張春

摘 要：在解決問題的進(jìn)程中，數(shù)學(xué)常常不是直接解決原問題，而是對問題進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化，直至把它化歸為某個（些）已解決的問題，或容易解決的問題。把所要解決的問題，經(jīng)過某種變化，使之歸結(jié)為另外一個問題*，再通過問題*的求解，把解得結(jié)果作用于原有問題，從而使原有問題得解，這類解決問題的方法，我們稱之為化歸法.。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)化；化歸法；三角函數(shù)

一種好的數(shù)學(xué)解題法能化繁為簡，化難為易；有較強(qiáng)的規(guī)律性；能產(chǎn)生新的"子方法"。"化歸法"就是這樣的方法之一。所謂"化"，指化解或轉(zhuǎn)化：將一個問題化解為幾個小問題；將這類問題轉(zhuǎn)化為另一類問題；所謂"歸"，指歸于最簡單的問題，或歸于原問題，或歸于基本定律定理?；瘹w法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中廣泛地使用到。

今天，高考已經(jīng)成為我們生活中的一件大事.高考不僅僅是一門競技比賽，它同樣是一門藝術(shù)，研究高考就要從歷年的高考試題入手，將其進(jìn)行分類歸納總結(jié)，并通過高考試題窺探高考動向，總結(jié)高考規(guī)律，從而真正的征服高考，把握住自己的命運(yùn).而在數(shù)學(xué)考試中，勝算的最主要因素不只是堅實的基礎(chǔ)，更重要的是建立在一定基本功和能力基礎(chǔ)上的那種做題的“方法和技巧”.

化歸是一種重要的數(shù)學(xué)思想所謂化歸是指將一個生疏、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟知、簡單的問題來處理的一種思維方法.即把所要解決的問題，經(jīng)過某種變化，使之歸結(jié)為另一個問題*，再通過問題*的求解，把解得結(jié)果作用于原有問題，從而使原有問題得解，這種解決問題的方法，我們稱之為化歸法.

化歸法是數(shù)學(xué)家們常用的一種方法，也是數(shù)學(xué)方法論中研究的基本方法之一.實際上，中學(xué)數(shù)學(xué)中，化歸方法的應(yīng)用，無處不在。

近幾年高考已逐步拋棄了對復(fù)雜三角變換和特殊技巧的考查，而重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到對三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，對基礎(chǔ)知識和基本技能的考查上來 .在考查三角公式進(jìn)行恒等變形的同時，也直接考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象的變換，降低了對三角函數(shù)恒等變形的要求，加強(qiáng)了對三角函數(shù)性質(zhì)和圖象的考查力度.三角函數(shù)的命題趨于穩(wěn)定，今后幾年高考可能依然會保持原有的考試風(fēng)格，盡管命題的背景上有所變化，但仍屬基礎(chǔ)題、中檔題、常規(guī) 題.實施新課標(biāo)后，新一輪基礎(chǔ)教育的改革增添了與現(xiàn)代生活和科學(xué)技術(shù)發(fā)展相適應(yīng)的許多全新的內(nèi)容，它們會吸引命題者關(guān)注的目光.

經(jīng)分析，三角函數(shù)試題可以歸納為以下幾種典型題型：

1、三角函數(shù)的概念及同角關(guān)系式

此類題主要考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的符號規(guī)律.解此類題注意必要的分類討論以及三角函數(shù)值符號的正確選取.

例：（全國I卷理2）記 ，那么 （）

評注：本小題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式，并突出了弦切互化這一轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.同時熟練掌握三角函數(shù)在各象限的符號.

2、三角函數(shù)的化簡求值

這類題主要考查三角函數(shù)的變換.解此類題應(yīng)根據(jù)考題的特點(diǎn)靈活地正用、逆用，變形運(yùn)用和、差、倍角公式和誘導(dǎo)公式，進(jìn)行化簡、求值.

例：（重慶文數(shù)15）如題（15）圖，圖中的實線是由三段圓弧連接而成的一條封閉曲線 ，各段弧所在的圓經(jīng)過同一點(diǎn) （點(diǎn) 不在 上）且半徑相等.設(shè)第 段弧所對的圓心角為 ，則 ____________

評注：本題以過同一點(diǎn)的三段圓弧為背景，考查了三角恒等變形中公式逆用的基本技巧，將已知與求解合理轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到有效地求解目的.

3、 的圖象和性質(zhì)

圖像變換是三角函數(shù)的考察的重要內(nèi)容.解決此類問題的關(guān)鍵是理解 的意義，特別是 的判定，以及伸縮變換對 的影響.

例：（全國卷2理數(shù)7）為了得到函數(shù) 的圖像，只需把函數(shù) 的圖像（ ）

（A）向左平移 個長度單位 （B）向右平移 個長度單位

（C）向左平移 個長度單位 （D）向右平移 個長度單位

評注：本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換中的平移變換、伸縮變換，特別是函數(shù) 中的 對函數(shù)圖象變化的影響是歷年考生的易錯點(diǎn)，也是高考的重點(diǎn).

4、三角形中的三角函數(shù)

此類題主要考查在三角形中三角函數(shù)的利用.解三角形的關(guān)鍵是在轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，正確、靈活地運(yùn)用正弦、余弦定理、三角 形的面積公式及三角形內(nèi)角和等公式定理.

例：（天津理數(shù)7）在△ABC中，內(nèi)，B，C的對邊分別是a，b，c，若 ，則A=（）

（A） （B） （C） （D）

評注：解三角形的基本思路角A是利用正弦、余弦定理將邊化為角運(yùn)算或?qū)⒔腔癁檫呥\(yùn)算.

通過恰當(dāng)?shù)厥褂谜?、余弦定理將有關(guān)的邊角確定，從而解決問題。

.5、三角應(yīng)用題

此類題主要考查三角函數(shù)實際應(yīng)用.解決三角應(yīng)用題的關(guān)鍵是認(rèn)真閱讀題目，正確理解題意，運(yùn)用所學(xué)知識建立適當(dāng)?shù)娜悄Ｐ?，?zhǔn)確無誤的計算等.

例：（北京文7）某班設(shè)計了一個八邊形的班徽（如圖），它由腰長為1，

頂角為 的四個等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為（ ）

（A） ；（B）

（C） （D）

評注：本題主要考查解三角形等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想.

6、三角函數(shù)的最值及綜合應(yīng)用

此類問題主要考查三角函數(shù)最值和與三角函數(shù)有關(guān)學(xué)科內(nèi)綜合問題，如與平面向量、不等式、數(shù)列、解析幾何等相結(jié)合。多為解答題。而三角形中三角函數(shù)最值問題仍將是高考的熱點(diǎn).如：

例：（湖南文數(shù)16.）已知函數(shù) .

（I）求函數(shù) 的最小正周期；

（II） 求函數(shù) 的最大值及 取最大值時x的集合.

評注：本小題依托三角函數(shù)化 簡，考查函數(shù)值域，作為基本的知識交匯問題，考查基本三角函數(shù)變換.

分析近年高考試卷，可以發(fā)現(xiàn)，三角解答題多數(shù)喜歡和平面向量綜合在一起，且向量為輔，三角為主.主要可歸結(jié)為以下三類：

一、運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半等公式進(jìn)行化簡求值類.

例13.已知向量

.

（1）若 ，求 的取值范圍；

（2）函數(shù) ，若對任意 ，恒有 ，求 的取值范圍.

二、運(yùn)用三角函數(shù)性質(zhì)解題，通?？疾檎?、余弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性、最值、對稱軸及對稱中心.

例14.若 ，在函數(shù) 的圖象中，對稱中心到對稱軸的最小距離為 ，且當(dāng) 時， 的最大值為1.

（1）求函數(shù) 的解析式；

（2）若 ，求實數(shù)x的值.

例15.已知向量

（1）求 的值；

（2）設(shè)函數(shù) ，求x為何值時， 取得最大值，最大值是多少，并求 的單調(diào)增區(qū)間.

例：設(shè)向量 .

（Ⅰ）求 ；

（Ⅱ）若函數(shù) ，求 的最 小值、最大值.

三、解三角形問題，判斷三角形形狀，正余弦定理的應(yīng)用。

例：已知函數(shù) .

（I）將 寫成 的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標(biāo)；

（II）如果△ABC的三邊a，b，c滿足b2= a c，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時函數(shù) 的值域.

例：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知向量 ，且 .

（1）求角 的大??；

（2）若 ，求角A的值.

總之，三角函數(shù)的小題涉及三角函數(shù)的所有知識點(diǎn)，因此，熟練掌握公式和性質(zhì)是解好小題的必要條件，在日常訓(xùn)練中一定要改掉學(xué)生邊做題邊看公式的壞習(xí)慣.再者，填空題答案書寫的規(guī)范也需反復(fù)強(qiáng)調(diào).

三角函數(shù)解答 題題往往是高考數(shù)學(xué)試卷的第一道解答題，試題難度一般不大，但其戰(zhàn)略意義重大，所以穩(wěn)拿該題12分對文理科學(xué)生都至關(guān)重要.

掌握化歸的思想方法對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有側(cè)重要的意義.總之，化歸的原則是以已知的、簡單的、具體的、特殊的、基本的知識為基礎(chǔ)，將未知的化為已知的，復(fù)雜的化為簡單的，抽象的化為具體的，一般的化為特殊的，非基本的化為基本的，從而得出正確的解答. 化歸法的原則

（作者單位：重慶市萬州第二高級中學(xué)）