丁愛平

摘要：聆聽了華應(yīng)龍老師執(zhí)教的《問題解決》一課，引發(fā)了對(duì)“表達(dá)”的辯證思考，認(rèn)識(shí)了一種獨(dú)特的數(shù)學(xué)表達(dá)——慢熱型表達(dá)。表達(dá)是師生以及生生之間心靈交往的思維工具，慢熱型表達(dá)是不容忽視的學(xué)習(xí)樣態(tài)，其根本成因在于：收集和處理信息的能力較弱;策略性知識(shí)的儲(chǔ)備與靈活調(diào)用的能力比較欠缺。讓慢熱型表達(dá)的學(xué)生很好地表達(dá)，需要質(zhì)疑問難，讓表達(dá)具有針對(duì)性;負(fù)責(zé)任地交流，讓表達(dá)具有實(shí)效性;自由釋放，讓表達(dá)具有獨(dú)創(chuàng)性。讓不愛表達(dá)的學(xué)生慢熱起來，可以平衡兩極， 優(yōu)化學(xué)習(xí)的心理場(chǎng);尊重靜默，欣賞兒童的慢生長(zhǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)表達(dá)慢熱型表達(dá)問題解決

一節(jié)公開課，如果學(xué)生沒有酣暢淋漓、驚艷全場(chǎng)的表達(dá)，反而有點(diǎn)慢、有點(diǎn)冷，你怎么看？2019年6月2日，在“求真悟道”2019全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教育論壇上，我聆聽了華應(yīng)龍老師執(zhí)教的《問題解決》一課，引發(fā)了對(duì)“表達(dá)”的辯證思考，認(rèn)識(shí)了一種獨(dú)特的數(shù)學(xué)表達(dá)——慢熱型表達(dá)。

一、既然想表達(dá)，為何要憋著？

【教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)1】

（課始，教師出示一道對(duì)五年級(jí)的學(xué)生來說比較難的題目——徒弟：師父，您多大了？師父：我在你這年紀(jì)時(shí)，你才5歲;但你到我這年紀(jì)時(shí)，我就71歲了！請(qǐng)問：徒弟幾歲？師父幾歲？所有學(xué)生開始嘗試解答，有些學(xué)生寫寫又劃掉。大約三四分鐘后，兩個(gè)學(xué)生興奮地舉手。）

師大多數(shù)同學(xué)都還在思考，你們就已經(jīng)有了答案，真了不起！

（全班鼓掌。）

師能不能先憋著不說？

（學(xué)生點(diǎn)頭。）

師有科學(xué)研究表明，能憋著不說的人將來會(huì)更有成就。

（全場(chǎng)哄堂大笑。）

師為什么呢？因?yàn)樗闹杏兴恕Ｎ蚁嘈?，你們一說，大家肯定都明白了。但是如果不說，就讓大家有了自己思考、發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，下次再碰到類似的問題，大家也就會(huì)了。讓我們感謝他們?yōu)榱宋覀儠簳r(shí)憋著。

……

（介紹完“投石問路”的方法，學(xué)生在黑板上展示完自己的假設(shè)后——）

師什么變了？什么沒變？有什么規(guī)律？我們還能發(fā)現(xiàn)什么？

（不少學(xué)生興奮地舉手。）

師不舉手，不給別人壓力。發(fā)現(xiàn)了的同學(xué)請(qǐng)?jiān)谧约盒厍柏Q個(gè)大拇指。

……

憋著？我要表達(dá)，為什么不給我表達(dá)的權(quán)利？表達(dá)，也需伺機(jī)而動(dòng)？我陷入思考：

（一）表達(dá)的價(jià)值——心靈交往的思維工具

這里所談的“表達(dá)”，是指在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生將自己理解數(shù)學(xué)知識(shí)或解決數(shù)學(xué)問題的觀點(diǎn)、思想、方法、過程等，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)男问綔?zhǔn)確、流暢地表征出來的過程。這里的形式可以是語言（包括身體語言），也可以是文字、符號(hào)或圖形等，力求“想清楚，說明白，寫到位”。它是師生以及生生之間心靈交往的思維工具，能夠幫助學(xué)生合作探究、增智賦能、共同成長(zhǎng)。通過表達(dá)，傳承的應(yīng)該是整個(gè)數(shù)學(xué)文化，而不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)本身。

（二）慢熱型表達(dá)——不容忽視的學(xué)習(xí)樣態(tài)

表達(dá)如此重要，為什么華老師要讓學(xué)生“憋著”呢？誠(chéng)然，每一位學(xué)生都有自由表達(dá)的權(quán)利，但是，華老師不想讓少數(shù)才思敏捷人的表達(dá)覆蓋多數(shù)人慢熱的思考，而要給慢熱型表達(dá)的學(xué)生足夠的時(shí)間，讓他們也能享受到自我發(fā)現(xiàn)、自我挑戰(zhàn)、自我實(shí)現(xiàn)的愉悅。

什么是“慢熱型表達(dá)”？慢熱型表達(dá)，主要表現(xiàn)在學(xué)生的思考進(jìn)程比較慢，不能準(zhǔn)確、流暢、快速地運(yùn)用各種形式表達(dá)自己的想法。不過，只要給足思考和交流的時(shí)空，這類學(xué)生也能獲得進(jìn)一步的數(shù)學(xué)理解和問題解決。事實(shí)上，有很多小學(xué)生屬于慢熱型表達(dá)。但遺憾的是，他們經(jīng)常被表達(dá)能力強(qiáng)的“學(xué)霸”搶占表達(dá)的機(jī)會(huì)，從而逐漸成為“忠實(shí)的聽眾”。教師要重視慢熱型表達(dá)的現(xiàn)象，讓學(xué)生想表達(dá)、能表達(dá)、會(huì)表達(dá)，提升學(xué)生表達(dá)的興趣和能力，真正促進(jìn)每一位學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

老子描述了這樣的境界：“功成事遂，百姓皆謂‘我自然’?！庇谑俏蚁?，小學(xué)生一而再地憋著不說時(shí)，除了等待慢熱的同學(xué)，還可以做什么？既然不能侃侃而談，不妨訴諸筆端，在自由的敘寫中審視、完善自己的思考，使之更有邏輯、更趨理性。由此，表面的“憋”也變成了愉快的“放”。

（三）慢熱型表達(dá)的根本成因及對(duì)策

除了缺乏表達(dá)的一般性工具、技巧之外，慢熱型表達(dá)的根本成因在于：

其一，收集和處理信息的能力較弱。收集和處理信息是數(shù)學(xué)表達(dá)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題呈現(xiàn)給學(xué)生的信息往往是多元的：有時(shí)多而雜，有時(shí)少而精?！秵栴}解決》一課，許多學(xué)生第一次嘗試解題碰壁，低頭無語。華老師說“書讀百遍，其義自見”，啟發(fā)學(xué)生逐句細(xì)讀題干信息，邊讀邊想，破譯難點(diǎn)。學(xué)生逐漸明朗，紛紛開始有了自己的表達(dá)。

其二，策略性知識(shí)的儲(chǔ)備與靈活調(diào)用的能力比較欠缺。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，通常有兩種方式：掌握策略性知識(shí)和記憶結(jié)論性知識(shí)。解決問題的過程中，一些學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)有條理、有依據(jù)，富有見地和創(chuàng)造性，發(fā)揮巨大作用的是其儲(chǔ)備的策略性知識(shí)。慢熱型表達(dá)的學(xué)生通常缺乏策略性知識(shí)儲(chǔ)備，遇到新問題時(shí)，一下子就懵住了，無從表達(dá)。

策略性知識(shí)是關(guān)于“如何學(xué)習(xí)、如何思維”的知識(shí)，是調(diào)節(jié)注意、記憶、思維的知識(shí)?！秵栴}解決》一課，華老師提出的問題中，徒弟和師父的年齡差到底是多少？需要建立兩種聯(lián)結(jié)：一是復(fù)雜抽象的年齡問題和直觀圖式的聯(lián)結(jié)，學(xué)生都有這個(gè)意識(shí);二是建立等量關(guān)系，即在看似割裂的條件間建立關(guān)系，產(chǎn)生一種關(guān)聯(lián)的、內(nèi)聚的知識(shí)合力，學(xué)生在這一點(diǎn)上比較困難。對(duì)此，華老師致力于學(xué)生策略性知識(shí)的發(fā)展，不斷鼓勵(lì)學(xué)生自主探究，帶領(lǐng)學(xué)生利用嘗試與假設(shè)的方法來探尋策略，將其命名為“投石問路”——張景中院士說過，“嘗試與假設(shè)”雖然是一種“笨拙”的辦法，卻是一種大智若愚的方法。而在解決問題后，華老師又引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)反思：“題試三回，定能生慧。”最后總結(jié)：“遇到困難，最重要的是勇敢去試，不等不靠。錯(cuò)了沒關(guān)系，只要不放棄！”

二、如何提高慢熱型表達(dá)的質(zhì)效？

【教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)2】

（對(duì)于課始出示的題目，讓已經(jīng)有了答案的學(xué)生憋著不說后——）

師做這道題碰到什么難處？

生思考的時(shí)間不夠。

生方程列出來了，可是沒解完。

生題目的意思我讀不懂，找不到年齡差。

……

師題目沒有做出來，肯定有很多困惑。像他們這樣，敢于把自己的困惑說出來，非常好，向他們學(xué)習(xí)！

（全班掌聲。）

……

（對(duì)于提問“什么變了？什么沒變？有什么規(guī)律？我們還能發(fā)現(xiàn)什么？”，讓發(fā)現(xiàn)了的學(xué)生在自己胸前豎大拇指后，教師組織學(xué)生前后四人交流。四人小組認(rèn)真交流，有的還在稿紙上演算給同學(xué)看。一個(gè)學(xué)生提出：“我還是不明白為什么是3個(gè)年齡差?！逼渌麑W(xué)生順勢(shì)走到黑板上講解示范。）

如何讓慢熱型表達(dá)的學(xué)生很好地表達(dá)？我繼續(xù)思考：

（一）質(zhì)疑問難，讓表達(dá)具有針對(duì)性

張齊華老師一直倡導(dǎo)，課堂不要太順暢，要有卡頓，讓學(xué)生感覺卡在那里，走不下去。學(xué)生腦海里翻騰著激烈的思想斗爭(zhēng)、頭腦風(fēng)暴，不斷地碰壁、回頭、轉(zhuǎn)換、調(diào)節(jié);學(xué)生盡情地表達(dá)困惑，在表達(dá)中突圍的經(jīng)歷，才是最有品質(zhì)的學(xué)習(xí)。陳靜老師曾中肯地指出，當(dāng)下有的課堂很熱鬧，學(xué)生拿著學(xué)習(xí)單滔滔不絕地說著，但是，沒有質(zhì)疑，沒有矛盾沖突，這樣的學(xué)習(xí)幾乎等于虛假學(xué)習(xí)?！秵栴}解決》一課，“師徒年齡”這道經(jīng)典奧數(shù)題，結(jié)果并不重要，重要的是曲折求索的過程體驗(yàn)。學(xué)生紛紛拋出困惑。這樣的表達(dá)真實(shí)自然，具有很強(qiáng)的針對(duì)性，能極大地促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真實(shí)發(fā)生和深入推進(jìn)。

（二）負(fù)責(zé)任地交流，讓表達(dá)具有實(shí)效性

課堂時(shí)間有限，要讓學(xué)生有更多機(jī)會(huì)表達(dá)，可以組織小組交流。小組交流中，教師要讓學(xué)生負(fù)起責(zé)任，而不能渾水摸魚。這樣才能使得課堂中的數(shù)學(xué)表達(dá)不再是“學(xué)霸”的個(gè)人專利，慢熱型表達(dá)的學(xué)生也能得到更多的表達(dá)機(jī)會(huì)，從而大大提升表達(dá)的積極性和實(shí)效性。羅鳴亮老師執(zhí)教《你知道嗎？》一課，對(duì)于“5的倍數(shù)為什么只看個(gè)位？”這一問題，組織學(xué)生交流后，指著一位女生，提問她的男生同桌：“確定交流了？為什么你舉手了，她沒舉手？是她的責(zé)任還是你的責(zé)任？”這名男生不好意思地說：“我認(rèn)為，我們都有責(zé)任?！痹俅谓涣髦?，剛才沒有舉手的女生也舉起了手。

（三）自由釋放，讓表達(dá)具有獨(dú)創(chuàng)性

鸚鵡學(xué)舌只能培養(yǎng)思想的侏儒，學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)應(yīng)具有屬我性。教師要提供自主思考的空間，讓學(xué)生自由釋放。

例如，我執(zhí)教《初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)（二）》一課，在課前研究單中設(shè)置了問題：（1）我想研究幾分之一？把什么看成一個(gè)整體？（2）畫一畫、分一分、涂一涂，表示出這個(gè)分?jǐn)?shù)。讓學(xué)生用畫圖的方式自由表達(dá)對(duì)幾分之一的理解。學(xué)生的表達(dá)豐富多彩，讓我有了很多優(yōu)秀的教學(xué)資源。

我先同時(shí)呈現(xiàn)圖1—圖4，讓學(xué)生分分類。學(xué)生根據(jù)平均分的對(duì)象不同，分為“一個(gè)物體”和“多個(gè)物體組成的一個(gè)整體”;根據(jù)一個(gè)物體（一個(gè)長(zhǎng)方形）平均分的份數(shù)不同，分為14和18。由此，把零散、單一的數(shù)學(xué)表達(dá)編成富有思維結(jié)構(gòu)的群組，讓學(xué)生在不同維度的分類中聚焦分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。

我再通過圖5、圖6的對(duì)比，指出一個(gè)整體的具體數(shù)量，既可以是常規(guī)思維中的雙數(shù)，也可以是非常規(guī)思維中的單數(shù)，打破了學(xué)生的思維定式。

我又出示了圖7、圖8（見下頁(yè)）。課堂上展開了激烈的思辨。有學(xué)生說：“魚兒有大有小，圓和五角星不是同類圖形，都不能視作一個(gè)整體，是錯(cuò)的?！庇袔讉€(gè)學(xué)生認(rèn)為，只要數(shù)一數(shù)魚的條數(shù)，2條就是8條的14;圓和五角星也是同樣的道理。對(duì)此，有教師認(rèn)為，這兩幅圖不適合在三年級(jí)階段交流，應(yīng)該讓它們淡出學(xué)生視野。而我以為，分?jǐn)?shù)可以表示部分與整體的關(guān)系，是無量綱的數(shù)，即只與整體等分的份數(shù)和取的份數(shù)有關(guān)，與整體大小無關(guān)。這兩個(gè)學(xué)生所表達(dá)的另類思考極具創(chuàng)造性，是可遇而不可求的兒童靈性！因此，不要在意有多少學(xué)生能聽懂，要的就是這樣一種天馬行空的無畏表達(dá)。

此外，圖9讓人忍俊不禁，所表達(dá)的是一種愉快的生活數(shù)學(xué)。這種自由不羈的數(shù)學(xué)表達(dá)只有兒童才有，值得珍視。

我一直在追慕這樣的教學(xué)情境：每一個(gè)學(xué)生都能愉快地用自己靈動(dòng)獨(dú)特的數(shù)學(xué)語言表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)的理解，切換自如，無所畏懼，無可替代，無可限量。

《問題解決》一課，絕大多數(shù)學(xué)生思考無果。困頓之時(shí)，華老師投了一顆“小石子”：介紹了“投石問路”的方法。我在現(xiàn)場(chǎng)想：這顆“小石子”如果是學(xué)生投的，那該多好！對(duì)此，華老師課后也做了反思：“這節(jié)課的表達(dá)方式是我拿出來的。數(shù)軸是最好的嗎？我也不知道，因?yàn)槲覜]有實(shí)踐。學(xué)生在現(xiàn)場(chǎng)那些錯(cuò)亂的表達(dá)是怎樣的？有沒有可能就著學(xué)生的思考原地重建？”遺憾的是，教學(xué)和研討時(shí)間有限，容不得華老師把更多精彩的內(nèi)容完全展開。我以為，從解決問題路徑的客觀性來說，會(huì)有最優(yōu)表達(dá)。不過，數(shù)學(xué)家之所以能攻克一個(gè)又一個(gè)難題，一個(gè)重要的方面是，他們能將問題在各種各樣的數(shù)學(xué)表達(dá)方式之間靈活轉(zhuǎn)換，這些數(shù)學(xué)表達(dá)方式包括文字、符號(hào)、圖形、表格、圖表等。即恰當(dāng)?shù)谋磉_(dá)方式更有助于將問題引上最佳“解決路徑”。這道題的表達(dá)方式有很多種，學(xué)生當(dāng)堂探究的成果不會(huì)很全面。那么，如果課后繼續(xù)思考，學(xué)生會(huì)不會(huì)找到更好的表達(dá)形式？一位專家說得好：“看一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)如何，就看他是否能長(zhǎng)時(shí)間地思考一個(gè)問題，并且執(zhí)著地用自己的方式表達(dá)出來?！奔僖詴r(shí)日，學(xué)生終將瀟灑地投出自己的“小石子”，每一顆“小石子”都有獨(dú)到的表達(dá)。

三、就是不想表達(dá)，又該怎么辦？

我的一位學(xué)生小苗，上課聽講很認(rèn)真。不請(qǐng)她發(fā)言，她神態(tài)自若;請(qǐng)她發(fā)言，她便面色凝重不說話。再鼓勵(lì)也沒用，她還會(huì)哭起來。但是課間，她和同學(xué)們聊得很開心。另一位學(xué)生小安，上課聽講也很認(rèn)真。請(qǐng)他發(fā)言，他會(huì)禮貌地回答“不想”。任我怎么熱情邀請(qǐng)，他都不理。偶爾舉個(gè)手，我如獲至寶，無論他說得怎么樣，都掌聲一片。還有一些成績(jī)優(yōu)異的學(xué)生也抗拒當(dāng)眾表達(dá)，唯恐不完美。

表達(dá)，對(duì)他們而言為什么不是一件愉快的事？這些學(xué)生能慢熱起來嗎？我該怎么辦？我深入思考：

（一）平衡兩極， 優(yōu)化學(xué)習(xí)的心理場(chǎng)

有教師有這樣一種觀點(diǎn)：施壓訓(xùn)練。殘酷的社會(huì)現(xiàn)實(shí)告訴我們，自己不主動(dòng)表達(dá)，沒有人有義務(wù)主動(dòng)發(fā)現(xiàn)你。要給學(xué)生壓力，逼著逼著，他們就會(huì)表達(dá)了。一個(gè)舉重運(yùn)動(dòng)員起初只能舉起50公斤，經(jīng)過訓(xùn)練，最后甚至能舉起100多公斤。

還有教師有另一種觀點(diǎn)：順其自然。低年級(jí)要重視表達(dá)能力的訓(xùn)練;高年級(jí)課堂密度大，不可能拿出大量時(shí)間來訓(xùn)練表達(dá)，那樣效益太低。讓某些學(xué)生自己自在就行了，哪可能個(gè)個(gè)都是外交部發(fā)言人？

斯坦福大學(xué)喬·博勒教授在《流暢無懼》（Fluency Without Fear）一文中發(fā)表研究結(jié)論：有些學(xué)生處于定時(shí)定量的壓力（比如考試）下時(shí)，大腦的記憶區(qū)就會(huì)被堵塞，無法調(diào)用存儲(chǔ)在那里的數(shù)學(xué)常識(shí)，導(dǎo)致焦慮產(chǎn)生，信心不足;記憶堵塞以及焦慮在成績(jī)好的學(xué)生和女生中出現(xiàn)的情況比較多。可以推論，有的學(xué)生在課堂上無法流暢地表達(dá)，出現(xiàn)語言障礙，與環(huán)境的壓力過大造成的記憶堵塞和焦慮有關(guān)。

賁友林老師執(zhí)教《找規(guī)律》一課，被隨機(jī)抽中上臺(tái)展示的5號(hào)學(xué)生最初只能反復(fù)讀學(xué)習(xí)單上的算式，根本無法表達(dá)算式的含義。賁老師始終笑瞇瞇地輕撫著他的肩膀，藝術(shù)地調(diào)動(dòng)其他學(xué)生提供幫助，但又不是和盤托出。一點(diǎn)一點(diǎn)地，5號(hào)學(xué)生的眼睛越來越亮，最終把規(guī)律講得清清楚楚，全場(chǎng)掌聲雷動(dòng)。

周衛(wèi)東老師執(zhí)教《考得怎么樣？》一課，把抽象的平均數(shù)概念歸隱在真實(shí)、親切的QQ聊天記錄和師生現(xiàn)場(chǎng)聊天中，越聊越酣暢，越聊越深入?！斑@個(gè)同學(xué)86分的成績(jī)和平均數(shù)86意思一樣嗎？”“不一樣！”聽課教師座位席傳來一個(gè)孩子的高聲搶答，原來是一個(gè)跟著媽媽來聽課的孩子！如此忘我的表達(dá)，讓全場(chǎng)驚艷。

情動(dòng)而辭發(fā)，春暖花自開。學(xué)生表達(dá)能力的培養(yǎng)，既不能高壓苛訓(xùn)，也不能放任自流。教師需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)安全的、有意思且有意義的數(shù)學(xué)課堂，讓學(xué)生興致盎然地深度卷入其間;和諧嵌入耐心的輔導(dǎo)和必要的練習(xí)，師生心意相通，彼此信賴，彼此喜歡，學(xué)生幽閉的心門便會(huì)慢慢打開。

（二）尊重靜默，欣賞兒童的慢生長(zhǎng)

《問題解決》一課，第一次接觸這道題的聽課教師也畫了好一陣線段圖，要一群毫無準(zhǔn)備的小學(xué)生當(dāng)堂解答這道題，當(dāng)堂領(lǐng)悟4條零散的線段圖可以合并成一條包含“過去、現(xiàn)在、未來”的圖，當(dāng)然有難度。但是，這又有什么關(guān)系呢？能站在旁邊為他人的精彩表達(dá)鼓掌，也很美好。春天里，開得最遲的那朵花也有它的花語。

課尾，“我不是笨小孩”這句話出現(xiàn)在大屏幕的一剎那，所有的學(xué)生獲得了釋然、共鳴、溫暖和力量。課后，一位聽課教師跟隨學(xué)生隊(duì)伍去上廁所，聽到了兩個(gè)學(xué)生交談。“唉！看來我真的很笨，還是沒聽懂?！薄拔乙彩恰ＨA老師PPT上寫了‘我不是笨小孩’，我感覺自己就是笨小孩?！边@位教師心里一驚！隨后，其中一個(gè)學(xué)生說：“華老師總是鼓勵(lì)我們，他真好！我要回家再想想！”另一個(gè)學(xué)生說：“嗯！”兩個(gè)學(xué)生相視一笑。這位教師心里釋然。

總之，學(xué)生的慢熱型表達(dá)蘊(yùn)積著生長(zhǎng)的力量。對(duì)此，表達(dá)的時(shí)機(jī)是關(guān)注全體、充分蓄勢(shì)。課開始有點(diǎn)冷，那是保障自主思考、多元表達(dá)的集體蓄勢(shì)。學(xué)生慢熱，我們要引得巧、等得起！表達(dá)的內(nèi)核是求真與創(chuàng)造。打開知識(shí)之窗，學(xué)生自由地發(fā)現(xiàn)、想象、批判、創(chuàng)造，追尋數(shù)學(xué)的本質(zhì)，生長(zhǎng)兒童的靈性。表達(dá)的背后是尊重靜默。學(xué)習(xí)需要沉潛，成長(zhǎng)也是慢的。尊重靜默就是敬畏生命的本真與自然，我們要看得遠(yuǎn)。

語言屬于時(shí)間，靜默屬于永恒?？傆幸恍〇|西無法表達(dá)，讓我們用心傾聽吧！