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不定積分湊微分法的問題類型

2019-08-07 10:02胡旭東
都市生活 2019年6期
關(guān)鍵詞:換元微分分部

胡旭東

摘 要:湊微分法是積分運算的基石,也是積分運算的難點。如果能夠?qū)愇⒎址ㄗ龇诸愑懻?,那么就可以使初學(xué)者抓住一根過河的繩子,這有利于他們迅速掌握湊微分法,為積分運算的學(xué)習(xí)打下一個堅實的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞:不定積分 湊微分法

不定積分的運算方法包括直接積分法、湊微分法、第二類換元法、分部積分法,以及有理函數(shù)積分法等一些特定的積分運算方法。在所有的運算方法中,湊微分法是積分運算的基石,也是積分運算的難點。如果能夠?qū)愇⒎址ㄗ龇诸愑懻?,那么就可以使初學(xué)者抓住一根過河的繩子,這有利于他們迅速掌握湊微分法,為積分運算的學(xué)習(xí)打下一個堅實的基礎(chǔ)。下面對這個問題展開討論:

一、湊微分法的本質(zhì)

設(shè)具有原函數(shù),即,,若,且可微,則由復(fù)合函數(shù)微分法有

,再由不定積分的定義有

.

定理1 設(shè)函數(shù)具有原函數(shù),可導(dǎo),則

由此可見,將湊成一個新的微分形式,再經(jīng)過換元,可以將積分簡化為更易求解的積分形式,該積分方法就稱為湊微分法.

二、湊微分法的關(guān)鍵步驟

上述積分運算關(guān)鍵在于將湊成一個新的微分形式,再經(jīng)過如是換元

,將積分簡化為更易求解的積分形式。

這既是計算的關(guān)鍵,又是計算的難點,初學(xué)者往往就在這個步驟上出問題。通過實際教學(xué)發(fā)現(xiàn),對此步驟進(jìn)行分類研究是有利于初學(xué)者掌握湊微分法的。

三、湊微分法的主要分類

1、被積函數(shù)是復(fù)合函數(shù),則直接利用湊微分

例1 求不定積分.

分析 利用湊微分法,將微分,令,則積分變?yōu)榛痉e分形式.

2、被積函數(shù)形如,且可以湊微分。其中

例2 計算不定積分.

分析 利用湊微分法,將微分,令,則積分變?yōu)榛痉e分形式.

解 .

3、被積函數(shù)不屬于上述類型,即不能湊微分或能湊微分但是不能換元的情況

這種情況可以分為兩種狀態(tài)。一種是通過代數(shù)變形后可轉(zhuǎn)化為類型1或類型2的;另一種是湊微分后用分部積分法求解。

(1)通過代數(shù)變形后可轉(zhuǎn)化為類型1或類型2的

例3 計算下列不定積分:

(1) (2)

分析 (1)利用配方的代數(shù)變形,被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為類型1

分析 (2)利用分式分拆為部分分式后,被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為類型1

解 由于 ,所以

.

(2)湊微分后用分部積分法求解

例3 求不定積分 .

分析 利用湊微分,可以有,但是不能夠把被積表達(dá)式做成的形式,故湊微分后可以利用分部積分公式

解 令,

.

綜上所述,在分類的情況下,湊微分法有了一個相對完備的描述。只要在教學(xué)中堅持分類教學(xué),就可以突破湊微分法的教學(xué)難點,使學(xué)生能都較好地掌握湊微分法。

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