黃秀梅

（尤溪縣教師進(jìn)修學(xué)校，福建 三明 365100）

學(xué)習(xí)的基本方式有兩個(gè)：一是繼承性學(xué)習(xí)，以接受的方式進(jìn)行，模仿、理解、記憶是學(xué)習(xí)的基本手段，在接受前人經(jīng)驗(yàn)中獲得知識(shí)；二是實(shí)踐性學(xué)習(xí)，以動(dòng)手實(shí)踐、自主探索或合作的方式進(jìn)行，在具體的實(shí)踐活動(dòng)過(guò)程中獲得直接經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)識(shí)。[1]小學(xué)生的學(xué)習(xí)既有繼承性的接受式學(xué)習(xí)，也有實(shí)踐性的發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)。由于小學(xué)生的認(rèn)知思維主要依靠直觀、具體形象進(jìn)行，所以，小學(xué)生的學(xué)習(xí)還是以動(dòng)手實(shí)踐或操作來(lái)展開(kāi)思維活動(dòng)和獲取知識(shí)為主，實(shí)踐性學(xué)習(xí)是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重要也是主要方式。讓手和眼協(xié)調(diào)、手和腦溝通是解決小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程身心協(xié)調(diào)的有效途徑，同時(shí)也是解決數(shù)學(xué)學(xué)科性質(zhì)與小學(xué)生認(rèn)知水平矛盾的最佳路徑。

一、數(shù)學(xué)操作性學(xué)習(xí)及其特點(diǎn)

數(shù)學(xué)操作性學(xué)習(xí)是指發(fā)生在數(shù)學(xué)課堂中，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，為理解、掌握、驗(yàn)證某些數(shù)學(xué)現(xiàn)象、規(guī)律、原理等展開(kāi)的、以動(dòng)手操作為主要活動(dòng)方式的學(xué)習(xí)活動(dòng)。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，小學(xué)生的操作性學(xué)習(xí)表現(xiàn)為以一定的材料或?qū)嵨镒鳛椴僮鲗?duì)象，在具體操作過(guò)程中獲得知識(shí)和體驗(yàn)；或是以動(dòng)手操作，如畫一畫、擺一擺、折一折等具體行為操作來(lái)感知知識(shí)和發(fā)展技能，它是有目的地進(jìn)行數(shù)學(xué)行為操作和思維聯(lián)動(dòng)的過(guò)程，也是具身學(xué)習(xí)的過(guò)程。

小學(xué)數(shù)學(xué)操作性學(xué)習(xí)有三個(gè)明顯的特點(diǎn)：首先，它是數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，所有的操作活動(dòng)都有明確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目的，即便是游戲與“玩?！币灿幸欢ǖ哪繕?biāo)指向。其次，它是身心聯(lián)動(dòng)的行為操作，動(dòng)手、動(dòng)口，手眼、手腦并用是學(xué)習(xí)過(guò)程的基本常態(tài)，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)材料或?qū)嵨锏膶?shí)際操作來(lái)感知學(xué)習(xí)對(duì)象，進(jìn)而認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)對(duì)象，是具身的學(xué)習(xí)活動(dòng)。其三，它的行為操作是以畫一畫、填一填、擺一擺、量一量、數(shù)一數(shù)等形式來(lái)直接作用于數(shù)學(xué)情境世界和認(rèn)識(shí)對(duì)象的，它是典型的“做中學(xué)”與“學(xué)中做”學(xué)習(xí)活動(dòng)。它與研究性學(xué)習(xí)、問(wèn)題式學(xué)習(xí)聯(lián)系緊密，雖然它不十分強(qiáng)調(diào)以類似于科學(xué)研究的方法去獲得知識(shí)，但是“要讓學(xué)生感受和理解知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神和創(chuàng)新思維”[2]卻是一致的；雖然它不過(guò)多追求虛擬問(wèn)題場(chǎng)景，但是以問(wèn)題發(fā)現(xiàn)、問(wèn)題提出和問(wèn)題解決為活動(dòng)紐帶卻是相通的。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)操作性學(xué)習(xí)類型解析

（一）以積累直接經(jīng)驗(yàn)為主的動(dòng)手式操作性學(xué)習(xí)

小學(xué)生的學(xué)習(xí)多數(shù)是要依靠學(xué)生親自動(dòng)手才能取得比較扎實(shí)、可靠的效果，因?yàn)?，?dòng)手操作使得小學(xué)生能夠親近認(rèn)知對(duì)象，在具體的操作中小學(xué)生才能感知認(rèn)知對(duì)象；“做中學(xué)”的本質(zhì)是以做（操作）為載體，在具體的情境活動(dòng)中激發(fā)學(xué)習(xí)熱情、感悟活動(dòng)成果，獲得活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

以“倍的認(rèn)識(shí)”學(xué)習(xí)為例。可以通過(guò)先復(fù)習(xí)量與量的關(guān)系再介紹新的數(shù)量關(guān)系“倍”，也可以由教師操作教具或畫圖來(lái)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這種新型關(guān)系。但是，要使得學(xué)生對(duì)“倍”的認(rèn)識(shí)深刻、到位，就要讓學(xué)生親自動(dòng)手并在動(dòng)手操作中體悟。

教學(xué)環(huán)節(jié)一：在情境中調(diào)度

創(chuàng)設(shè)小白兔拔蘿卜情境，讓學(xué)生數(shù)一數(shù)后想一想白蘿卜的個(gè)數(shù)比紅蘿卜多多少？胡蘿卜個(gè)數(shù)與紅蘿卜是什么關(guān)系？調(diào)度小學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，為發(fā)現(xiàn)情境中的數(shù)學(xué)問(wèn)題做準(zhǔn)備。

教學(xué)環(huán)節(jié)二：在操作中感知

將三種蘿卜分別按2個(gè)一組擺到紙上并畫一個(gè)圈，讓學(xué)生數(shù)一數(shù)后議一議。強(qiáng)化“2個(gè)一組”的同時(shí)感知三種蘿卜數(shù)量關(guān)系，為引入“倍”做準(zhǔn)備。

教學(xué)環(huán)節(jié)三：初步引導(dǎo)

將分組畫圈情況呈現(xiàn)在黑板上并引導(dǎo)學(xué)生觀察，引入“倍”的概念，同時(shí)用紅蘿卜與胡蘿卜、白蘿卜與胡蘿卜對(duì)應(yīng)圖直觀地展現(xiàn)倍數(shù)關(guān)系。

教學(xué)環(huán)節(jié)四：操作中再次體驗(yàn)和強(qiáng)化

1.讓學(xué)生擺一擺后想一想：如果胡蘿卜是3個(gè)，將3個(gè)蘿卜擺在一組并畫圈，此時(shí)三種蘿卜各有幾個(gè)圈？紅蘿卜個(gè)數(shù)是胡蘿卜的幾倍？白蘿卜是胡蘿卜的幾倍？如果將6個(gè)蘿卜圈一圈看成一組，那么，白蘿卜的個(gè)數(shù)是紅蘿卜的幾倍？用適當(dāng)?shù)淖兓俅蝸?lái)體驗(yàn)和感悟并最終建立“倍”的概念。

2.問(wèn)一問(wèn)后說(shuō)一說(shuō)：如果胡蘿卜是3個(gè)，白蘿卜是9個(gè)，那么白蘿卜是胡蘿卜的幾倍？如果胡蘿卜4個(gè)，白蘿卜是16個(gè)，那么白蘿卜又是胡蘿卜的幾倍？依次類推進(jìn)行幾次變化。讓學(xué)生再次感悟“將對(duì)象分成幾份就是幾倍”的同時(shí)建立“倍與兩數(shù)商”的關(guān)系模型。

3.舉舉例后比一比：要求舉出2個(gè)具有明確倍數(shù)關(guān)系的具體例子并與同桌交流，以此檢驗(yàn)對(duì)“倍”的理解是否到位。

4.涂一涂后說(shuō)一說(shuō)：發(fā)放三組圖形——三角形、圓圈、矩形，自由拼擺并說(shuō)出拼擺后兩組圖形的倍數(shù)關(guān)系，開(kāi)放中鞏固和強(qiáng)化“倍”的概念。

以上環(huán)節(jié)，是以學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和動(dòng)手過(guò)程形成的感性認(rèn)識(shí)作基礎(chǔ)的，學(xué)生是在操作中學(xué)習(xí)和認(rèn)識(shí)“倍”這個(gè)全“新”知識(shí)的，當(dāng)然，這里的新知識(shí)在操作中似乎又不是那么“新”，它與“除”和“商”有了關(guān)聯(lián)，這就是以動(dòng)手操作為主的操作性學(xué)習(xí)的意義所在。

（二）以直觀想象為主的畫圖列表式操作性學(xué)習(xí)

小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“畫圖”主要是畫直觀圖，畫直觀圖的目的是借助圖形直觀來(lái)刻畫數(shù)量間的關(guān)系和變化，其本質(zhì)是數(shù)向形的轉(zhuǎn)化“以形說(shuō)數(shù)”；而小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的列表主要是填表，用列表的形式來(lái)對(duì)應(yīng)反應(yīng)數(shù)量間的關(guān)系和變化，并以集中和“一目了然”的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)分析、比較、概括或歸納。學(xué)生在畫圖和列表的同時(shí)還要會(huì)思考和分析。畫圖和列表對(duì)于動(dòng)手而言是技能，對(duì)于動(dòng)腦而言是思維操作，也是直觀描述數(shù)量關(guān)系以解決具體問(wèn)題的操作性學(xué)習(xí)方式。

以“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”畫圖學(xué)習(xí)為例。如何將抽象的“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”轉(zhuǎn)化成“幾個(gè)幾”，在學(xué)具操作的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生借助線段圖的直觀形式來(lái)理解是最優(yōu)選擇。這是教材第一次正式出現(xiàn)線段圖，讓學(xué)生經(jīng)歷畫線段圖的過(guò)程，借助線段圖的直觀，使學(xué)生獲得大量的感性認(rèn)識(shí)，從具體到抽象，實(shí)現(xiàn)從“加法結(jié)構(gòu)”到“乘法結(jié)構(gòu)”的變身，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型。

教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)：

出示例題：軍棋的價(jià)錢是8元，象棋的價(jià)錢是軍棋的4倍。

第一層：直觀形象中思考。你能用手中的學(xué)具把圖中的信息擺出來(lái)嗎？你是怎么擺的？為什么這樣擺？在動(dòng)手后讓學(xué)生說(shuō)操作的理由，體會(huì)要找準(zhǔn)以誰(shuí)為標(biāo)準(zhǔn)，再借助學(xué)具、根據(jù)數(shù)量關(guān)系，把“對(duì)象之間的關(guān)系”轉(zhuǎn)化成“圖形之間的關(guān)系”，進(jìn)而思考分析，直觀感知一個(gè)數(shù)的幾倍其實(shí)就是求幾個(gè)幾。

第二層：逐步概括中化繁為簡(jiǎn)。如果軍棋的價(jià)錢是80元呢？擺擺看。為什么你們不擺了？（學(xué)具不夠了，要擺很久……）引發(fā)學(xué)生思考更好的解決辦法（拿小棒代替、畫一條線段代替……），讓學(xué)生在認(rèn)知沖突的思維中分析探索“80元該如何簡(jiǎn)潔地表示”，再次抽象，培養(yǎng)學(xué)生借助圖形去思考的意識(shí)和能力。

第三層：畫圖分析中解決問(wèn)題。通過(guò)引導(dǎo)及示范，讓學(xué)生根據(jù)文字中的關(guān)鍵信息，理解題意，轉(zhuǎn)化為圖，分析數(shù)量關(guān)系，解決問(wèn)題。

線段圖是小學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)重要手段。利用線段圖把題意表述出來(lái)，把“復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象”，讓隱藏的數(shù)量關(guān)系外顯，以簡(jiǎn)馭繁，清晰概括地表達(dá)數(shù)量關(guān)系，也是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的重要方法。[3]

以《烙餅問(wèn)題》列表學(xué)習(xí)為例。在探究烙餅需要的最省時(shí)間時(shí)，為保證結(jié)論是嚴(yán)謹(jǐn)、唯一的，僅通過(guò)動(dòng)手操作是不夠的，通過(guò)列表來(lái)作數(shù)學(xué)化的回應(yīng)最為合適。

每次最多只能烙2張餅的最省時(shí)間和餅數(shù)（面數(shù)）關(guān)系表

上表中的信息一目了然：烙餅所要需時(shí)間只與所要烙的總面數(shù)有關(guān)，所需時(shí)間=張數(shù)×3。利用列表，既解決了烙餅方案多樣性的問(wèn)題，更解決了用時(shí)最少的確定性問(wèn)題。[4]

（三）以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)為紐帶的身心聯(lián)動(dòng)式操作性學(xué)習(xí)

小學(xué)數(shù)學(xué)操作性學(xué)習(xí)活動(dòng)不是單純的動(dòng)手操作或游戲，每一次行為操作都與一定的問(wèn)題相聯(lián)系。以問(wèn)題紐帶來(lái)驅(qū)動(dòng)操作行為，使學(xué)習(xí)者始終圍繞問(wèn)題來(lái)展開(kāi)有目的的諸如“折疊”“畫圖”等外在性行為動(dòng)作，同時(shí)，以問(wèn)題思考為線索，依托在具體操作中的理解來(lái)保持分析、比較和類比、遷移等內(nèi)在性思維狀態(tài)，這是身心聯(lián)動(dòng)式操作性學(xué)習(xí)的基本特點(diǎn)。讓小學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程始終處于手眼并用、手腦并用的身心交融狀態(tài)也是以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)為核心的操作性學(xué)習(xí)的理想境界。

以“角的度量”學(xué)習(xí)為例。如果按部就班地介紹量角器，讓學(xué)生記住量角步驟，這樣的教學(xué)不僅難以突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)且對(duì)學(xué)生發(fā)展無(wú)益。對(duì)小學(xué)生而言，“掌握”就是親自操作后的發(fā)現(xiàn)與“創(chuàng)造”；“應(yīng)用”就是模仿操作過(guò)程來(lái)解決問(wèn)題。因此，在問(wèn)題情境操作活動(dòng)中創(chuàng)生一個(gè)量角器，并在創(chuàng)生中自然而然地掌握角的度量是最藝術(shù)的境界。

教學(xué)環(huán)節(jié)一：感知角的大小

1.畫角并說(shuō)理：怎么比較角的大??？讓學(xué)生畫出三個(gè)大小不同的角，然后比較大小，說(shuō)出比較的理由。

2.舉例并畫角：怎樣畫一個(gè)相同的角？學(xué)生舉身邊自己熟悉的特殊角，按其大小畫一個(gè)角。自然地引出三角尺中四個(gè)特殊的角30°、45°、60°、90°角。組織學(xué)生依據(jù)三角尺中的30°角在黑板上共同畫一個(gè)30°角，然后再組織學(xué)生畫45°、60°和90°角，以此來(lái)感知角的大小。

教學(xué)環(huán)節(jié)二：感知特殊角的度量

1.量角并說(shuō)理：怎么驗(yàn)證老師畫的角是30°？你們畫的角是45°、60°、90°嗎，怎么驗(yàn)證？能用30°角去度量60°、90°角嗎？

2.量角并感悟：三角尺中的特殊角能夠量一般的角嗎？請(qǐng)學(xué)生用三角尺中的角量一量自己隨意畫的三個(gè)角，并比一比大小。以此感知角的度量，并明白特殊的角可以量盡天下與這幾個(gè)特殊角一樣大小的角，但是無(wú)法量一般的角，只能對(duì)其進(jìn)行大小比較。

教學(xué)環(huán)節(jié)三：感知量角工具的制作過(guò)程

1.折角并感悟：能將一個(gè)角分成幾個(gè)更小的角嗎？如果一個(gè)角是2°，那么，它的一半是幾度？讓學(xué)生在紙上畫一個(gè)60°角，然后對(duì)折使得角的兩邊重疊，再次對(duì)折，算出每一次對(duì)折后角的度數(shù)。以此來(lái)感悟1°角的形成過(guò)程，會(huì)用折疊的辦法平均劃分一個(gè)角為幾個(gè)小角。

2.造角并感悟：會(huì)制作一個(gè)75°角嗎？會(huì)制作150°、180°角嗎？在第一個(gè)15°角上疊加形成不同度數(shù)的角。

3.細(xì)分平角并介紹量角器：要求將一個(gè)平角以折疊的方式細(xì)分為間隔相等的小角，在細(xì)分平角的同時(shí)認(rèn)識(shí)量角器。

操作性學(xué)習(xí)要盡量避免行為操作與思維操作兩張皮的情況，以上環(huán)節(jié)是問(wèn)題引導(dǎo)操作，操作中感悟問(wèn)題的形式展開(kāi)身心聯(lián)動(dòng)的學(xué)習(xí)過(guò)程，把學(xué)習(xí)量角器變成“制作”量角工具，是對(duì)知識(shí)難點(diǎn)學(xué)習(xí)的突破。