毛正燕

我國(guó)大數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：“數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事非。”此言一針見(jiàn)血地點(diǎn)出了“數(shù)形結(jié)合”的重要性，也簡(jiǎn)明而深刻地闡釋了“數(shù)”與“形”的內(nèi)在關(guān)系。作為高中數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)學(xué)思想之一，數(shù)形結(jié)合在很多高考真題中有著重要應(yīng)用。本文擬先對(duì)高中階段數(shù)學(xué)結(jié)合思想作簡(jiǎn)要概述，而后結(jié)合2018貴州省考卷（即2018全國(guó)卷3）中的典型題例探討數(shù)學(xué)結(jié)合思想的具體應(yīng)用，希望對(duì)相關(guān)教學(xué)工作者有所啟示。

一、 高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想簡(jiǎn)述

所謂數(shù)形結(jié)合，概括來(lái)說(shuō)即為按照數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)順利解決問(wèn)題，其作用和優(yōu)勢(shì)主要是在于通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”簡(jiǎn)化較為復(fù)雜的思維量和運(yùn)算量較大的問(wèn)題，從而大大提高解題效率和正確率。通常來(lái)說(shuō)，在高中數(shù)學(xué)解題中涉及數(shù)形結(jié)合的情形主要包括：包含實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；包含函數(shù)與圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系；包含曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；以幾何元素和幾何條件為背景建立起來(lái)的概念如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯意義。在日常教學(xué)中，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的能力，在解題過(guò)程中做到“胸中有圖，見(jiàn)數(shù)想圖”，最終順利而高效地得到正確答案。以下我們結(jié)合高考題例對(duì)此進(jìn)行較為具體的探討。

二、例談數(shù)形結(jié)合思想高考真題解題中的應(yīng)用

例1：函數(shù)f（x）=cos（3x+π/6）在[0，π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）。

該題為2018理科全國(guó)卷3中的第15題，難度不大，但較具典型性，主要考察三角函數(shù)圖像性質(zhì)與函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的結(jié)合。在不同的解法中，除了數(shù)形結(jié)合思想外，也體現(xiàn)了方程思想、換元轉(zhuǎn)化思想、方程思想。我們先來(lái)看該題的三種基本解法：

解法一：取點(diǎn)作圖，畫出函數(shù)f（x）=cos（3x+π/6）的圖像然后觀察和分析[0，π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，該解法突出體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，也是最容易想到的方法。根據(jù)下圖可以很容易得出[0，π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)。

解法二：先換元，設(shè)3x+π/6=t，由x∈[0，π]得到t∈[π/6，3π+π/6]，然后通過(guò)y=cost的圖像易知，當(dāng)t=π/2，3π/2，5π/2時(shí)，cost=0，即f（x）有三個(gè)零點(diǎn)。該解法通過(guò)換元轉(zhuǎn)化的方式利用了基本三角函數(shù)y=cost的圖像，思路上有一定的技巧性，運(yùn)算量與解法一中的取點(diǎn)作圖相比大致相當(dāng)。

解法三：根據(jù)題意，可由cos（3x+π/6）=0得到3x+π/6=π/2+kπ（k∈Z）。故x=π/9+kπ/3（k∈Z），當(dāng)k=0時(shí)，x=π/9；當(dāng)k=1時(shí)，x=4π/9；當(dāng)k=2時(shí)，x=7π/9，均滿足題意，故函數(shù)f（x）在[0，π]上的有三個(gè)零點(diǎn)。該解法運(yùn)用了方程思想，直接求出函數(shù)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)，而后在[0，π]上確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

縱觀上述三種解法，解法一和解法二均是以數(shù)形結(jié)合思想為基礎(chǔ)，解法三更側(cè)重于方程思想和數(shù)據(jù)運(yùn)算，但從根本上仍不脫數(shù)形結(jié)合之藩籬，這是題目本身的特征決定的。綜合來(lái)說(shuō)，三種解法都屬于較有代表性的解法，在講解該題時(shí)，教師要注重剖析數(shù)形結(jié)合思想在解題中所起的關(guān)鍵性作用，并強(qiáng)調(diào)相關(guān)的易錯(cuò)點(diǎn)，即取點(diǎn)作圖技能掌握不到位，不能正確畫出函數(shù)的圖像；對(duì)基本余弦函數(shù)的圖像及性質(zhì)掌握不熟悉。不知道如何確定其零點(diǎn)。

此外，要注意函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的總結(jié)。函數(shù)零點(diǎn)是溝通函數(shù)、方程、圖像的常見(jiàn)媒介，以其交匯點(diǎn)的問(wèn)題往往需要合理地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想才能順利解答，再有就是正余弦函數(shù)及y=Asin（ωx+ψ）+k的圖像及性質(zhì)，要求學(xué)生熟練掌握，這是在相關(guān)題目中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)條件。

題例2：設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|+|x-1|.

（1）畫出y=f（x）的圖像；

（2）當(dāng)x∈[0，+∞），f（x）≤ax+b，求a+b的最小值。

該題是選考題中的第二道題即23題，實(shí)際上難度較小屬于中檔題，該題第二問(wèn)的解答是基于第一問(wèn)中畫出的圖像，較為突出體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。值得一提的是，第一問(wèn)運(yùn)用了基本的分類討論思想（對(duì)定義域進(jìn)行分類討論），其設(shè)計(jì)實(shí)際上降低了該題的綜合難度，因?yàn)樵搯?wèn)構(gòu)成解答第二問(wèn)的基礎(chǔ)，相當(dāng)于一個(gè)明確的指引。這也啟示我們，在解答類似題目時(shí)，即使題目的設(shè)問(wèn)沒(méi)有明確的指引，亦應(yīng)當(dāng)首先根據(jù)題意深入分析，若有需要即畫出函數(shù)的圖像，事實(shí)上，這也是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的必要和常用手段之一。該題的具體解答過(guò)程如下：

解答：（1）f（x）=|2x+1|+|x-1|可變形為：f（x）=-3x（x<-1/2）；x+2（-1/2≤x<1）；3x（x≥1）。其圖像如右圖所示。

（2）根據(jù)第一問(wèn)可知，y=f（x）的圖像與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，且各段圖像所在直線的斜率的最大值為3，故當(dāng)且僅當(dāng)a≥3且b≥2時(shí)，f（x）≤ax+b在[0，+∞）成立，因此a+b的最小值為5。

三、結(jié)語(yǔ)

本文首先簡(jiǎn)要介紹了高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想，而后結(jié)合高考典型題例探討了其具體應(yīng)用。鑒于數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的重要應(yīng)用，教師應(yīng)給予其足夠重視，并在日常教學(xué)中有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用該思想解題的能力，在使學(xué)生切實(shí)掌握其內(nèi)涵和運(yùn)用方式的基礎(chǔ)上多引入一些較為典型的高考真題，使學(xué)生在有效的練習(xí)過(guò)程中獲得感悟，實(shí)現(xiàn)質(zhì)的升華。當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合思想在高考真題解題教學(xué)中的研究與實(shí)踐是一個(gè)兼具深度和廣度的課題，需要一線教師在教學(xué)實(shí)踐中不斷積極探索和總結(jié)，本文拋磚引玉，尚盼方家指教。

注：本文為安順市教育科學(xué)規(guī)劃一般課題“農(nóng)村高中校本課程的開(kāi)發(fā)與實(shí)踐研究——以安順市西秀區(qū)高級(jí)中學(xué)‘高中數(shù)形結(jié)合’為例”（課題編號(hào)：AS2017B017）成果。

（責(zé)編 孟 飛）