鄭小華

摘 要：縱觀全國各地中考題，與“圓”有關(guān)的計(jì)算與證明是中考的必考內(nèi)容之一，占有較大比重，通常結(jié)合三角形、四邊形等與圓有關(guān)的位置關(guān)系進(jìn)行綜合考查，以計(jì)算題、證明題的形式出現(xiàn)，解答此類問題要熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)，特別是切線的性質(zhì)和判定，同時(shí)要注意已知條件之間的相互聯(lián)系。文章對(duì)與“圓”有關(guān)的位置關(guān)系進(jìn)行了相關(guān)探索。

關(guān)鍵詞：“圓”;切線;解題思路

筆者翻閱全國各地中考試卷發(fā)現(xiàn)，近五年來中考對(duì)“圓”的考查一般會(huì)出現(xiàn)在填空題第8題，或作為選擇題出現(xiàn)在第14題或第16題，廣東省中考卷中連續(xù)幾年將與“圓”有關(guān)的計(jì)算與證明題作為9分壓軸題之一放在解答題（三）中的第24題。

一、知識(shí)思維導(dǎo)圖

二、重點(diǎn)及難點(diǎn)問題解析

知識(shí)點(diǎn)一 直線和圓的位置關(guān)系的判定及性質(zhì)

設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，直線l和⊙O相交？圳dr。

（1）“？圳”號(hào)左邊是直線和圓的位置關(guān)系，右邊是圓心到直線的距離和半徑大小的數(shù)量關(guān)系;（2）直線和圓的位置關(guān)系和圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的;（3）從左邊推出右邊是直線和圓心的位置關(guān)系的性質(zhì)，從右邊推出左邊是直線和圓的位置關(guān)系的判定。

知識(shí)點(diǎn)二 切線的判定定理及性質(zhì)定理

（1）在應(yīng)用判定定理時(shí)注意：①切線的兩個(gè)條件：經(jīng)過半徑外端;垂直于這條半徑。②切線的判定定理的出處：“圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，直線和圓相切”。③在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長(zhǎng)等于半徑，可簡(jiǎn)單地說成“無交點(diǎn)，作垂線段，證半徑”;當(dāng)已知線段中明確指出直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡(jiǎn)單地說成“有交點(diǎn)，作半徑，證垂直”。（2）在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)應(yīng)注意：①切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn);②圓心到切線的距離等于半徑;③經(jīng)過圓心并垂直于切線的直線必過切點(diǎn);④經(jīng)過切點(diǎn)并垂直于切線的直線必過圓心。

知識(shí)點(diǎn)三 切線長(zhǎng)定理

（1）切線是一條直線，無法度量其長(zhǎng)度;而切線長(zhǎng)是切線上一條線段的長(zhǎng);（2）經(jīng)過圓外一點(diǎn)，可以作兩條直線與該圓相切;（3）因?yàn)榍芯€長(zhǎng)是切線的一部分，所以切線的所有性質(zhì)適合切線長(zhǎng);（4）切線長(zhǎng)定理包含著垂直、全等、弧相等等關(guān)系，在一些證明求解問題中經(jīng)常用到。

三、典型例題剖析

題型① 直線和圓的位置關(guān)系的判定及性質(zhì)的應(yīng)用

【例1】已知⊙O的圓心O到直線l上一點(diǎn)A的距離等于⊙O的半徑，試判斷直線l和圓O的位置關(guān)系。

解析：要判定直線l和⊙O的位置關(guān)系，必須先弄清⊙O的圓心O到直線l的距離與半徑的大小關(guān)系，此題有兩個(gè)可能：一是直線l與O相切;二是直線l和⊙O相交。

答案：相切或相交。

點(diǎn)撥：區(qū)分開OA的長(zhǎng)度不一定是圓心O到直線l的距離。

【類題突破1】在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，O為AB邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），AO=m，⊙O的半徑r=，則m在什么范圍取值時(shí)，直線AC與⊙O相交？相切？相離？

答案：過點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D，

則∠AOD=∠B=30°。

∵OA=m，

∴AD=am，

∴OD=a=am

當(dāng)ODr，直線AC與⊙O相離。

點(diǎn)撥：過圓心作垂線→計(jì)算的OD長(zhǎng)→比較OD與r的大小關(guān)系→結(jié)論。

題型② 切線的判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用

【例2】如右圖所示，已知△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，以AB為直徑作⊙O，交BC于D，交AC于E，過D作DF⊥AC于F。

求證：DF是⊙O的切線

解析：由題意知，DF與⊙O有公共點(diǎn)點(diǎn)D，

故只需證OD⊥DF即可。

答案：連接OD、AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠BDA=90°，∴AD⊥BC。

又∵AB=AC=13cm，BC=10cm，

∴BD=DC=aBC=5cm。

又∵AO=OB，∴OD∥AC。

又∵ DF⊥AC，∴ DF⊥OD。

即DF是⊙O的切線。

點(diǎn)撥：在切線的三種判定方法中，常用的有兩種：①當(dāng)題目中未出現(xiàn)直線與圓的公共點(diǎn)時(shí)，一般過圓心作直線的垂線段，證明垂線段的長(zhǎng)等于半徑;②當(dāng)題目中出現(xiàn)了公共點(diǎn)時(shí)，往往連接該點(diǎn)與圓點(diǎn)，證明這條半徑與直線垂直即可。

【類題突破2】已知，直線l與⊙O相切于點(diǎn)C，AD為⊙O的直徑，點(diǎn)B在直線l上，且∠BAC=∠CAD（AB與AD不在同一條直線上），先畫出圖形，試判斷四邊形ABCO的形狀，并證明你的結(jié)論。

解析：在審題的過程中我們可以先根據(jù)題意畫出⊙O與它的切線l，再畫出直徑AD，最后根據(jù)∠BAC=∠CAD確定點(diǎn)B的位置，在探究四邊形ABCO的形狀時(shí)，可將直徑AD轉(zhuǎn)動(dòng)，得到幾個(gè)不同的位置進(jìn)行觀察和猜想，發(fā)現(xiàn)在一般情況下，四邊形ABCO是直角梯形，特殊到當(dāng)AD∥l時(shí)，四邊形ABCO就變成了正方形，所以在我們?cè)诮忸}的過程中要分兩種情況進(jìn)行討論。

答案：如圖（1），當(dāng)AD與直線l不平行時(shí)，四邊形ABCO是直角梯形，證明如下：

∵在⊙O中，OC=OA，

∴∠ACO=∠CAD。

又∵∠BAC=∠CAD，

∴∠BAC=∠ACO，∴ AB∥OC。

∵⊙O與直線l相切于點(diǎn)C，

∴∠OCB=90°，

又∵AD與直線l不平行，

∴四邊形ABCO為直角梯形。

如圖（2），當(dāng)AD與直線l平行時(shí)，四邊形ABCO是正方形，同（1）可證得BA∥OC，∠OCB=90°。

∵AD∥l，

∴四邊形ABCO為矩形。

又∵OA=OC，

∴四邊形ABCO為正方形。

方法規(guī)律：在解答有關(guān)判斷形狀的問題時(shí)，一般情況下先將圖形移動(dòng)做適當(dāng)?shù)淖兓?，然后從各種不同的位置進(jìn)行觀察、猜想和論證。當(dāng)因?yàn)閳D形的變化而得到不同的情況時(shí)，要對(duì)產(chǎn)生的不同的情況分別進(jìn)行討論。

題型③ 三角形的內(nèi)切圓的考查

【例3】如圖，MA，MB是⊙O的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，若∠AMB=60°，AB=1，則⊙O的直徑等于（?  ）。

A. a B. 2a

C. a D. a

解析：如圖，要求直徑，可考慮求半徑，由于MA、MB為切線，A、B為切點(diǎn)，∠AMB=60°，連接OA、OM，設(shè)OM交AB于C，易知OA⊥AM，

∠AMO=a∠AMB=30°，又OM⊥AB，所以∠OAB=∠AMO=30°，AC=aAB=a，所以O(shè)A=a。答案D。

【類題突破3】如圖，在圓I 中，AB=AC=5，BC=6，E、F分別是邊AC、AB與圓I的切點(diǎn)。求圓I的半徑。

答案：過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD為∠BAC的平分線，則I在AD上。∵AB=AC=5，BC=6，∴AD=4。如圖，連接IE，則IE⊥AC，設(shè)I半徑為x。

∵∠IAE=∠CAD，∠AEI=∠ADC，

∴△AIE∽△ACD。

∴a=a，即a=a

解得：x=a，故△ABC的內(nèi)切圓I的半徑為a。

規(guī)律總結(jié)：關(guān)于“圓心與切點(diǎn)”：①點(diǎn)心連（圓心與切點(diǎn)）是解決圓的問題中的最常用的輔助線。②若想要證明某條直線是圓的切線，若題目中沒有明確指出圓和直線是否有公共點(diǎn)，那么就首先想到經(jīng)過圓心作這條直線的垂線段，再去證明這條線段的長(zhǎng)等于這個(gè)圓半徑，這就是傳說中的“無交，垂也，證半徑”。③在證明直線與圓相切的過程中，如果題目中已知明確直線與圓有公共點(diǎn)，那么就可以用“點(diǎn)心連”連圓上的點(diǎn)和圓心，再去證明該條直線是否垂直于該條半徑，“作半徑，證垂直”。④當(dāng)圓中已說明有直徑時(shí)，通常要想到構(gòu)造圓周角，即“有直徑，造直角”。

關(guān)于“三角形與圓的關(guān)系”：①三角形的外心與內(nèi)心都有許多固定的性質(zhì)，如銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心在斜邊中心，鈍角三角形的外心在三角形外部，等腰三角形的外心和內(nèi)心在底邊的中線上，等邊三角形的內(nèi)心和外心重合。②在三角形內(nèi)切圓有關(guān)問題中，常用代數(shù)式方法解決幾何問題，一般解法是設(shè)未知數(shù)列方程。

遇到圓外三角形時(shí)注意切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用，切線長(zhǎng)定理包含著一些隱藏結(jié)論，如下圖：

①M(fèi)A=MB，∠1=∠2;②直線MC是弦AB的對(duì)稱軸;③P為AB的中心，C為ACB的中心。

四、結(jié)語

總之，遇到與圓有關(guān)的位置關(guān)系問題，我們要做到切線“一看”“二算”“三證明”?！耙豢础保纯纯搭}目中有沒有說到唯一的公共點(diǎn);“二算”，即算算圓心到直線的距離是否與圓的半徑相等;“三證明”，即證明一經(jīng)過，二垂直。

在求切線長(zhǎng)的過程中，經(jīng)常要與切線的“三理”（性質(zhì)定理、勾股定理、垂徑定理）進(jìn)行深度融合及綜合運(yùn)用。熟練掌握三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心的相關(guān)概念。