程新展

摘? ?要? 學(xué)生思維的“啟發(fā)度”把握不當(dāng)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)庸俗化，是教學(xué)設(shè)計(jì)缺失整體觀的主要表現(xiàn)。通過關(guān)注知識(shí)結(jié)構(gòu)理解數(shù)學(xué)、關(guān)注認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)理解學(xué)生、關(guān)注認(rèn)知結(jié)構(gòu)理解教學(xué)，是以認(rèn)知論和整體觀指導(dǎo)教學(xué)設(shè)計(jì)的正確方向。

關(guān)鍵詞? 整體觀? 三個(gè)結(jié)構(gòu)? 三個(gè)理解? 核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和運(yùn)用過程中逐步形成和發(fā)展的既相對(duì)獨(dú)立又互相交融的一個(gè)有機(jī)整體。崔允漷先生提出了課堂教學(xué)設(shè)計(jì)要把分散的知識(shí)概念組成結(jié)構(gòu)化的大觀念、大主題、大任務(wù)、大項(xiàng)目的問題解決學(xué)習(xí)策略。其把課程建設(shè)形象地喻為房屋建造：每個(gè)具體知識(shí)點(diǎn)如水泥、鋼筋和門窗形成了一個(gè)樓道，每個(gè)單元知識(shí)如樓道形成了一幢樓。因此，如何在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中以整體觀為指導(dǎo)，把握好數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高數(shù)學(xué)的育人價(jià)值，是值得每一位數(shù)學(xué)同行認(rèn)真思考的問題。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)缺失整體觀的現(xiàn)象分析

教學(xué)中有一種較為普遍的現(xiàn)象：課堂上概念、公式、定理一個(gè)個(gè)地講，思想、方法一個(gè)個(gè)地教，基本上教得清楚，講得明白;但對(duì)整本書、整章以至于整節(jié)的結(jié)果，學(xué)生學(xué)完后卻很少能“悟”到什么。這種現(xiàn)象在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中表現(xiàn)得十分明顯，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)特別是整體觀缺失的很好例證。

1.學(xué)生思維的“啟發(fā)度”把握不當(dāng)

由于教師對(duì)實(shí)質(zhì)性結(jié)構(gòu)知識(shí)的欠缺，導(dǎo)致教師課堂上抓不住內(nèi)容的核心，設(shè)計(jì)不出利于學(xué)生知識(shí)理解的教學(xué)主線，當(dāng)然也更難提出對(duì)學(xué)生思維有“適度”啟發(fā)的挑戰(zhàn)性問題。因此，教師教學(xué)就事論事，缺乏應(yīng)有的瞻前顧后，長此以往導(dǎo)致了學(xué)生思維呆板、思路狹窄，糾纏于內(nèi)容的細(xì)枝末節(jié)，局限于一招一式的“雕蟲小計(jì)”而不能自拔。不僅浪費(fèi)了學(xué)生的時(shí)間，也影響了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展更是無從談起。

如筆者參加了我市組織的一個(gè)星級(jí)高中教學(xué)督導(dǎo)評(píng)估活動(dòng)，聽了一節(jié)“正弦定理”的新授課。課上，教師在得出定理的形式后，為了給出定理證明，作了如下的啟發(fā)引導(dǎo)：這是三個(gè)式子連等的形式，可以先考慮證明其中的兩式相等，余下的再看能否同理可證。如要證明■=■，即證asinB=bsinA。如圖1，asinB和bsinA有什么幾何意義？

圖1

通過這一問題的“強(qiáng)力”引導(dǎo)，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)了它們都是AB邊上的高線長，證明自然也就“水到渠成”。但這表面上的“順利”，使學(xué)生失去了一次極好的實(shí)質(zhì)性數(shù)學(xué)思考的機(jī)會(huì)。

教師提問題的質(zhì)量決定了教學(xué)的質(zhì)量，而問題的質(zhì)量主要體現(xiàn)在“啟發(fā)度”的把握上。首先，在尋求定理證明思路的過程中，正弦定理的對(duì)稱式結(jié)構(gòu)具有很好的先行組織者作用。而教師的問題，讓學(xué)生失去了通過分析定理的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)建簡潔證明思路的機(jī)會(huì)。其次，將定理形式變形為asinB=bsinA，這是發(fā)現(xiàn)其證明方法至關(guān)重要的一步，被教師點(diǎn)明后，本課的思維教學(xué)價(jià)值被大幅度降低。最后，AB邊上高線CD是聯(lián)系asinB和bsinA的橋梁，是正弦定理的“題眼”，教師在給出圖形的同時(shí)，還提示了它們的幾何意義，對(duì)于大部分程度較好同學(xué)來說，這種提示扎破了“題眼”，堵塞了他們的思維空間。

2.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)庸俗化

日常教學(xué)中，我們?cè)陉P(guān)注知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過程中，常常提供較為豐富的背景材料用于學(xué)生的抽象概括，這本是一個(gè)很有意義的過程。但有不少教師僅僅是出于“抽象概括是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的考量，能在課堂上體現(xiàn)的就盡量體現(xiàn)，對(duì)該不該體現(xiàn)、該如何體現(xiàn)、該何時(shí)體現(xiàn)都鮮有考慮，結(jié)果反而削弱了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)整體結(jié)構(gòu)的認(rèn)知。類似情況也經(jīng)常出現(xiàn)在其余的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中，致使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)庸俗化。

如在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)中，很多教師片面地理解課標(biāo)“經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程”的要求，把橢圓的數(shù)學(xué)抽象放在本節(jié)課的教學(xué)重心上，而且在設(shè)計(jì)這種抽象過程時(shí)，又嚴(yán)重脫離了數(shù)學(xué)的邏輯支撐。一位教師作了這樣的設(shè)計(jì)：請(qǐng)同學(xué)們觀察這個(gè)水杯（圓口）的水面，當(dāng)水杯平放著時(shí)，我們可看到一個(gè)圓;當(dāng)水杯傾斜時(shí)，看到的又是什么呢？這種形同虛設(shè)、毫無意義的設(shè)計(jì)，不僅沒有完成數(shù)學(xué)抽象的要求，反而嚴(yán)重破壞了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。學(xué)生連橢圓是什么都不知道，卻能把橢圓抽象出來，這無疑是荒唐的。

二、以整體觀指導(dǎo)教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐策略

教育要為學(xué)生謀取長遠(yuǎn)利益，數(shù)學(xué)教育應(yīng)在數(shù)學(xué)的情境中進(jìn)行育人的教學(xué)。課程目標(biāo)下數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)生的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)成為我們?cè)O(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)首先要考量的問題，這是數(shù)學(xué)育人的基礎(chǔ)。如果我們還能從認(rèn)知結(jié)構(gòu)的角度出發(fā)開展教學(xué)，那么學(xué)生的數(shù)學(xué)能力就有了“附著點(diǎn)”，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)就有了“著地點(diǎn)”。因此，關(guān)注“三個(gè)結(jié)構(gòu)”是以認(rèn)知論和整體觀指導(dǎo)我們教學(xué)設(shè)計(jì)的正確方向。

1.關(guān)注知識(shí)結(jié)構(gòu)—理解數(shù)學(xué)

知識(shí)結(jié)構(gòu)是指知識(shí)本身的邏輯體系。數(shù)學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)知識(shí)的整體化、結(jié)構(gòu)化和內(nèi)在聯(lián)系。知識(shí)結(jié)構(gòu)中的數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的思想方法，保障了知識(shí)內(nèi)容的層次性和聯(lián)系性。布魯納說：獲得的知識(shí)，若沒有一個(gè)完滿的結(jié)構(gòu)把它們聯(lián)在一起，那是一種多半會(huì)被遺忘的知識(shí)。因此，只有準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，才能理解數(shù)學(xué)。

在正弦定理教學(xué)中，根據(jù)三角形全等的“基本事實(shí)”，由所給三角形的SAS、AAS或SSS，可求出其余的邊或角，是正（余）弦定理的本質(zhì)。從整體知識(shí)結(jié)構(gòu)來看，一個(gè)三角形的其他各種幾何量如面積、高線、中線、角平分線、外徑、內(nèi)徑長等都可以由所給的這樣一組量來表示;同時(shí)它們之間又有著極其豐富優(yōu)美的關(guān)系，且在一定條件下又可以相互表示，這是正（余）弦定理產(chǎn)生的源頭。

因此，本課的教學(xué)應(yīng)從學(xué)生已有的三角形知識(shí)結(jié)構(gòu)（定性、定量的認(rèn)識(shí)）出發(fā)設(shè)計(jì)問題，并以此為線索，貫穿于課堂的始終。在定理的發(fā)現(xiàn)階段，加強(qiáng)三角形幾何量之間關(guān)系可以相互表示的引導(dǎo);在定理的證明階段，從知識(shí)間的聯(lián)系上予以啟發(fā)，讓學(xué)生通過對(duì)幾何量基本關(guān)系表達(dá)式的靈活變形，探尋不同方法。

問題1：在一個(gè)三角形各種幾何量之間存在的各種關(guān)系中，你知道了其中的哪些？

問題2：從定性到定量是數(shù)學(xué)研究的基本過程，從定量角度看三角形全等的基本事實(shí)，你能想到什么？

問題3：對(duì)于直角三角形，我們已經(jīng)知道了勾股定理和邊角之間的關(guān)系，那么對(duì)于一般三角形的邊角之間又有著怎樣的定量關(guān)系呢？

追問1：由特殊到一般是研究數(shù)學(xué)問題的常用策略，你能利用直角三角形的有關(guān)結(jié)論，探索一般三角形邊角之間的關(guān)系嗎？

以上設(shè)計(jì)，從整體上把握內(nèi)容，通過從正弦定理產(chǎn)生的源頭出發(fā)宏觀提出問題，使定理的發(fā)現(xiàn)和證明一氣呵成，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和由特殊到一般的思維規(guī)律，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再發(fā)現(xiàn)”過程，不僅省力、省時(shí)，而且立意高遠(yuǎn)，學(xué)生對(duì)正弦定理的認(rèn)識(shí)更全面、更深刻。

2.關(guān)注認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)—理解學(xué)生

認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)是指人在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中的心理過程和個(gè)性差異，前者包括人的知覺、感覺、想象、記憶、思維和注意，后者包括人的能力和性格等。學(xué)生認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)的差異，會(huì)造成其學(xué)習(xí)力的差別。學(xué)生的認(rèn)識(shí)活動(dòng)總是和積極的情感相伴隨，愉快的情緒是認(rèn)識(shí)活動(dòng)的動(dòng)力和積極性的源泉。

對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)的把握，是幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)思維邏輯、提高學(xué)生思維品質(zhì)的關(guān)鍵。這就要求教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)要注意采用符合學(xué)生認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)的方式，循序漸進(jìn)，并時(shí)常關(guān)注其認(rèn)知心理、個(gè)性品質(zhì)認(rèn)識(shí)的變化，以及對(duì)問題演繹推進(jìn)的合理性和必要性的把握;要耐心細(xì)致，以情激情，提高學(xué)生思維的主動(dòng)性;要客觀面對(duì)學(xué)生的個(gè)體差異，用發(fā)展的眼光看待學(xué)生，增強(qiáng)學(xué)生的自信心。因此，理解學(xué)生的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)的教學(xué)就是理解學(xué)生的教學(xué)。

教之道在于“度”，學(xué)之道在于“悟”。在正弦定理的教學(xué)中，從認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)上來看，學(xué)生在解決問題的策略和數(shù)學(xué)思想方法方面，對(duì)于如何從定性到定量地研究問題以及從知識(shí)的相互聯(lián)系性出發(fā)發(fā)現(xiàn)解題思路等方面，都已具備較多學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。問題1、問題2、問題3和追問1給學(xué)生留有充分的悟的時(shí)間和空間，是需要跳一跳才能摘到果子的;認(rèn)識(shí)能力較強(qiáng)的同學(xué)可以在問題3提出后，就展開獨(dú)立研究或投入到小組的交流、研討活動(dòng)中。考慮到學(xué)生在認(rèn)識(shí)水平上的差異，針對(duì)能力水平較低的同學(xué)，教師還要注意從宏觀逐步過渡到微觀，對(duì)學(xué)生思維的引導(dǎo)不斷具體化，如在追問1的基礎(chǔ)上，可再具體追問。

為了建立數(shù)學(xué)內(nèi)部不同分支之間的聯(lián)系，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的整體性認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，利用上述基本圖形證明定理后，教師還應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)識(shí)能力，在課堂或作為課堂教學(xué)的延伸，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)有余力的學(xué)生探索其他的證明方法，如利用向量的數(shù)量積產(chǎn)生三角函數(shù)、借助三角形的外接圓轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題、在坐標(biāo)系中利用三角函數(shù)定義等不同證法。

3.關(guān)注認(rèn)知結(jié)構(gòu)—理解教學(xué)

認(rèn)知結(jié)構(gòu)是指知識(shí)內(nèi)容和組織這些內(nèi)容的方式，并以同化、順應(yīng)和平衡的形式表現(xiàn)出來。奧蘇貝爾指出：原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)是通過它的可利用性、可辨別性和穩(wěn)定性（清晰性）三個(gè)特性（統(tǒng)稱為認(rèn)知結(jié)構(gòu)變量）來具體影響著有意義學(xué)習(xí)的進(jìn)程?？衫眯允切屡f知識(shí)互相同化的落腳點(diǎn)，沒有這種舊知，新知的學(xué)習(xí)只能是機(jī)械的、死記硬背的;可辨別性是新舊知識(shí)之間的差異程度，只有當(dāng)學(xué)生能清晰地分辨出新舊知識(shí)間的差異時(shí)，他們對(duì)新知的學(xué)習(xí)才是有意義的，否則就會(huì)導(dǎo)致學(xué)習(xí)上的負(fù)遷移;穩(wěn)定性（清晰性）為新知的學(xué)習(xí)提供了同化的固定點(diǎn)和方位點(diǎn)，如果學(xué)生對(duì)舊知的掌握是模糊的、不牢固的，那么學(xué)生對(duì)新知的學(xué)習(xí)就不可能是有意義的、更不可能是順利的。因此，塑造學(xué)生良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使他們具有不斷吸收并同化新知的能力，就是理解教學(xué)。

橢圓的教學(xué)，是建立曲線與方程思想后，真正意義上研究的第一個(gè)重要曲線。因?yàn)榍€與方程概念是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中公認(rèn)的難點(diǎn)，學(xué)生認(rèn)知的沖突難以解決，2017年版高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)根據(jù)學(xué)生認(rèn)知的需要，調(diào)整了課程結(jié)構(gòu)，其中在內(nèi)容條目上刪除了曲線與方程，把曲線與方程的概念處理為：“平面解析幾何背后的思想逐步加以滲透”。因此，從本質(zhì)上看，本節(jié)教學(xué)要進(jìn)一步突出強(qiáng)調(diào)坐標(biāo)法思想的研究“規(guī)則”：準(zhǔn)確找到一種曲線的幾何條件，將其轉(zhuǎn)化成代數(shù)形式并同解化簡為二元方程，再合理解釋以二元方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上。

因此，從塑造學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的角度出發(fā)，在規(guī)則下完成坐標(biāo)法的完整過程才是本課教學(xué)的中心任務(wù)，這個(gè)過程與邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)都息息相關(guān)，它清晰、連貫、穩(wěn)定、包容、可辨別，可使學(xué)生較好地獲得新的認(rèn)知。而上文所提及的“把橢圓的數(shù)學(xué)抽象放在教學(xué)的重心上”顯然是不當(dāng)?shù)摹?/p>

章建躍先生指出：高水平的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)建立在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)的基礎(chǔ)上。教師對(duì)這“三個(gè)結(jié)構(gòu)”的整體把握水平，體現(xiàn)了教師在“三個(gè)理解”上所達(dá)到的高度，把它們有機(jī)融合起來，更有利于正確把握數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，建立良好的數(shù)學(xué)教育整體觀，使數(shù)學(xué)教育步入良性循環(huán)的軌道。

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【責(zé)任編輯? 郭振玲】