姬梁飛

摘 ? 要：知識是思想的載體，思想是知識的精髓?；瘹w思想是知識轉(zhuǎn)為能力的橋梁，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)理論內(nèi)部固有的規(guī)律，反映了人類對其本質(zhì)認(rèn)識的一般觀點。從函數(shù)微分、幾何代數(shù)、概率統(tǒng)計、建模探究等四大領(lǐng)域探析化歸思想的應(yīng)用策略。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);化歸思想方法;解題策略

中圖分類號：G633.6 ? ?文獻標(biāo)識碼：A ? ?文章編號：1009-010X（2019）35-0020-04

化歸思想方法是數(shù)學(xué)基本思想方法之一，是數(shù)學(xué)思想文化中的精髓部分。函數(shù)微分中的變量運動變化，代數(shù)幾何中的數(shù)形互化，概率統(tǒng)計中的現(xiàn)象與本質(zhì)、隨機性與可知性、偶然性與必然性的矛盾運動，建模探究中的現(xiàn)實問題與數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化歸結(jié)等，這些無不體現(xiàn)了化歸思想?！毒耪滤阈g(shù)》將現(xiàn)實問題化歸為數(shù)學(xué)模型，實現(xiàn)了生活情境問題的數(shù)學(xué)化，并建立一種模型來解決同一類的問題;《文心雕龍》中言道，事類者，蓋文章之外;據(jù)事以類義，援古以證今者也。人們常常需要借用已經(jīng)解決的事情來說明新的事情或道理，即援古證今。因此，化歸是人類思考問題、解決問題的一種基本方法，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域得到了普遍性的應(yīng)用，更是在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位，本文就從高中數(shù)學(xué)五大知識領(lǐng)域來探討化歸思想方法的應(yīng)用情形與策略。

一、化歸在函數(shù)微分中的應(yīng)用策略：援古證今

化歸思想在函數(shù)與微分領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用?，F(xiàn)實世界有許多運動變化的現(xiàn)象，是通過函數(shù)來刻畫其運動變化規(guī)律。例如，在三角函數(shù)領(lǐng)域，為了研究自然界周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)的自然規(guī)律，借助角度量的兩種不同單位制間的轉(zhuǎn)換，將角度制向弧度制轉(zhuǎn)化，建立了角度跟實數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系。借助單位圓和有向線段的媒介，將角度與坐標(biāo)系建立了緊密聯(lián)系，從而有了三角函數(shù)圖象。這些轉(zhuǎn)換意識也是人類在數(shù)學(xué)史上的偉大創(chuàng)舉。此外，三角函數(shù)的弦與切互化，積化和差、和差化積的恒等變換，倍角公式、半角公式的結(jié)構(gòu)形式的變換，這些均為異角之間的弦切關(guān)系建立了紐帶。通過對三角函數(shù)中某個圖象的翻折、平移、對稱等變換操作，可為它們的圖象之間建立某種關(guān)聯(lián)。在初等微分領(lǐng)域中，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì)，可將復(fù)雜繁瑣的高次方程、不等式等轉(zhuǎn)化為較簡單的問題，實現(xiàn)援古證今的推理過程。

例1.已知函數(shù)f（x）=■x3-x2+3x+1.若函數(shù)y=3f（x）的圖象與函數(shù)y=f′（x）+7x+a的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍。解析：f′（x）=x2-2x+3則y=f′（x）+7x+a=x2+5x+3+a.令3f（x）=f′（x）+7x+a即x3-3x2+9x+3=x2+5x+3+a.構(gòu)造新函數(shù)F（x）=x3-4x2+4x-a.則F′（x）=4x2+3x2-8x+4=（x-2）（3x-2）.令F′（x）=0，得x=2或x=■.

命極大值F（■）=■-a>0，極小值F（2）=-a<0.故a∈（0，■）.

在研究函數(shù)性質(zhì)的過程中，可運用的具體化歸策略，包括特殊化策略、等價轉(zhuǎn)化策略、局部與整體策略、反客為主策略、逆向思維策略、正難則反策略、以退為進策略等。具體的化歸方法有換元法、拼湊法、消元法、配方法、反證法、反例法、構(gòu)造法、比較法、窮舉法、判別式法、變量代換法、分離參數(shù)法、待定系數(shù)法等。

例2.已知f（■）=x+2■+9求函數(shù)f（x）的最小值。解析：含有根式的函數(shù)，可以借助化歸方法將其轉(zhuǎn)換為比較熟悉的二次函數(shù)。令■=t，則x=t2+1，t≥0得f（t）=t2+2t+10≥0.所以函數(shù)f（x）=（x+1）2+9，最小值為f（0）=10.拼湊法：f（■）=（■）2+2■+10）.

二、在幾何代數(shù)中的應(yīng)用策略：映射反演

在幾何領(lǐng)域，演繹推理是研究幾何學(xué)的常規(guī)方法，而演繹推理又離不開化歸方法?；瘹w思想方法普遍應(yīng)用于立體幾何和解析幾何。在立體幾何中，通過化歸方法可以對立體幾何中的點、線、面等研究對象的位置關(guān)系進行轉(zhuǎn)化。面面平行和面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面平行和線面垂直問題，線面平行和線面垂直問題可轉(zhuǎn)化為線線平行和線線垂直問題。在解析幾何中，采用化歸方法可將圖形與數(shù)量建立對應(yīng)關(guān)系，并使之相互轉(zhuǎn)化。徐利治教授曾提出了經(jīng)典的RMI法，利用映射反演的原則，建立映射關(guān)系，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)換容易問題。在解析幾何中，利用坐標(biāo)媒介，把幾何問題映射為代數(shù)問題，再用代數(shù)結(jié)論反演幾何問題。采用數(shù)量精確性的優(yōu)勢研究幾何問題，用幾何直觀性的優(yōu)勢研究代數(shù)問題。比如，二元一次方程組的解與直線的交點問題，圓錐曲線與二元二次方程問題，普通方程與極坐標(biāo)方程的互化問題，解析幾何中的動點與函數(shù)最值問題等。

例3.已知橢圓■+y2=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是左、右焦點，過F2的直線l與橢圓交于兩個不同點M、N，是否存在△MNF1，使得其內(nèi)切圓面積最大，若存在，求其最大內(nèi)切圓半徑。解析：由題意，F(xiàn)2（1，0），設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），直線l斜率不為零，設(shè)直線l的方程為x=ky+1.聯(lián)立橢圓方程與直線方程，消元得（k2+2）y2+2ky-1=0，△=4（k2+2）>0.由方程根與系數(shù)關(guān)系，y1+y2=■，y1y2=■.S△MNF2=■F1F2y1-y2=y1-y2=■.令u=■，u≥1，所以S△MNF2=■=■.設(shè)g（u）=u+■，u≥1.則g（u）=1-■=■≥0，即g（u）在（u，+∞）是增函數(shù)，g（u）≥g（1）=2.故S△MNF2≤■若u=1，即k=0時，Smax=■設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，又因為S△MNF1=■r（MF1+MF2+NF1+NF2）=2■r.令2■r=■，則r=■.故存在這樣的直線，即r=1時，使得△MNF2的內(nèi)切圓半徑最大，此時 r=■.本例就采用了代數(shù)方法解決解析幾何中的最值問題。

在代數(shù)領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等思維活動都離不開化歸方法。在數(shù)學(xué)抽象方面，將現(xiàn)實情境中的實物概念抽象為數(shù)學(xué)概念，把具體問題高度概括為數(shù)學(xué)問題，沒有化歸思想的應(yīng)用簡直不可想象?；瘹w思想通過高度抽象，抓住事物的本質(zhì)特征，實現(xiàn)以簡馭繁、以質(zhì)代象的過渡功能。在邏輯推理方面，不論是從一般到特殊的推理，還是從特殊到一般的推理，都要有化歸方法作為媒介。在數(shù)學(xué)運算方面，公式的化簡、方程的降冪、不等式的求解，算式之間的恒等變形等都要依賴于化歸方法。例如，等差數(shù)列的累加法，等比數(shù)列的累乘法、迭代法，數(shù)列求和中的裂項相消、錯位相減、分解組合、倒序相加等。特別地，向量是近代數(shù)學(xué)中的一項偉大發(fā)明，集幾何與代數(shù)于一身，是打通幾何、代數(shù)與函數(shù)的一個重要工具，也是化歸思想在形與數(shù)之間轉(zhuǎn)換的重要體現(xiàn)。所以，在一定條件下，幾何與代數(shù)、數(shù)與形可以進行互化，幾何問題代數(shù)化，代數(shù)問題幾何化，其中互化的工具就是化歸方法。

三、在概率與統(tǒng)計中的應(yīng)用策略：化隱為顯

在人類和大自然的相處中，面對自然界的風(fēng)云變幻，人類積累了許多關(guān)于天文星相、地理氣候的知識，這些知識蘊藏了概率與統(tǒng)計理論的雛形。隨著人類對天文地理研究的深入，自覺地以概率為基礎(chǔ)，對隨機現(xiàn)象進行統(tǒng)計分析，并利用統(tǒng)計分析對隨機現(xiàn)象作出符合規(guī)律的解釋，并作出預(yù)測。

例4.已知某加工廠至多安裝三臺機器，在過去若干年間，該加工廠的進貨量都在40萬件以上，超過120萬件的月份有5個，不超過120萬件且不少于80萬件的月份有35個，少于80萬件的月份有10個。加工廠安裝的機器最多可運行臺數(shù)受進貨量n限制，當(dāng)40120時，機器運行3臺。若某臺機器正常運行，那么這臺機器月利潤為5000萬元，若某臺機器未運行，那么這臺機器會折舊虧損800萬元，問欲使加工廠月利潤均值達到最大，則應(yīng)安裝機器幾臺？

解析：將上述月進貨量在三段的頻率作為對應(yīng)段的概率，假設(shè)每月進貨量相互獨立。那么欲求這個加工廠總利潤均值的最大值，需要將現(xiàn)實情境轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)情境，將隱性條件轉(zhuǎn)化顯性條件，并進行簡化討論才行，記年總利潤為W，按照加工廠安裝機器的臺數(shù)進行逐一轉(zhuǎn)化：①當(dāng)加工廠安裝一臺機器時，因為n恒大于40，這臺機器正常運行概率為1，對應(yīng)的W=5000故均值利潤為E（W）=1×5000=5000.②當(dāng)加工廠安裝兩臺機器時，若月進貨量在n≥80時，此時有兩臺機器運行，對應(yīng)的W=5000×2=10000，概率P（W=10000）=■=0.8;若進貨量在40120時，此時有三臺發(fā)電機運行，對應(yīng)的W=15000，概率P（W=15000）=■=0.1;若月進貨量在80≤n≤120時，此時有兩臺運行，對應(yīng)的W=9200，概率P（W=9200）=0.7;若月進貨量在40

早期的概率通過游戲、試驗以及觀察等方式進行轉(zhuǎn)換，以此來估算隨機事件發(fā)生的可能性。根據(jù)試驗出現(xiàn)的有限與無限，概率分為古典概型和幾何概型。古典概型將概率的運算轉(zhuǎn)化為分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理、排列與組合等方式的運算。幾何概型將概率的運算轉(zhuǎn)化為隨機事件對應(yīng)的幾何度量（長度、面積、體積等）的運算。在統(tǒng)計分析中，隨機事件發(fā)生可能性大小的度量轉(zhuǎn)化為隨機變量刻畫隨機試驗的結(jié)果，利用列聯(lián)表、散點圖、微積分、回歸分析、獨立性檢驗等數(shù)學(xué)工具研究隨機現(xiàn)象。

四、建模探究中的應(yīng)用策略：以數(shù)明理

現(xiàn)實情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)就在于生活情境與數(shù)學(xué)原理具有相通性，借助同義轉(zhuǎn)換、意義建構(gòu)、表征規(guī)范等手段可將情境問題數(shù)學(xué)化，從而實現(xiàn)數(shù)學(xué)問題之間的相互轉(zhuǎn)化?；瘹w的實施依賴于數(shù)學(xué)問題的等價性、數(shù)學(xué)形式的可變性、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的規(guī)范性以及數(shù)學(xué)要素的關(guān)聯(lián)性。在情境問題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題的過程中，需要引入某些合理的輔助元素，適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)符號，需要具備系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識，靈活的數(shù)學(xué)思維。建模探究需要關(guān)注方案與思路的獲得。波利亞認(rèn)為，教師能為學(xué)生所做的最好的事情就是通過不顯眼的幫助，引導(dǎo)學(xué)生獲得一個好的思路，一個好的解決問題的方案。首先，需要將情境問題化歸為規(guī)范的、熟悉的數(shù)學(xué)問題，建構(gòu)具有一般意義的化歸目標(biāo)。其次，對數(shù)學(xué)問題進行轉(zhuǎn)換、嫁接、遷移、變更等操作，建立數(shù)學(xué)模型，實現(xiàn)從復(fù)雜到簡單、從抽象到具體、從陌生到熟悉、從雜亂到條理的轉(zhuǎn)化。最后，將探究結(jié)果回歸生活，回歸現(xiàn)實，給予數(shù)學(xué)意義上的解釋、評價。

例5.假定有50萬本金，現(xiàn)將這筆本金進行短期投資，貨幣市場有3種投資形式，請給出你的選擇。理財產(chǎn)品1號：每天獲利50元;理財產(chǎn)品2號：第一天獲利5元，以后每天比前一天多獲利15元;理財產(chǎn)品3號：第一天獲利0.4元，以后每天獲利是前一天的2倍。

解析：先將理財情境轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)情境，建立三種投資方案適用的函數(shù)模型，通過數(shù)學(xué)運算與推理，為合理選擇投資方案提供具體數(shù)據(jù)支撐。產(chǎn)品1號是一個常函數(shù)模型，即y=50，x∈N*;產(chǎn)品2號是一個一次函數(shù)模型，即y=15x-10，x∈N*;產(chǎn)品3號是一個指數(shù)型函數(shù)模型，即y=0.4×2x-1，x∈N*.

通過比較可知，如果投資不超過6天，購買1號產(chǎn)品;如果投資不超過11天，購買2號產(chǎn)品;如果投資12天及以上，購買3號產(chǎn)品。本例是生活中常見的投資理財問題，將投資產(chǎn)品的收益問題類化為幾個函數(shù)模型的增長問題。通過對幾個不同類型函數(shù)的認(rèn)識與理解，感知不同函數(shù)模型的增長變化速度，從而選擇合理的投資方案。布魯納認(rèn)為，最好的學(xué)習(xí)方法是發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)。發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)過程離不開獲得、轉(zhuǎn)化與評價，化歸方法的應(yīng)用就是一個發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)活動的重要載體。化歸方法在數(shù)學(xué)建模和探究學(xué)習(xí)活動中有廣泛的應(yīng)用，所以借助化歸可以把生活中遇到的新問題轉(zhuǎn)換為熟悉的、相對簡明的數(shù)學(xué)問題。

綜上所述，從認(rèn)識論角度，化歸思想是人類根據(jù)事物普遍聯(lián)系和矛盾運動規(guī)律，以運動、變化、發(fā)展的眼光認(rèn)識世界。從方法論角度，化歸思想是改造世界的一種重要方法，其本質(zhì)屬性是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)，把陌生復(fù)雜的情境問題轉(zhuǎn)化為熟悉簡單的情形，并利用已有的成果或相對容易解決的辦法，將其歸結(jié)為相對簡明的模型加以解決。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，合理地將情景問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，實現(xiàn)幾何與代數(shù)的互化，從而提高學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和興趣。

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