陳慶煒 朱廣天

(華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 上海 200062)

新修訂的《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)》將三維目標(biāo)修改為物理核心素養(yǎng), 明確指出了物理學(xué)科核心素養(yǎng)包括物理觀念、科學(xué)思維、科學(xué)探究、科學(xué)態(tài)度與責(zé)任4個(gè)方面. 其中科學(xué)思維是基于經(jīng)驗(yàn)事實(shí)建構(gòu)理想模型的抽象概括過程；是分析綜合、推理論證等方法的內(nèi)化. “科學(xué)思維”主要包括了模型建構(gòu)、科學(xué)推理、科學(xué)論證、質(zhì)疑創(chuàng)新等要素.由此可見，“科學(xué)思維”是原有三維目標(biāo)中“過程與方法”中“方法”維度在物理學(xué)科中的傳承與發(fā)展[1].

以往已有不少教師對液柱移動(dòng)問題進(jìn)行分析.姜煒星利用判別式法對氣體動(dòng)態(tài)過程進(jìn)行分析[2]，并提出壓力的變化才是分析液柱移動(dòng)的根本這一觀點(diǎn)；顧愛芬在姜煒星基礎(chǔ)上增加了運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化影響液柱移動(dòng)的分析[3]；華興恒則是從方法分類的角度，從假設(shè)法、超(失)重法、特殊值法等多種方法對液柱移動(dòng)問題進(jìn)行歸納[4].前人的論文對液柱移動(dòng)問題的分析要么只針對一兩個(gè)子問題，要么以方法分類而缺乏多種方法解決同一道題，因此,本文將圍繞溫度變化、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化、試管位置變化及液體增減4種不同的情境，結(jié)合不同的物理方法解決液柱移動(dòng)問題.

1 溫度變化導(dǎo)致液柱移動(dòng)

1.1 橫截面積相等的液柱移動(dòng)分析

【例1】 如圖1所示，兩個(gè)體積不等的容器A和B通過一根水平細(xì)管連接，玻璃管中有一段水銀柱將兩部分氣體隔開，此時(shí)A氣體溫度為17 ℃，B氣體溫度為67 ℃(細(xì)管的體積不計(jì))，水銀柱溫度穩(wěn)定，若兩邊溫度都升高40 ℃，問

(1)水銀柱如何移動(dòng)？

(2)氣體A，B初末狀態(tài)的壓強(qiáng)變化量ΔpA和ΔpB是什么關(guān)系？

圖1 例1題圖

分析：本題中，兩段封閉的氣體由于溫度發(fā)生變化而導(dǎo)致液柱移動(dòng).液柱移動(dòng)的本源其實(shí)是受力狀態(tài)發(fā)生變化.因此,解題的突破口是找出氣體A對液柱左側(cè)面的壓力變化ΔFA和氣體B對液柱右側(cè)面的壓力變化ΔFB之間的大小關(guān)系.由于溫度變化會(huì)導(dǎo)致壓強(qiáng)、體積均發(fā)生變化，因此,需要先假設(shè)液柱不動(dòng)，氣體A,B均經(jīng)歷等容過程.然后,運(yùn)用理想氣體狀態(tài)方程計(jì)算出氣體A和B升溫后的壓強(qiáng)變化ΔpA和ΔpB，再乘以面積便可得出ΔFA和ΔFB的關(guān)系.本題還可用極限分析法在假設(shè)法和反推法的結(jié)合下快速解答.但需要注意的是,假設(shè)液柱不動(dòng)的壓強(qiáng)變化是在非穩(wěn)定狀態(tài)下的，與穩(wěn)定狀態(tài)下的壓強(qiáng)變化量并不相同.

解析：(1) 解法1,假設(shè)液柱不移動(dòng)，氣體A,B均經(jīng)歷等容過程，pA,pB,TA,TB分別是氣體A,B的初始狀態(tài)參量，而ΔpA,ΔpB,ΔTA,ΔTB則是氣體A,B狀態(tài)參量的改變量.

氣體A,B的壓力比值可由壓強(qiáng)公式得出

(1)

根據(jù)查理定律，對氣體A有

(2)

所以

同理，對B氣體有

將ΔpA和ΔpB的表達(dá)式代入式(1)中，得

(3)

在該情境下，氣體A,B初始時(shí)處于平衡狀態(tài)，所以pA=pB，而液柱左右兩側(cè)橫截面積相等，則SA=SB，升高溫度相同，則ΔTA=ΔTB.所以式(3)為

氣體升溫，壓強(qiáng)均增大，因此壓力也均增大.根據(jù)牛頓第二定律可推出氣體將向右移動(dòng).

解法2,假設(shè)液柱不移動(dòng)，氣體A,B均經(jīng)歷等容過程.假設(shè)氣體A,B均緩慢降溫至0 K.因?yàn)闅怏wB的初溫比氣體A的高，所以氣體A先到達(dá)0 K.由理想氣體狀態(tài)方程pV=nRT可知，當(dāng)T=0 K時(shí)，壓強(qiáng)也為0 Pa.所以當(dāng)pA=0時(shí)，pB>0,因此液柱向左移動(dòng).氣體A,B降低溫度，液柱會(huì)向左移動(dòng).升高溫度則是降低溫度的逆過程，則在升高相同溫度的情況下，液柱將向右移動(dòng).

(2) 題目(1) 中的ΔpA>ΔpB,ΔFA>ΔFB均是在假設(shè)氣體做等容變化的條件下獲得的，而實(shí)際情況氣體并非等容.初末狀態(tài)氣體均達(dá)到穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，因此液柱受力平衡，氣體A,B初末狀態(tài)的壓強(qiáng)變化量ΔpA和ΔpB相等.

【例2】 如圖2所示,粗細(xì)均勻的兩端封閉的U形管,內(nèi)裝有一段水銀柱,兩管水銀面高度差為H,水銀面上封有理想氣體,現(xiàn)把U形管浸沒在熱水中,則管內(nèi)水銀面高度差將如何變化？

圖2 例2題圖

分析：本題中，兩段封閉的氣體由于溫度發(fā)生變化而改變了自身的壓強(qiáng)，左管中高H的水銀柱所受到的壓力也隨之改變，進(jìn)而使得液柱發(fā)生了移動(dòng)，高度差發(fā)生變化.因此本題可以利用例1中的式(3)計(jì)算出氣體A,B壓力變化量的關(guān)系，也可以利用極限分析法快速解題.

解析：解法1，假設(shè)液柱不發(fā)生移動(dòng)，氣體A,B均經(jīng)歷等容過程.將左管中高為H的水銀柱作為分析對象，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化來源于上下表面受到的力大小不一致.水銀柱的上下表面的橫截面積相同，即SA=SB，氣體A,B的初始溫度和變化溫度均相同，即

TA=TBΔTA=ΔTB

則式(3)變?yōu)?/p>

因?yàn)?/p>

pA+ρgH=pB

所以

因此左管中液柱將向上移動(dòng)，右管中向下移動(dòng)，液面高度差將變大.

解法2，假設(shè)液柱不發(fā)生移動(dòng)，氣體A,B均經(jīng)歷等容過程.由極限分析法再假設(shè)氣體A,B均緩慢降溫至0 K，由于氣體A,B初溫相同，因此，兩種氣體同時(shí)達(dá)到0 K.根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程pV=nRT可知，當(dāng)T=0 K時(shí)，壓強(qiáng)也為零，因此兩種氣體壓強(qiáng)同時(shí)降到零.在這種情況下，由于重力作用左管液柱會(huì)向下移動(dòng).因此可以反推出隨著溫度升高，左管液柱會(huì)向上移動(dòng)，液面高度差將變大.

1.2 橫截面積不相等的活塞或液柱移動(dòng)分析

【例3】如圖3所示，A,B是兩個(gè)固定在地面上的氣缸，它們的活塞用硬桿連接，兩氣缸內(nèi)裝有同種氣體，溫度相同，平衡時(shí)體積也相等．若兩活塞間的空間為真空，不計(jì)一切摩擦阻力，則當(dāng)兩氣缸內(nèi)氣體升高相同溫度時(shí)，活塞向哪一端移動(dòng)？

圖3 例3題圖

解析：解法1，先假設(shè)活塞不移動(dòng)，兩側(cè)封閉氣體均做等容變化.氣體A,B初溫相同，溫度變化量也相同.由于活塞最開始處于受力平衡狀態(tài)，則

pASA=pBSB

則式(3)變?yōu)?/p>

所以活塞不移動(dòng).

解法2,先假設(shè)活塞不移動(dòng)，兩側(cè)封閉氣體均做等容變化.由于兩種氣體初溫相同，由極限分析法可知當(dāng)均降到0 K時(shí)，左右兩種氣體壓強(qiáng)為零，活塞不移動(dòng).則升高溫度時(shí)，活塞亦不移動(dòng).

【例4】如圖4，為豎直放置的上細(xì)下粗的密閉細(xì)管，水銀柱將氣體分隔成A,B兩部分，初始溫度相同．使A,B升高相同溫度達(dá)到穩(wěn)定后，水銀柱與原來相比是上升了還是下降了？

圖4 例4題圖

解析：解法1,對液柱進(jìn)行受力分析，可知其受到重力、氣體A,B對它的支持力和壓力以及肩部對它向下的壓力.因此在考慮了肩部對液體的力學(xué)效果后，A氣體實(shí)際對液柱作用等效面積應(yīng)等于液柱下表面面積減去肩部的面積，即S′A=SB.而氣體A,B壓強(qiáng)關(guān)系為pB+ρgH=pA，所以pB

所以液柱向上移動(dòng).

解法2,利用極限分析法對氣體A,B進(jìn)行降溫分析也可以得到同樣的結(jié)果.

2 運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化導(dǎo)致水銀柱移動(dòng)問題

如圖5所示，在玻璃管處于靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，玻璃管中的水銀柱受力平衡，氣體A,B對水銀柱的壓力相等，即

FA=FB

又由于水銀柱的左右兩側(cè)面積相等，則

pB=pA

當(dāng)水銀柱向右加速運(yùn)動(dòng)或向左減速運(yùn)動(dòng)，即加速度方向向右時(shí).由牛頓第二定律對水銀柱進(jìn)行受力分析，可知

F′A-FB=ma

所以

F′A>FB

即p′A>p′B.所以pA變大，pB變小.對氣體A的等溫變化過程運(yùn)用玻意耳定律pV=C可知其體積變小，同理可得氣體B體積變大.因此,我們可將該結(jié)論對所有因運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化導(dǎo)致液柱移動(dòng)的問題進(jìn)行推廣：無論水銀柱是水平加減速、豎直加減速抑或是旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，均先判斷運(yùn)動(dòng)的加速度方向，水銀柱移動(dòng)的方向則與加速度方向相反.

圖5 玻璃管中水銀柱移動(dòng)問題

【例5】如圖6所示,水平放置的兩端封閉和粗細(xì)均勻的玻璃管中有一段水銀柱把氣體分為兩段,若使該玻璃管隨同圓臺一起轉(zhuǎn)動(dòng),則水銀柱如何移動(dòng)?

解析：由于水銀柱的加速度是指向圓心，因此水銀柱將沿著半徑向外移動(dòng).

圖6 例5題圖

3 試管位置變化導(dǎo)致的液柱移動(dòng)問題

【例6】如圖7所示，外界大氣壓為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓，當(dāng)玻璃管豎直放置時(shí)，管內(nèi)外水銀面高度差h=70 cm，若保持溫度不變，則當(dāng)玻璃管繞開口端緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，管內(nèi)水銀柱長度將( )

A.變小 B.變大

C.不變 D.無法確定

圖7 例6題圖

分析：在玻璃管轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，液柱在試管中可能會(huì)上下移動(dòng)，導(dǎo)致氣體的體積發(fā)生變化，氣體的壓強(qiáng)也隨之變化.因此，需要假設(shè)水銀柱在試管中不動(dòng)，分析氣體壓強(qiáng)的變化，再由玻意耳定律判斷壓強(qiáng)變化所造成的對氣體體積的影響.

解析：假設(shè)水銀柱在試管中不動(dòng)，則隨著玻璃管繞開口端緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，氣體的壓強(qiáng)由于水銀柱豎直高度減小而增大.由玻意耳定律pV=C可知?dú)怏w的體積將減小，因此水銀柱將沿著管上升.而水銀柱是否會(huì)上升到原來的高度呢？水銀柱上升后，密封氣體的壓強(qiáng)比最開始的大，由外界氣體壓強(qiáng)與密封氣體壓強(qiáng)的關(guān)系式可以推出水銀柱雖然沿著管上升，但比最開始的豎直高度還是要低一些.

【例7】如圖8所示，一個(gè)上端封閉的玻璃管豎直插入水中，管中水面在管外水面之下，管上某點(diǎn)A和容器上某點(diǎn)B與管內(nèi)水面等高．如果把管再向上提一些(管口不離開水面)，則管內(nèi)水面相對于A點(diǎn)______，相對于B點(diǎn)______.

圖8 例7題圖

分析：玻璃管向上提的過程，氣體將經(jīng)歷等溫下體積和壓強(qiáng)均發(fā)生變化的過程.因此,可以假設(shè)玻璃管中氣體體積不變或液柱與玻璃管相對不動(dòng)作為前提進(jìn)行分析，再結(jié)合玻意耳定律便可探究出氣體體積的變化.也可以將管中液柱保持原有高度不變作為前提假設(shè).

解析：解法1,假設(shè)液柱與玻璃管相對不動(dòng)，即管內(nèi)氣體體積不變.在玻璃管上提的過程中，液面與管外水面的高度差減小，則管內(nèi)氣體壓強(qiáng)將變小.由玻意耳定律pV=C可知管內(nèi)氣體的體積將變大.因此液柱將向下移動(dòng)，在A點(diǎn)之下.但最終管內(nèi)壓強(qiáng)比初始壓強(qiáng)小，所以液面高度差將變小，管內(nèi)液柱的上表面在B點(diǎn)之上.所以管內(nèi)水面相對于A點(diǎn)下降，相對于B點(diǎn)上升.

解法2,假設(shè)管中液柱保持原有高度不變，在玻璃管向上提的過程中，氣體體積變大.由玻意耳定律pV=C可知?dú)怏w壓強(qiáng)變小.結(jié)合內(nèi)外液面高度差可知管中液柱將向上爬升，但最終需保證氣體體積比初始體積大且壓強(qiáng)比初始壓強(qiáng)小的結(jié)果.因此管內(nèi)水面相對于A點(diǎn)下降，相對于B點(diǎn)上升.

4 試管液體增減引發(fā)的液柱移動(dòng)

【例8】如圖9所示，一定質(zhì)量的空氣被水銀封閉在靜置于豎直平面的U形玻璃管內(nèi)，右管上端開口且足夠長，右管內(nèi)水銀面比左管內(nèi)水銀面高h(yuǎn)，沿管壁向右管內(nèi)加水銀，h將變______.

分析：研究對象鎖定為左管中的氣體，左管中氣體體積的變化會(huì)導(dǎo)致水銀面高度差發(fā)生變化.需要假設(shè)左管氣體體積不變，探究在此假設(shè)前提條件下加水銀對氣體壓強(qiáng)的影響，再利用玻意耳定律分析出氣體體積的變化.

圖9 例8題圖

解析：假設(shè)左管氣體體積不變，在往右管中加水銀的過程中，高度差h將變大.設(shè)左管中的氣體壓強(qiáng)為p1，空氣壓強(qiáng)為p0，則p1=p0+ρgh,則氣體壓強(qiáng)變大.由玻意耳定律pV=C可知?dú)怏w的體積將變小.所以左管中液柱向上爬升.但由于最終結(jié)果是左管中氣體壓強(qiáng)比初始壓強(qiáng)大，因此由p1=p0+ρgh可知最終的液面高度差h將變大.

【例9】如圖10所示，上端封閉的連通器A，B，C 3管中水銀面相平，管中水銀上方的空氣柱長lA

圖10 例9題圖

分析：打開閥門后，3管中的水銀均會(huì)下降.平衡后3管中水銀面的高度關(guān)系其實(shí)是3管中氣體的壓強(qiáng)關(guān)系.因此本題需要尋找一個(gè)相同量作為前提假設(shè)——平衡后3管液面高度相同.

解析：假設(shè)流出水銀后3根管中的高度依舊一致，即

ΔVA=ΔVB=ΔVC

假設(shè)A管中氣體的初始體積和壓強(qiáng)分別為VA,pA，流出水銀后的體積和壓強(qiáng)分別為V′A,p′A，由玻意耳定律可知

V′Ap′A=VApA

得

因?yàn)槌跏細(xì)怏w體積

VA

pA=pB=pC

ΔVA=ΔVB=ΔVC

所以流出水銀后氣體壓強(qiáng)為p′A

因此,在假設(shè)流出水銀后3根管高度保持一致的條件下，液體將流向氣體壓強(qiáng)較低的地方，因此最終水銀面的高度關(guān)系為lA>lB>lC.

課程標(biāo)準(zhǔn)指導(dǎo)著高考命題的走向.在新課程標(biāo)準(zhǔn)的指導(dǎo)下，高考題更應(yīng)該注重過程分析與科學(xué)思維的考查.熱力學(xué)中液柱移動(dòng)問題由于其本身所蘊(yùn)含的豐富的科學(xué)思維方法，如假設(shè)法、控制變量法、反推法、模型法、極限分析法等，使學(xué)生在解題過程中往往需要經(jīng)歷完整的模型建構(gòu)——由液柱移動(dòng)的情境建立起受力狀態(tài)變化的物理模型，科學(xué)推理——在提出不變量的假設(shè)后圍繞理想氣體狀態(tài)方程探討p,V和T3個(gè)物理量之間的聯(lián)系，科學(xué)論證——多種解法得出相同的結(jié)論之后對自己的思維過程進(jìn)行科學(xué)論證，因此這類題目在新高考中更能彰顯其價(jià)值.