武文娟

摘 要：極限是高等數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，是步入高等數(shù)學(xué)殿堂的門檻，學(xué)好極限就為后面的連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、級數(shù)等內(nèi)容奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。本文結(jié)合學(xué)生特點(diǎn)及多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，由數(shù)列極限推廣到函數(shù)極限，由極限的定性描述過渡到精確定義（ε語言），使學(xué)生深刻理解極限的內(nèi)涵。

關(guān)鍵詞：極限;“ε-N”;“ε-δ”;精確定義;描述性定義

極限是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)中幾乎所有的重要概念，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、重積分、級數(shù)等定義都是建立在極限定義的基礎(chǔ)上.極限的定義是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)過程中遇到的第一個(gè)較難理解的概念，多年教學(xué)時(shí)間表明，凡是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)吃力的學(xué)生，多屬于對極限定義理解不透徹，因此正確理解和運(yùn)用極限的定義和極限的思想方法是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，也是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

一、極限定義的發(fā)展史

縱觀極限定義的發(fā)展史，從由來、發(fā)展直到完善，經(jīng)歷了很漫長的時(shí)間。極限的思想可以追溯到古代，它是建立在對無限可分性認(rèn)識的基礎(chǔ)上的，如魏晉時(shí)期劉徽的”割圓術(shù)”、古希臘人的“窮竭法”。16世紀(jì)歐洲生產(chǎn)力的極大發(fā)展為極限思想的發(fā)展提供了社會(huì)背景，起初牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎(chǔ)建立了微積分，后因遇到邏輯困難，在晚期不同程度接受了極限思想。尤其牛頓所運(yùn)用的極限概念已經(jīng)非常接近于極限的直觀性定義，但他們所應(yīng)用的極限概念只是建立在幾何直觀上，并沒有給出嚴(yán)格的極限定義;直到18世紀(jì)，羅賓斯、達(dá)朗貝爾與羅伊里埃等人先后陸續(xù)對極限做出過各自的定義，但都無法擺脫對幾何直觀的依賴。到了19世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家柯西在前人的基礎(chǔ)上提出了極限的描述性定義，但仍保留有幾何和物理的直觀痕跡，為了排除這些直觀痕跡，維爾斯特拉斯提出了極限的靜態(tài)抽象定義（精確定義）。

二、學(xué)生的自身特點(diǎn)

剛步入大學(xué)的學(xué)生，其思想還被高考的壓力禁錮著，還沒有完全適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)方法和教學(xué)方法。高中數(shù)學(xué)主要是計(jì)算，老師教一種方法，學(xué)生只需不斷加以練習(xí)直至掌握。而大學(xué)卻不是這樣，高等數(shù)學(xué)中各種各樣證明超級多，課堂上老師講課速度很快，兩節(jié)課，100分鐘都是老師在講，學(xué)生在下面聽。因?yàn)檎n時(shí)少，加上內(nèi)容又多，老師通常一節(jié)課會(huì)講幾個(gè)知識點(diǎn)，學(xué)生要靠自覺性去消化吸收，整個(gè)知識體系體系也要靠自己去補(bǔ)充完善，大學(xué)沒有老師跟前跟后督促，沒有父母一刻不停的嘮叨，沒有鋪天蓋地的作業(yè)練習(xí)，就要求學(xué)生自發(fā)的學(xué)習(xí)，學(xué)生要學(xué)會(huì)自我管理、自我監(jiān)督，另外相比較其他科目而言，數(shù)學(xué)的學(xué)科性很強(qiáng)，具有很強(qiáng)的抽象性。大部分學(xué)生對數(shù)學(xué)都有畏懼心理，都覺得數(shù)學(xué)很枯燥無味，不愿意學(xué)。并且極限定義的邏輯結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，符號較多，數(shù)量關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，這就導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)極限定義過程中會(huì)出現(xiàn)各種問題。

三、由極限的描述性定義到極限的精確定義

如何處理極限兩種定義的關(guān)系，歷來都是一個(gè)比

較有爭議的問題。因?yàn)槊枋鲂远x易理解但略顯粗糙、不精確，精確定義精確但是學(xué)生難以理解和掌握。究竟采用哪種定義應(yīng)根據(jù)學(xué)生情況做到有的放矢，對于理工科學(xué)生完全可以采用精確定義加深學(xué)生對極限思想的理解。由于學(xué)生在高中階段已經(jīng)學(xué)過極限的描述性定義，因此在教學(xué)過程中只需通過一些具體的實(shí)例，結(jié)合圖形，來加深對描述性定義中的兩個(gè)關(guān)鍵詞“無限趨近”的理解，在此基礎(chǔ)上，我們再進(jìn)一步學(xué)習(xí)極限的精確定義。教學(xué)的關(guān)鍵是如何實(shí)現(xiàn)從極限的定性描述到定量分析。

總之，極限思想是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)，教學(xué)過程中若有意識引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)極限的思想方法，理解極限定義的實(shí)質(zhì)，通過恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法幫助學(xué)生掌握極限的描述性定義和精確定義，以讓學(xué)生在高等數(shù)學(xué)之后的內(nèi)容學(xué)習(xí)中輕松過渡，為學(xué)好高等數(shù)學(xué)墊下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

[1]何天榮，繆彩花.函數(shù)極限分析定義的教法剖析[Z].科技風(fēng)，2018年1月.

[2]李明.淺談高等數(shù)學(xué)中數(shù)列極限概念的教法[N]·讀與寫雜志，2007年3月.

[3]李自勇.例談高職數(shù)學(xué)中極限求法的教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2013年8月.

[4]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社，2014年7月.

[5]鄭平.高等數(shù)學(xué)中極限概念教法探討[J].甘肅高師學(xué)報(bào)，2006年第2期