn)識(shí).

以“邊”這個(gè)要素為例，四邊形通常討論對(duì)邊和鄰邊，任意四邊形都有兩組對(duì)邊和四組鄰邊.無(wú)論是一組對(duì)邊還是一組鄰邊，通常需要探討它的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，在位置關(guān)系中最特殊的便是平行和垂直，在數(shù)量關(guān)系中最特殊的便是相等.基于以上考慮，常見(jiàn)的特殊四邊形的性質(zhì)歸納如下：

三、總 結(jié)

由上述舉例分析可見(jiàn)，盡管教材呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識(shí)間的邏輯順序，并在章末給出相應(yīng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，但作為教師，如果過(guò)分依賴教材，不能在吸收教材合理因素的基礎(chǔ)上進(jìn)行再創(chuàng)造，將不利于對(duì)教學(xué)內(nèi)容整體性的把握.事實(shí)上，教師在教學(xué)實(shí)施時(shí)，應(yīng)對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行深度挖掘和加工，盡可能闡釋教材沒(méi)有或未能呈現(xiàn)的內(nèi)在前后邏輯結(jié)構(gòu)聯(lián)系，以期幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生的有效學(xué)習(xí).

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