0教育研究與評論小學教育教學/2019年第9期獨家策劃0【主持人語】目前，很多國家把數(shù)學表達能力的培養(yǎng)作為數(shù)學教育的重要指標之一。雖然課標中提出了“清晰地表達自己的想法”等培養(yǎng)目標，但是，一線教師對數(shù)學表達的認識還不夠清晰，對課堂教學中夯實、提升兒童數(shù)學表達能力的策略、技巧的操作、運用也相對模糊，因此，迫切需要理念引領和實踐指導。本期《獨家策劃》欄目的四篇稿件，聚焦“數(shù)學表達”主題，對其內(nèi)涵、價值、特征等進行研究，不僅嘗試基于調(diào)查分析提出培養(yǎng)數(shù)學表達能力的策略和工具，而且結合具體案例給出在課堂教學層面培養(yǎng)數(shù)學表達能力的具體方法和路徑，如關注慢熱型表達和在教學細節(jié)中培養(yǎng)數(shù)學表達能力等。

——陳靜

摘要：數(shù)學表達不僅是促使數(shù)學理解、數(shù)學思考走向深入的有效途徑，更是深度學習的重要支撐，承載著分享觀點、提升認識、發(fā)展能力的重要使命。數(shù)學表達的學科特征有準確、簡約，條理、邏輯，獨創(chuàng)、深刻;主要維度有自我闡釋、匯報交流、討論質疑、理性思辨;關鍵內(nèi)核是思維發(fā)展。培養(yǎng)學生數(shù)學表達能力的策略、方法與工具包括：提供范式，明確表達要求;營造氛圍，鼓勵表達愿望;創(chuàng)設情境，驅動數(shù)學表達;突出對象與方式，豐富數(shù)學表達;關注傾聽，支撐數(shù)學表達;提出質疑，深化數(shù)學表達;強化反思，完善數(shù)學表達。

關鍵詞：數(shù)學表達深度學習關鍵能力

數(shù)學，是一門讓人變得“嚴謹、縝密、有邏輯”的學科。數(shù)學學習的每一次思考，都蘊含著個體的數(shù)學理解。這些個性化見解，通過數(shù)學表達進行傳遞。這就意味著學生可以借助數(shù)學表達，互相理解彼此的想法和意見，并且通過對話交流，分享學習過程，借鑒學習經(jīng)驗，深化數(shù)學理解;教師則可以通過數(shù)學表達，對學生的學習狀況進行分析、判斷，從而對其施以有效的學習幫助?！皟A聽”“思考”“表達”這幾個數(shù)學學習的重要維度，你中有我，我中有你，彼此關聯(lián)，密不可分，呈現(xiàn)為一種閉環(huán)結構。其中，“表達”作為“傾聽”與“思考”的外顯形態(tài)，不僅是增進個體數(shù)學理解、交流同伴數(shù)學認識的重要途徑，更是支持數(shù)學深度學習、發(fā)展數(shù)學高階思維的重要渠道。由此可見，培養(yǎng)數(shù)學表達能力是數(shù)學教學的核心任務，培養(yǎng)學生有思考、有道理、有深度的數(shù)學表達應成為數(shù)學教育的追求目標，成為數(shù)學核心素養(yǎng)落地生根的關鍵支柱。

一、追問：數(shù)學表達的內(nèi)涵、意蘊與價值

提及培養(yǎng)表達能力，人們通常會覺得這是文科教學的要求和任務。這種片面的認識也無可厚非：語文教學四大關鍵任務——“聽”“說”“讀”“寫”，無一不與表達相關?！氨磉_”一詞通?？梢赃@樣理解：“是將思維所得的成果用語言、語音、語調(diào)、表情、動作等方式反映出來的一種行為。它以交際、傳播為目的，以物、事、情、理為內(nèi)容，以語言為工具，以聽者、讀者為接收對象?！笨梢?，表達是把個體思維加工得到的對事物或問題的認識，通過外顯的方式傳遞給他人，進行溝通與分享的一種行為。表達，一方面具有鮮明的個性特征，因為它是個體思維的產(chǎn)物;另一方面也具有公眾性，因為它是為了與他人交流和溝通。

如何定義數(shù)學表達？近年來，隨著對學生數(shù)學表達能力研究的不斷升溫，國內(nèi)外學者也提出了關于數(shù)學表達的不同觀點，以下嘗試舉出一些具有代表性的：

美國雪城大學教育學院院長路易絲·威爾金森這樣解釋“數(shù)學表達”：“是學生使用語言的多種表達方式，包括說話、書寫、傾聽、閱讀等。數(shù)學表達不同于普通的語言表達，它使用的是一系列特定的數(shù)學詞匯，如直徑、斜邊、垂直等……數(shù)學詞匯很特殊，對問題的解釋方式也是唯一的、不可替代的，這些都是數(shù)學表達的特點?！?/p>

王郢等人將“數(shù)學表達與交流能力”定義為：“將規(guī)范科學的數(shù)學語言靈活運用于個人言語，用最簡明的能指表達內(nèi)涵更為豐富的所指的能力。其中，數(shù)學語言包含數(shù)學符號、數(shù)學模型、數(shù)學圖形語言，數(shù)學言語方式包括書面與口頭方式，表達的對象包括內(nèi)部的、自我的表達和外部的、對他人的表達?！?/p>

王珍等人將“數(shù)學表達”定義為：“將自己對數(shù)學的理解或在解決數(shù)學問題過程中的觀點、思想、方法、過程等準確、流暢、有條理地運用恰當?shù)男螒B(tài)表征出來的過程。這里的形式可以是語言（包括身體語言），也可以是文字、圖形、符號等。”

潘小福將“數(shù)學表達”定義為：“以數(shù)學語言表達數(shù)學思維。數(shù)學語言可以歸結為文字語言、符號語言和圖形語言三類，而數(shù)學表達正是以這些語言形式為載體進行的書面語言活動或口頭語言活動。”

綜合以上觀點不難發(fā)現(xiàn)，它們的表述方式或重點略有區(qū)別，但是對數(shù)學表達的理解則有如下趨于一致的共同特征：

1.表征數(shù)學思維。數(shù)學表達是一種交流與分享方式。個體在數(shù)學學習過程中產(chǎn)生的認識、觀點，解決問題的思路、方法等都可以通過一定的外顯形式進行傳遞，因此，數(shù)學表達蘊含著鮮明的個性特征，傳遞了個體的數(shù)學思考。

2.以數(shù)學語言為主要載體。數(shù)學表達是用語言傳遞思維，因此，在一般表達的基礎上，更重要的是用符號、文字（書面或口頭）、圖形、表格等形式的數(shù)學語言展現(xiàn)數(shù)學思維。數(shù)學表達的過程，其實就是靈活運用數(shù)學語言并發(fā)展數(shù)學思維的過程。

3.支持深度學習。數(shù)學表達是將個體學習的所思所想，通過不同的表征形式分享、交流。這樣的學習過程中有傾聽、有思考、有評價、有質疑、有反思、有修正……因此，數(shù)學表達本身就是深度學習，不僅體現(xiàn)出理解性學習的特征，也蘊含著元認知思維、批判性思維、創(chuàng)造性思維等高階思維的生長。

4.培養(yǎng)表達能力。數(shù)學表達培養(yǎng)的是學生熟練、靈活地運用數(shù)學語言表達數(shù)學思維的一種重要能力，是數(shù)學學科的關鍵能力。

可見，數(shù)學表達不僅是促使數(shù)學理解、數(shù)學思考走向深入的有效途徑，更是深度學習的重要支撐，承載著分享觀點、提升認識、發(fā)展能力的重要使命。通過表達有意識地培養(yǎng)學生的高階思維能力，促使其有主次、有順序、有邏輯地展開數(shù)學思考，學會多種方式表征，并能清晰、準確、連貫地向他人表達自己的觀點;同時，在表達的過程中，通過分享他人意見，學會對不同觀點分析判斷、概括歸納，進行批判性思考，從而調(diào)整、修改、完善原有的數(shù)學認識。

二、探索：數(shù)學表達的特征、維度與內(nèi)核

2019年6月3日，在“求真悟道”2019全國小學數(shù)學教育論壇現(xiàn)場，展開了一場關于“數(shù)學表達”的深度研討：通過切片掃描式的名師課堂研究以及參與卷入式的沙龍討論，圍繞核心話題，對數(shù)學表達的特征、維度與內(nèi)核等進行了全面而深入的探索與思考。

（一）尋找關鍵詞：探討數(shù)學表達的學科特征

“數(shù)學，需要怎樣的表達？”這個話題，聚焦于探索數(shù)學表達的獨有特征。所有的表達都離不開語言，語言作為通用的表達載體和工具，必然具有普遍性，但是，作為一門以培養(yǎng)學生理性思維為重要目標的教育學科，數(shù)學表達理應擁有學科特征，需要重點關注對發(fā)展學生思維和凸顯學科本質的追求。

1.準確、簡約。

數(shù)學表達更要關注表達內(nèi)容的確定性，比如，觀點是否明晰，論點是否確定，結論是否準確等;數(shù)學表達更多地借助于數(shù)學語言傳遞信息，因此，數(shù)學語言所具有的簡約、精練、抽象、嚴謹?shù)忍卣饕渤蔀閿?shù)學表達的獨有特點。課堂教學中，教師要有意識地幫助學生準確、靈活、熟練地使用數(shù)學語言（符號、文字、圖表等）表達數(shù)學知識、解題方法、思考過程等，并熟練地進行日常語言和數(shù)學語言的切換;幫助學生捕捉數(shù)學語言中蘊含的豐富數(shù)學信息，充實數(shù)學語言詞庫，從而提高數(shù)學表達能力和水平。例如，教學“確定位置”，隨著所學內(nèi)容的不斷深入，教師應該要求學生嘗試運用多種數(shù)學語言，準確描述物體在平面內(nèi)的具體位置。如對于班級中某個學生的座位，可以用文字描述，如“第5排第2個”;可以用數(shù)對描述，如“（5，2）”;可以畫方格圖用平面上的點表示;還可以用方向、角度、距離描述;等等。

2.條理、邏輯。

數(shù)學表達還需要關注闡述內(nèi)容的合理性，即要有順序、有條理、符合邏輯。數(shù)學表達不同于日常表達，更加重視運用數(shù)學語言進行有序、有理的邏輯論述。舉例來說，作為日常生活中的概念，人們只要知道某個面的形狀是長方形即可，并不需要知道長方形更深層次的性質和特征;而作為數(shù)學表達，則不僅要從直觀層面明確長方形的性質和特征，更需要從抽象層面把握長方形的性質和特征，比如“四個角都是直角”“對邊平行且相等”;隨著學習內(nèi)容的加深，表達的層次也應該更加深入，比如“有一個角是直角的平行四邊形”“對角線相等且互相平分的四邊形”“長方形是軸對稱圖形”，從而能夠熟練運用這些性質和特征準確判斷并識別長方形。因此，數(shù)學表達更強調(diào)“言”之有序、“言”之有理、“言”之有道。這種關鍵能力需要教師持之以恒地加以培養(yǎng)。而小學生正處于具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的關鍵時期，對其數(shù)學表達能力的要求應該根據(jù)年齡階段的特點循序漸進，逐步養(yǎng)成。

3.獨創(chuàng)、深刻。

美國國家研究理事會（National Research Council）在2012年的報告中，提出了促進深度學習的六大策略，其中一條為鼓勵闡述、質疑和自我解釋。可見，獨創(chuàng)、深刻的表達是走向深度學習的重要途徑。數(shù)學表達，首先強調(diào)自我思考、自我闡述、自我解釋，其次重視伙伴之間的交流、討論、質疑、爭辯。通過自我思考，通常會產(chǎn)生獨特、原創(chuàng)的個人觀點，而通過彼此意見的交流碰撞，則會對個人觀點產(chǎn)生補充、調(diào)整和完善，促進認識深入。因此，思維的獨創(chuàng)性和深刻性也是數(shù)學表達的顯著特征。

（二）發(fā)現(xiàn)落腳點：厘清數(shù)學表達的主要維度

厘清數(shù)學表達的維度，有助于教師在教學中找準培養(yǎng)數(shù)學表達能力的落腳點。從數(shù)學表達的層次劃分來看，主要有以下四個維度：（1）自我闡釋，指學生解釋思考過程，闡釋觀點、結論等，這個維度的表達主要是將個體的想法傳遞給別人;（2）匯報交流，指學生在一定范圍內(nèi)通過表達進行交流，可以是小組交流、大組匯報等，這個維度的表達主要是分享、溝通、理解彼此思考的過程;（3）討論質疑，指在匯報交流后，學生對不同觀點之間的比較與評價，這個維度的表達更重視在自我思考的基礎上，結合不同的觀點產(chǎn)生新的想法，是引發(fā)深度思考的重要一環(huán);（4）理性思辨，指在討論質疑后，學生通過思考和判斷，重新生成對數(shù)學問題的深度認識，這個維度的表達往往伴隨著高階思維（如元認知思維、批判性思維、創(chuàng)造性思維等）的產(chǎn)生。

（三）明確發(fā)力點：聚焦數(shù)學表達的關鍵內(nèi)核

誠如斯托利亞爾所言：“數(shù)學教學也就是數(shù)學語言的教學?！睆哪撤N角度來看，數(shù)學教學的過程其實就是幫助學生掌握數(shù)學語言、進行數(shù)學表達的學習過程。數(shù)學語言是傳遞數(shù)學理解、交流數(shù)學思考的載體和工具。而數(shù)學表達是一種基于學習理解和數(shù)學思考并以數(shù)學語言為重要載體的交流與對話，其關鍵內(nèi)核是其中蘊含的思維發(fā)展。因此，數(shù)學表達是有思考、有道理、有深度的表達。抓住思維發(fā)展的關鍵內(nèi)核，就抓住了培養(yǎng)數(shù)學表達能力的發(fā)力點，有助于教師知道在什么地方需要花時間、值得下功夫。這樣的認識將改變教師教學的理念和行為。例如，他們會更重視考查學生對數(shù)學問題的理解和解決問題的思考過程，通過不同形式的數(shù)學表達了解學生是否真正掌握了數(shù)學知識，以及能否靈活遷移應用等。因此，他們會更重視問題答案背后隱含的數(shù)學思考，會更多地采用“表達出你的思考過程，并且想辦法讓別的同學聽明白”或者“你是如何理解的？請嘗試用不同方式表達你的想法”等提問方式，進行數(shù)學表達能力的針對性訓練和培養(yǎng)。

三、嘗試：培養(yǎng)數(shù)學表達能力的策略、方法與工具

蘇聯(lián)教育家馬卡連柯說過：“只有學會在臉色、姿態(tài)和聲音的運用上做出20種風格韻調(diào)的時候，我才變成一個真正有技巧的人?！笨梢姡哉Z表達是有技巧的，而作為溝通理解、交換思考的數(shù)學表達則更需要教師的刻意培養(yǎng)和巧妙引導。如何在日常教學中利用有限的教學時間培養(yǎng)學生的數(shù)學表達能力？有哪些策略、方法和工具？在“求真悟道”2019全國小學數(shù)學教育論壇現(xiàn)場，張齊華、羅鳴亮、吳賢等名師圍繞此話題展開了深度研討，并給出了培養(yǎng)學生數(shù)學表達能力的實用策略、方法和有效工具。

（一）提供范式：明確表達要求

數(shù)學表達既含有個性表達特征，又需要注意共性表達規(guī)范?；诖?，教師可以提供數(shù)學表達的規(guī)范樣例，可以是教師示范或學生榜樣;尤其是對一些較難掌握的數(shù)學表達，教師需要反復使用數(shù)學語言，給出表達樣式，明確表達要求，再組織學生充分展開交流，強化數(shù)學表達。例如，張齊華老師非常擅長通過巧妙的引導把表達的要求和方式傳遞給學生，他經(jīng)常這樣說：“孩子們，通過思考你們已經(jīng)有了自己的想法，你們更愿意立刻表達自己的觀點，還是更愿意先和身邊的小伙伴交流一下，以確保彼此對這個問題都有明確的認識？”“表達的時候，別光顧著自說自話，要想方設法讓別的同學能聽懂并理解你的想法哦！”“辯論的時候，不能光顧著說自己觀點正確，而要說出支撐自己觀點的主要論據(jù);也不能憑空說對方觀點錯誤，而要想辦法找出能證明對方錯誤的理由……”

（二）營造氛圍：鼓勵表達愿望

為培養(yǎng)學生的數(shù)學表達能力，教師在課堂上需要推動對話式學習，嘗試運用一些實用的策略促進生生、師生之間的交流，為學生的數(shù)學表達創(chuàng)設氛圍，鼓勵學生大膽表達自己的想法。有些策略便能夠很好地營造適合表達的交流氛圍。例如，朱國榮老師教學《抽屜原理》一課時，在學生展開交流之前，意味深長地提醒他們：“既要大膽表達自己的想法，同時又要善于傾聽和吸納別人的觀點。不過更要注意的是，個人的想法可能會帶有偏見，交流之后可能會形成共識，也可能還會保留不同的意見，但是只要有道理，就是好的表達。”短短幾句話，不僅鼓勵學生勇于表達，同時也巧妙提出了注意傾聽、尊重他人觀點、選擇性吸納的要求，營造了數(shù)學課堂理性表達的良好氛圍。

（三）創(chuàng)設情境：驅動數(shù)學表達

良好的數(shù)學表達應該是基于任務驅動的，因此，創(chuàng)設良好的問題情境是喚起學生數(shù)學表達愿望的重要前提。驅動數(shù)學表達的任務情境有三個要素：（1）前置性表達要求，即在任務活動開始前，要明確表達主題，提出表達要求，并給予一些提示和建議，如“表達時要準確清晰，確保大家能聽懂你的想法;其他同學認真傾聽，努力聽懂別人的表達，并和自己的方法進行比較，然后對不同的觀點進行比較和調(diào)整”;（2）嵌入性表達任務，即將表達、交流的任務嵌入任務情境中，引導學生在解決問題的過程中，梳理自己的思考，開展匯報交流;（3）反思性表達總結，即在問題解決后，還要關注對表達內(nèi)容、過程和效果的評價，如“你聽懂他的表達了嗎？對他的表達，你有怎樣的評價？”“聽了同學的表達后，你對自己的觀點進行了哪些調(diào)整？”等。對表達的反思和總結不僅有助于學生掌握表達的方式、技巧，取長補短，培養(yǎng)表達能力，也是提升學生元認知思維的重要一環(huán)。例如，張齊華老師教學 瘙 爯 圖形中的秘密 瘙 爲 一課時，以環(huán)環(huán)相扣的任務（見圖1、圖2和下頁圖3）驅動學生進行持續(xù)而深入、有思考且有價值的數(shù)學表達。

（四）突出對象與方式：豐富數(shù)學表達

數(shù)學表達的對象是多維的：可以是對自我的表達，也可以是對他人的表達;可以是獨立思考的內(nèi)部表達，也可以是傳遞思想的外部表達。數(shù)學表達的方式也是多樣的：可以是操作學具的直觀表達，可以是通過演算獲得結論的數(shù)據(jù)表達，也可以是借助推理進行思維的邏輯表達，還可以是利用符號、圖表的抽象模型表達等。教學中，教師要提供內(nèi)容多樣的表達載體，創(chuàng)設多層次的表達任務，讓學生通過充分的實驗、操作、討論、交流等活動，豐富表達的對象與方式，培養(yǎng)目中有人、心中有理、言之有據(jù)的高層次數(shù)學表達能力。

（五）關注傾聽：支撐數(shù)學表達

良好的表達離不開專注的傾聽。這種專注需要集中思想，聆聽別人的表達并及時轉化為自己的思考。有效的傾聽需要一定的技巧：保持安靜，眼神和耳朵都專注于發(fā)言者;并且，在傾聽的同時，對內(nèi)容有一定的思考;此外，一邊傾聽一邊可以思考更多的問題，如“我真的聽懂他的表達了嗎？”“他的觀點和我的有何不同？他這樣思考有道理嗎？”“這些觀點我是否全部認同？”等。與表達相關聯(lián)的傾聽往往更有針對性，更有利于深入的思考。

（六）提出質疑：深化數(shù)學表達

思維發(fā)展的路徑，無非是兩條，即“質疑”和“釋疑”。質疑是起始，也是關鍵。質疑是一種非常好的表達方式，通過質疑可以了解別人的想法，對比自己的觀點，找出彼此觀點的相同、差異甚至相悖之處，并激勵自己進行更為深入的思考。因此，教師不僅要善于提出優(yōu)質問題，更要鼓勵學生大膽質疑，不斷利用問題激發(fā)思維，在質疑、討論、表達、釋疑的過程中，引領深度學習，提升表達能力。

（七）強化反思：完善數(shù)學表達

課堂教學中，教師更希望借助表達形成一種有利于學生思維發(fā)展的創(chuàng)造性對話氛圍。為達到這一目標，需要不斷引導學生關注表達，并學會對自己或他人的表達進行反思。這樣一些提問可以引導學生對表達進行深度思考：“聽完幾位同學的表達，你覺得他們的觀點有相同之處嗎？不同之處又在哪里？”“如果讓你對他的回答進行加工，你能比他表達得更準確、更有條理嗎？”“你如何評價他的表達？”……小學生數(shù)學表達的元認知能力較弱，因此，不僅要培養(yǎng)他們的數(shù)學表達能力，更要讓他們學會對比表達、評價表達、反思表達，從而不斷提高數(shù)學表達的水平。

參考文獻：

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