高建成 吳鵬 俞華鋒

摘? ? 要：嵌入式拓展課程在課堂教學(xué)中，緊隨基礎(chǔ)課程之后，對(duì)一內(nèi)容進(jìn)行方法和思維上的拓展而形成的課程.嵌入式拓展課程借助于知識(shí)的發(fā)展過程，充分揭示其背后的方法、思想、觀點(diǎn)和精神，促進(jìn)學(xué)生去應(yīng)用、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造.

關(guān)鍵詞：嵌入式拓展課程;核心素養(yǎng);深度學(xué)習(xí)

2019年4月下旬，筆者在杭州市余杭區(qū)仁和中學(xué)觀摩了基于杭州師范大學(xué)劉堤仿教授課程研發(fā)成果的“矩形”第一課時(shí)的展示課.本節(jié)展示課以一種新的形式進(jìn)行，即前30分鐘由一位教師按照傳統(tǒng)的教學(xué)方式上課，學(xué)習(xí)矩形的基本知識(shí)與方法，稱之為基礎(chǔ)課程;后20分鐘由另外一位教師對(duì)同一內(nèi)容進(jìn)行方法與思維的拓展，稱之為拓展課程.由于這種拓展課程緊隨基礎(chǔ)課程掌握之后，并沒有單獨(dú)安排固定的時(shí)間進(jìn)行上課，故稱之為嵌入式拓展課程.對(duì)于教師而言，需要提前分析“矩形”這一節(jié)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，抓住知識(shí)的生長點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)課程內(nèi)容的自然生成與無縫對(duì)接;對(duì)于學(xué)生而言，在掌握矩形基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的同時(shí)，需要更深層次地拓展運(yùn)用，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，有效提升思維水平.整節(jié)嵌入式拓展課程的教學(xué)過程，給筆者留下很多啟發(fā)與思考.

一、案例呈現(xiàn)

第一部分? ?基礎(chǔ)課程的教學(xué)

第一部分由王老師執(zhí)教，以下是教學(xué)過程.

（一）復(fù)習(xí)回顧

平行四邊形的性質(zhì)（口答）.

（二）觀察探究

觀察：如圖1，邊長比為1∶2的平行四邊形有什么共同特點(diǎn)？

探究：（1）有多少個(gè)不同的平行四邊形？它們有什么共同特點(diǎn)？

（2）在這些平行四邊形中，有沒有面積最大的一個(gè)平行四邊形？說出你的理由.

（三）新課探究

定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫作矩形（板書）.

請(qǐng)同學(xué)們用幾何語言表示矩形的定義，并說明為何長方形、正方形都是矩形.

想一想：請(qǐng)舉出在人們?nèi)粘Ｉ詈蜕a(chǎn)實(shí)踐中，有哪些是矩形？生活中難免要接觸到矩形，所以研究矩形的特點(diǎn)就很有必要，下面我們來看看矩形有什么樣的性質(zhì)！

1.探索矩形的性質(zhì).

[ 平行四邊形 矩形 共性 個(gè)性 邊 兩組對(duì)邊分別平行且相等 兩組對(duì)邊分別平行且相等 角 兩組對(duì)角相等 兩組對(duì)角相等 對(duì)角線 對(duì)角線互相平分 對(duì)角線互相平分 對(duì)稱性 中心對(duì)稱圖形 中心對(duì)稱圖形 面積計(jì)算方式 底×高 ]

2.合作探究.

小組討論：矩形還有哪些特殊的性質(zhì)？你如何得到？在學(xué)案上寫一寫并與同學(xué)交流！

3.思考：矩形對(duì)角線交于點(diǎn)O，圖中有哪些特殊的三角形？多少個(gè)直角三角形？多少個(gè)等腰三角形？多少對(duì)全等三角形？

（四）例題學(xué)習(xí)

例1? ?已知：在矩形ABCD中對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∠AOD=120°，AB=4cm. （1）判斷三角形AOB的形狀;（2）求對(duì)角線的長.

（五）課堂小結(jié)（略）

第二部分 拓展課程的教學(xué)

第二部分由俞老師執(zhí)教，俞老師選用了矩形中的折疊問題.

活動(dòng)：按要求作圖（盡可能尺規(guī)作圖）.

如圖2，已知四邊形[ABCD]是矩形，將矩形沿對(duì)角線[BD]折疊，使點(diǎn)[C]落在[C']處，[BC']交[AD]于點(diǎn)[E].

探究一：在你畫的圖形中，請(qǐng)你找出所有相等的線段;

探究二：在你畫的圖形中，請(qǐng)你找出所有全等的三角形;

探究三：若AB=4，BC=8，求AE的長度.

變式練習(xí)：

1.如圖3，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點(diǎn)E在邊AD上，連接BE，將△EAB沿BE翻折得到△EA′B，延長EA′交BC于點(diǎn)F，若四邊形EFCD的周長為9，求AE的長.

2.如圖4，已知點(diǎn)E是矩形ABCD中AD邊上的一點(diǎn)，將四邊形BCDE沿直線BE折疊，折疊后點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C′，D′，若點(diǎn)A在C′D′上，且AB=5，BC=4，求AE的長.

3.在矩形紙片ABCD中，AB=3，AD=5.如圖5所示，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ，當(dāng)點(diǎn)A′在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P，Q也隨之移動(dòng)，若限定點(diǎn)P，Q分別在線段AB，AD邊上移動(dòng)，則點(diǎn)A′在BC邊上可移動(dòng)的最大距離為? ? ? ? ? ?.

二、案例感悟

細(xì)節(jié)處顯素養(yǎng)，兩位教師在上課中都彰顯了很好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，王老師能夠帶領(lǐng)學(xué)生從文字語言、圖形語言、符號(hào)語言角度理解矩形的定義，時(shí)時(shí)滲透“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”，俞老師帶領(lǐng)學(xué)生用精準(zhǔn)的尺規(guī)作圖進(jìn)行作圖的敘述，時(shí)時(shí)培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的思維思考世界”及“用數(shù)學(xué)的方法解釋世界”，但也存在以下問題.

（一）挖掘了圖形聯(lián)系? ?但滲透數(shù)學(xué)思想不足

證明矩形對(duì)角線相等的過程，考驗(yàn)了學(xué)生思維的靈活性以及運(yùn)用已有數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，大多數(shù)學(xué)生都能想到證明兩個(gè)三角形全等.作為矩形，四個(gè)內(nèi)角為直角，可以借助直角三角形的勾股定理解決，個(gè)別學(xué)生可以想到，同時(shí)，有少數(shù)學(xué)生想到直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，矩形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)（如圖6）.

一題多解提升了學(xué)生思維的靈活性，但題后反思與方法優(yōu)化不夠.矩形被對(duì)角線分成三角形，矩形的問題可以轉(zhuǎn)化為相關(guān)三角形的問題，化歸轉(zhuǎn)化思想提供了解題的策略.讓學(xué)生知其然的同時(shí)知其所以然，最后能夠達(dá)成知其然知其所以然，真正達(dá)到深度認(rèn)知.

（二）劃分了認(rèn)知層次? ?但指向高層次思維不夠

在教學(xué)過程中，教師要關(guān)注學(xué)生的思維認(rèn)知水平，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，真正做到有針對(duì)性的教學(xué).

從學(xué)生視角觀課，借助荷蘭數(shù)學(xué)教育家范·希勒（V. Hiele）所提出的五層次數(shù)學(xué)理解模型[1]，分析學(xué)生的思維層次. 0級(jí)水平——形象級(jí)水平：把矩形作為整體來觀察，只按它的形狀來區(qū)分;l級(jí)水平——性質(zhì)級(jí)水平：能對(duì)矩形的形狀進(jìn)行分析，認(rèn)識(shí)圖形的性質(zhì);2級(jí)水平——關(guān)系級(jí)水平：開始認(rèn)識(shí)到矩形的幾個(gè)性質(zhì)之間或矩形與平行四邊形的關(guān)系，矩形被對(duì)角線分成的等腰三角形及直角三角形的邏輯關(guān)系;3級(jí)水平——論證級(jí)水平：學(xué)生開始從整體上理解演繹方法，能由已知命題論證新的命題，自主完成矩形對(duì)角線相等的證明，并嘗試多種方法;4級(jí)水平——體系級(jí)水平：達(dá)到嚴(yán)格的形式思維水平，能夠把矩形的研究套路跟平行四邊形的研究形成體系，并可以繪制相應(yīng)的思維導(dǎo)圖.

通過課堂觀察學(xué)生參與課堂的程度和解題反饋，發(fā)現(xiàn)班級(jí)學(xué)生較多處于2級(jí)、3級(jí)及兩級(jí)之間的過渡水平.所以指向高層次的認(rèn)知與思維，值得我們不斷地思考與實(shí)踐，可以通過問題鏈設(shè)計(jì)策略、預(yù)留問題空間策略、反思問題結(jié)果策略，在數(shù)學(xué)問題變式的“發(fā)散點(diǎn)”上，在學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，提出恰當(dāng)?shù)摹?duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維有適度啟發(fā)的問題，使他們經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、推理、交流 、反思等思維過程，推動(dòng)學(xué)生的思維向高層次發(fā)展.

（三）找準(zhǔn)了生長點(diǎn)? ?但指向深度學(xué)習(xí)欠缺

嵌入式拓展課程也是本課時(shí)的一個(gè)自然生長，是對(duì)學(xué)生思維水平又一次提升.

俞老師的拓展課，就是基于矩形中的特殊三角形及對(duì)角線相等性質(zhì)展開的，找準(zhǔn)了生長點(diǎn)及拓展點(diǎn).雖然沒有按計(jì)劃完成教學(xué)目標(biāo)，但題目的設(shè)計(jì)給了我們很多反思的空間，用尺規(guī)做出折疊后的圖形，是一種新穎拓展方向，其實(shí)質(zhì)就是靈活利用三角形全等的判定與性質(zhì)解決問題.

但從課堂上學(xué)生的反應(yīng)來看，大部分學(xué)生并沒有用尺規(guī)作圖，而是用直尺和量角器來完成，其中用尺規(guī)作圖的部分學(xué)生，又借助于直尺來畫直角.雖然折疊出的圖形畫出來了，但作圖的過程缺少深度思考.

學(xué)過幾何的人都知道，尺規(guī)作圖是幾何原本的精華，是訓(xùn)練邏輯思維的最好工具.學(xué)生借助于直尺和量角器來畫圖，就失去了一次邏輯訓(xùn)練，錯(cuò)失了一次深度學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì).因此，本節(jié)拓展課程中，教師要不斷強(qiáng)化尺規(guī)作圖.

三、案例再創(chuàng)造

通過觀摩課，我們對(duì)矩形這節(jié)課有了深刻的理解，也在自己所帶班級(jí)進(jìn)行了改進(jìn)與嘗試.

（一）思想與方法融合? ?激活學(xué)生思維

在證明矩形的四個(gè)角都是直角、對(duì)角線相等的過程中，我們充分調(diào)動(dòng)了小組互助學(xué)習(xí)優(yōu)勢，先由學(xué)生自主探索，然后進(jìn)行兩分鐘小組內(nèi)談?wù)?，整理，最后小組代表到講臺(tái)展示.讓學(xué)生到講臺(tái)上呈現(xiàn)自己的思維過程，一方面加深了題目條件的認(rèn)知，也讓思維過程展示給其他學(xué)生，規(guī)范了幾何語言描述的同時(shí)，給學(xué)生提供了解題的范例展示.

在證明矩形對(duì)角線相等時(shí)，先請(qǐng)想出方法最多的小組展示，大多數(shù)小組想出以下兩到三種方法.

已知：如圖7，四邊形ABCD為矩形，求證：AC=BD.

方法一：∵在矩形ABCD中，AB=CD，

又∠ABC=∠DCB=90°，BC=CB，

∴△ABC≌△DCB.

∴AC=BD.

方法二：∵∠ABC=∠ADC=90°，AB=CD，BC=AD，

由勾股定理可知：AB2+BC2=AC2，CD2+AD2=BD2，

∴AC=BD.

方法三：∵∠ABC=∠ADC=90°，OA=OC，OB=OD，

∴OB=[12]AC=OA=OC（直角三角形斜邊處中線等于斜邊的一半）.

∴2OB=2OA.

∴OB+OD=OA+OC.

∴AC=BD.

有兩個(gè)小組想出四種方法，極大地激發(fā)了學(xué)生的求知欲，沒想出方法的學(xué)生迫切地想要知道答案或者想去推翻想法多的小組，班級(jí)內(nèi)形成一個(gè)小的高潮.

評(píng)價(jià)與升華：教師在點(diǎn)評(píng)時(shí)要關(guān)注 “通性通法”與特殊方法的比較.同時(shí)給學(xué)生指出直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì)，我們?cè)趯W(xué)習(xí)直角三角形的時(shí)候用其他的方法證明過，其實(shí)我們也可以通過證明矩形的對(duì)角線相等得出斜中線的性質(zhì).

（二）例題與習(xí)題整合? ?發(fā)展高階思維

教師在備教材時(shí)，應(yīng)該充分挖掘教材例題和課后習(xí)題的價(jià)值，對(duì)教學(xué)資源進(jìn)行有限的整合，合理安排講練時(shí)間，有目的、有計(jì)劃、有步驟地進(jìn)行練習(xí)和訓(xùn)練.其實(shí)課后習(xí)題在安排上給我們留下了其他證明矩形對(duì)角線相等的線索.

作業(yè)題3 已知：如圖8，過矩形[ABCD]的頂點(diǎn)作[CE//BD]，交[AB]的延長線于點(diǎn)[E]，求證：[∠CAE=∠CEA].

在練習(xí)完作業(yè)題3之后，可以設(shè)置如下貼近學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的問題：經(jīng)過授課后習(xí)題中的圖形啟發(fā)，你是否可以利用這個(gè)圖形，給出“矩形對(duì)角線相等”的性質(zhì)其他的證明方法呢？

這樣通過證法的多樣性，達(dá)到思維的多樣性.通過幾何直觀和逆向思維，讓學(xué)生的思維層次不斷地從形象、性質(zhì)、關(guān)系水平向論證、體系水平升級(jí)，由簡單的模仿和理解，走向更高的應(yīng)用、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造.

（三）作圖與說理并進(jìn)? ?促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

折疊問題是很好的拓展課程的素材，矩形紙片也隨處可見，便于學(xué)生開展探究，矩形的折疊在發(fā)揮學(xué)生直觀想象、幾何直觀以及動(dòng)手操作上有著舉足輕重的作用.

在拓展課程展開時(shí)，學(xué)生產(chǎn)生了濃厚的興趣，躍躍欲試.安排的任務(wù)是在十分鐘內(nèi)完成折疊的作圖及三個(gè)探究.在巡視的時(shí)候發(fā)現(xiàn)不同作圖方式，在十分鐘結(jié)束的時(shí)候，很多學(xué)生愿意展示他們的作法（如圖9），我們對(duì)他們的要求是在同學(xué)講解的過程中，大家思考他作圖的依據(jù)是什么.

還有學(xué)生利用：對(duì)稱軸垂直平分連接對(duì)稱點(diǎn)的線段的性質(zhì)作圖，不過這位學(xué)生沒有用尺規(guī)做出垂直，于是師生共同回顧了過一點(diǎn)如何作已知直線的垂線，使圖形變得更加完美（如圖10）.

反思與回顧：大家都理解了折疊前后兩個(gè)圖形的全等關(guān)系，就把問題轉(zhuǎn)化成作一個(gè)與原三角形全等的三角形，三角形的要素是邊和角，所以需要提取我們作角等于已知角，作線段等于已知線段的經(jīng)驗(yàn)，再結(jié)合三角形全等的判定進(jìn)行構(gòu)圖.在作圖之前，不妨先畫出草圖，用直觀的草圖幫助自己的構(gòu)圖操作.通過方法的比較，我們也不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于這個(gè)題目而言，SSS構(gòu)圖是最簡單的操作.

師：還有其他的方法要跟大家分享嗎？

有學(xué)生按照證全等的方法隨口一講HL，引發(fā)班級(jí)里學(xué)生深深的好奇，HL真的可以嗎？

這個(gè)問題問得挺意外的，提前沒有預(yù)設(shè)到，于是跟學(xué)生一起分析.

師：如果想要用HL作圖，我們需要作一個(gè)直角，斜邊是已知的，怎樣畫直角，我們有這樣的經(jīng)驗(yàn)嗎？

生：過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，點(diǎn)是有了，但是線的位置好像確定不下來.

師：看來對(duì)大家來講是有點(diǎn)難度的，那么老師給大家一些提示，利用我們學(xué)過直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的逆命題，一邊中線等于這邊一半的三角形是直角三角形，我們只需要尺規(guī)作圖作出[BD]的中點(diǎn)[O]，以點(diǎn)[O]為圓心，[OD]為半徑畫弧，則弧上任意一點(diǎn)與點(diǎn)[B]，點(diǎn)[D]構(gòu)成的三角形一定是直角三角形，那么這個(gè)直角作出來后，剩下來的大家知道怎么作了嗎？

生：以點(diǎn)[B]為圓心，[BC]長度為半徑畫弧，與前面一條弧的交點(diǎn)即為[C'].

生：也可以以點(diǎn)[D]為圓心，[DC]為半徑畫弧作出交點(diǎn).

師生共同完成HL的作圖（圖11）.

在解決完變式的相關(guān)練習(xí)后，不妨來個(gè)實(shí)踐操作，你能用矩形紙片折出變式中出現(xiàn)的這幾種圖形嗎？你能分析它們是按照怎樣的標(biāo)準(zhǔn)折疊的嗎？你還能提出怎樣的數(shù)學(xué)問題？你可以畫出一種折疊并設(shè)計(jì)相關(guān)的數(shù)學(xué)問題嗎？設(shè)計(jì)貼近學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的問題，在知識(shí)的生長點(diǎn)上合理設(shè)問，是學(xué)生思維層次提升的有效途徑.

四、案例啟示

嵌入式拓展課程是對(duì)課堂教學(xué)模式的創(chuàng)新，它很好地解決了基礎(chǔ)與提高、知識(shí)與能力、能力與素養(yǎng)的問題.教師通過對(duì)知識(shí)進(jìn)行深入的研究，闡明了知識(shí)的內(nèi)涵，劃清學(xué)生的思維水平，確定知識(shí)前后之間的聯(lián)系，以及本知識(shí)與其他學(xué)科的聯(lián)系，析出知識(shí)承載的學(xué)科觀點(diǎn)、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（如圖12）.然后在此框架下，合理地分配基礎(chǔ)課程與拓展課程的時(shí)間占比，恰當(dāng)預(yù)設(shè)出拓展的點(diǎn)位，精準(zhǔn)設(shè)計(jì)出拓展的深度和廣度，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，知識(shí)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的載體.因此，不管是基礎(chǔ)課程，還是拓展課程，教師牢牢地抓住知識(shí)這根主線，師生要圍繞著這根主線開展活動(dòng)，基礎(chǔ)課程重在知識(shí)的再發(fā)生，再發(fā)現(xiàn)，落實(shí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，而拓展課程則要借助于數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)現(xiàn)過程，有目的、有步驟地將知識(shí)中蘊(yùn)含的思維方法、研究方法及數(shù)學(xué)的思想觀點(diǎn)揭示出來，讓學(xué)生去掌握、理解并加以應(yīng)用和評(píng)價(jià)，從而創(chuàng)造出新的思想和方法（如圖13）.

總之，嵌入式拓展課程就是在整體上認(rèn)識(shí)知識(shí)，從知識(shí)的本質(zhì)出發(fā)理解知識(shí)，從知識(shí)的邏輯關(guān)系中啟迪學(xué)生思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，達(dá)到“道”與“術(shù)”的統(tǒng)一.

參考文獻(xiàn)：

[1] 張立紅.初中四邊形教學(xué)研究[D].呼和浩特：內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2012：10-12.