陳旭

摘 要：本文以一道高三數(shù)列壓軸題的解法為背景，以數(shù)學抽象素養(yǎng)三個水平要求為指導，以變式教學的形式展開教學設計。數(shù)學抽象素養(yǎng)的三個水平對應于教學的三種設計。水平一是簡單模仿、了解解法，在教學中引導學生看懂通法，了解解法。水平二是提煉通法、明晰規(guī)律，在教學中要突破難點，尋找解法背后的原理，并能進行一般性的應用。

關鍵詞：數(shù)學抽象素養(yǎng);二個水平;數(shù)列放縮

數(shù)學抽象素養(yǎng)是形成理性思維的重要基礎。如何更好的在高三復習中提高學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)是高三數(shù)學復習的一個重要課題。數(shù)列是高中數(shù)學的重要內容，思維的抽象性高，學生難以理解，難以提煉通性通法。本文以數(shù)列為背景，以數(shù)學抽象素養(yǎng)的三個水平劃分為依據進行數(shù)列習題課教學設計。習題課的教學設計離不開變式教學的理念：一題多解，多個角度理解問題，深挖題目本身;多題一解，提煉通性通法，拓展題目外延。本文結合變式教學的理解滲透數(shù)學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)。

1.水平一：簡單模仿、了解解法

例1設數(shù)列滿足

（1）求證：;

（2）求證：;

（3）設數(shù)列的前n項和為Sn，求證：

解：（1）略（2）解法一：證明n=1時，a1=3>2成立，假設n=k時，ak>2

則n=k+1時，∴綜上an>2

又

分析：數(shù)學歸納法是解決數(shù)列證明問題的通法之一，學生能進行簡單問題的模仿，并感悟方法的使用。屬于數(shù)學抽象素養(yǎng)的第一層次能力體現(xiàn)。

解法二：迭代法

分析：學生在解答過程中試圖從抽象的數(shù)據中歸納出一般性的規(guī)律，但對抽象規(guī)律的理解不到位，沒有成功。此處需要對數(shù)學抽象素養(yǎng)有更高的訓練。此種解答的數(shù)學抽象素養(yǎng)仍屬于第一層次。

解法三：第二問的參考答案

∴an+1-2與an-2同號∴a1>2，an+1>2

（3）參考答案解法

三邊同時求和可得

分析：學生能看懂答案，了解命題的條件和結論，但不能夠理解的形成原因，不能夠理解構造的原理，不能掌握數(shù)列內在的規(guī)律和聯(lián)系，所以需要進一步深入培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的第二層次水平。

2.水平二：提煉通法，明晰規(guī)律

2.1第二問解法2障礙的處理

為了解決第二問解法2中的障礙，利用數(shù)形結合將具體數(shù)字迭代法進行幾何化，明晰內在規(guī)律。迭代法幾何化的基本思路：構造函數(shù)f（x）與y=x。將代數(shù)的迭代轉變?yōu)閹缀蔚牡瑥某橄笞優(yōu)橹庇^，能更直觀的提煉出數(shù)列內在的單調性和取值范圍等規(guī)律。（如圖1）

圖1

分析：此處方法由學生探索得到，將具體的數(shù)據轉變成直觀的圖形，從圖形中抽象出數(shù)列內部單調性和取值的規(guī)律。學生在探索圖1迭代法幾何化

過程中培養(yǎng)了數(shù)學抽象素養(yǎng)。使數(shù)學抽象素養(yǎng)由第一層次向第二層次提升。

變式1：數(shù)列{an}滿足a1=1，，求證為遞減數(shù)列

解析：本題為2016浙江省調研卷最后一題第一問。構造函數(shù)為減函數(shù)，得到數(shù)列分為下標奇數(shù)、偶數(shù)的兩個單調數(shù)列，一個遞減逼近不動點橫坐標，一個遞增逼近不動點橫坐標。

2.2第二問解法三的理解

總結規(guī)律，并用抽象的數(shù)學語言給出證明和表述。通過分析生給出了如下的原理解釋：

證明{an}滿足構造函數(shù)y=f（x），求解方程f（x）=x，解得x=x0必然成立。

分析：能夠用恰當?shù)臄?shù)學語言解釋抽象的數(shù)學概念和規(guī)則;理解數(shù)學命題的條件與結論;能夠理解和構建相關數(shù)學知識之間的聯(lián)系。能夠理解用數(shù)學語言表達的概念、規(guī)則、推理和論證。屬于數(shù)學抽象素養(yǎng)的第二層次能力。

2.3第三問構造的原理探索

分析：分析答案，進一步引起沖突，希望學生有所思考，希望學生能在數(shù)學抽象思維上有所提升。學生自主完成代數(shù)到幾何的轉換，強化數(shù)形結合分析問題的能力。不僅僅是等比型的構造，還是兩點連線的斜率，可以利用導數(shù)的概念，求出斜率的取值范圍，進而解決問題，這樣就透過了問題，看懂了題目命制的原理。

3.結

在數(shù)學教學活動中，注重抽象能力的培養(yǎng)，有利于學生養(yǎng)成一般性思考問題的習慣，有利于學生更好的理解數(shù)學的概念、命題、結構和系統(tǒng)，有利于學生在其他學科的學習中化繁為簡，理解該學科的知識結構和本質特征。高三數(shù)學復習課不僅僅是應試的一部分也必須是學生數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的舞臺。希望學生能用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維分析世界，用數(shù)學的語言表達世界。

參考文獻

[1]俞海東.一階非線性遞推關系問題的結構分析—函數(shù)觀點下的處理模式探討[J].中學教研（數(shù)學），2017（12）：26-30.

[2]孫軍波.用蛛網巧釋浙江壓軸題[J].中學教研（數(shù)學），2017（8）：48-50