王有茂

本文系江蘇省宿遷市中小學(xué)教學(xué)研究重點(diǎn)課題“基于核心素養(yǎng)達(dá)成的高中數(shù)學(xué)項(xiàng)目化課堂教學(xué)模式研究”的階段性成果，立項(xiàng)編號(hào)為SQ2017JK01-Z01。

摘要：隨著新課標(biāo)的逐步實(shí)施，核心素養(yǎng)的理念已深入人心，對(duì)于如何改革課堂教學(xué)模式以適應(yīng)新時(shí)期的要求，本人借助課題研究做了一些探索。本文以一道高考題的講評(píng)為例，詮釋項(xiàng)目化教學(xué)模式中的講評(píng)課教學(xué)模式。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 核心素養(yǎng) 項(xiàng)目化 教學(xué)模式

核心素養(yǎng)作為育人的中觀目標(biāo)，必然依靠微觀目標(biāo)在教學(xué)中的逐步達(dá)成。因此，課堂教學(xué)就必須要以問(wèn)題解決的過(guò)程為基礎(chǔ)，發(fā)展“四基”“四能”為要?jiǎng)?wù)，長(zhǎng)時(shí)期、連續(xù)性地培養(yǎng)學(xué)生，才能形成核心素養(yǎng)。以往“就課論課”的教學(xué)設(shè)計(jì)已不能滿足新課標(biāo)理念的要求，從“課節(jié)”教學(xué)到“主題”教學(xué)勢(shì)在必行。對(duì)新形勢(shì)下課堂教學(xué)模式的探索，迫在眉睫，這既是一線教師的責(zé)任，也是一線教師的義務(wù)。

項(xiàng)目化課堂教學(xué)模式就是教師對(duì)照課程標(biāo)準(zhǔn)，研究教材設(shè)計(jì)思路及特色，考慮到現(xiàn)有的教學(xué)資源及可用的教學(xué)方式方法，將核心素養(yǎng)理念與教學(xué)行為相結(jié)合，把學(xué)習(xí)內(nèi)容設(shè)計(jì)為一個(gè)項(xiàng)目任務(wù)。學(xué)生在已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，獨(dú)立或組成小組，從任務(wù)入手，借助軟件、網(wǎng)絡(luò)，利用課程資源，通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察、抽象概括、推理探究等形式進(jìn)行主題化學(xué)習(xí)，從而獲得知識(shí)、技能和思想方法的教學(xué)模式。教師自始至終是組織者、參與者、交流者、輔導(dǎo)者、評(píng)價(jià)評(píng)估者。項(xiàng)目化教學(xué)更有利于整體把握教學(xué)內(nèi)容，揭示教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、蘊(yùn)含的思想，關(guān)注學(xué)生素養(yǎng)的培養(yǎng)，此時(shí)的“課節(jié)”教學(xué)只是項(xiàng)目化教學(xué)的一個(gè)環(huán)節(jié)。

項(xiàng)目化教學(xué)操作流程：

[XC2019-10-29.EPS，JZ;P]圖1

子項(xiàng)目教學(xué)環(huán)節(jié)：

項(xiàng)目化課堂教學(xué)模式，針對(duì)各種課型探究了各自的操作模式，分為概念課、復(fù)習(xí)課、講評(píng)課、探究課四種教學(xué)模式。本文就以一道高考題的講評(píng)為例，介紹一下講評(píng)課教學(xué)模式。

一、課前

（一）項(xiàng)目化設(shè)計(jì)

教師要準(zhǔn)確地將教學(xué)內(nèi)容項(xiàng)目化，包括教學(xué)內(nèi)容分析、重難點(diǎn)分析、學(xué)情分析與教學(xué)方式分析。我校為四星級(jí)高中，學(xué)生基礎(chǔ)較好，具有一定的探究能力，所以選擇的是2017年高考全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷理數(shù)第20題。本題有兩個(gè)功能：一是方法研究，二是拓展研究。本節(jié)課的主要任務(wù)是探索解決該類(lèi)問(wèn)題的一般方法，及方法優(yōu)選。

例題：已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），四點(diǎn)P1（1，1）、P2（0，1）、P3-1，32、P41，32中恰有三點(diǎn)在橢圓C上。

（1）求C的方程;

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A、B兩點(diǎn)。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過(guò)定點(diǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：第（1）問(wèn)，C的方程為x24+y2=1，基本沒(méi)有錯(cuò)誤，雖然簡(jiǎn)單，但考查了橢圓的重要性質(zhì)——對(duì)稱(chēng)性，還訓(xùn)練了學(xué)生選擇與批判思維;第（2）問(wèn)，難度適中，解法典型多樣，選擇不同解法差異較大，有利于培養(yǎng)學(xué)生的甄別能力，同時(shí)還包含著更一般的結(jié)論，便于探索和推廣，切合項(xiàng)目化課堂教學(xué)模式研究。針對(duì)第（2）問(wèn)，評(píng)講之前設(shè)計(jì)解法研究任務(wù)：找出本班同學(xué)所有解法，分析各種解法的特點(diǎn)，比較其優(yōu)勢(shì)和不足。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在搜集解法、比較解法的過(guò)程中相互交流，相互學(xué)習(xí)，并進(jìn)行優(yōu)選，從而獲得思想方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)培養(yǎng)概括能力，讓他們?cè)谥v評(píng)課前就有所收獲。

二、項(xiàng)目化學(xué)習(xí)

學(xué)生在課前以個(gè)人或小組為單位，進(jìn)行探究學(xué)習(xí)，將成果在課堂上進(jìn)行匯報(bào)。

教師適當(dāng)提供課程資源、研究的操作規(guī)范、思維方法和研究的邏輯性，但不能控制學(xué)生的思維，要大膽放手，真正相信學(xué)生。

二、課中

（一）課堂展示

小組爭(zhēng)相匯報(bào)研究成果，給出了以下三種解法，并小結(jié)了解法的特點(diǎn)、難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)：

解法一：設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1、k2（k1≠k2），則P2A的方程為y=k1x+1，

解方程組y=k1x+1，x24+y2=1，

得A-8k14k21+1，-4k21+14k21+1，同理B-8k24k22+1，-4k22+14k22+1。

當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，xA=xB，易得k1=k2=-12（不合題意），

所以l的方程為y--4k21+14k21+1=14k1k2-1x--8k14k21+1。

將k2=-1-k1，代入并按k1降冪整理得

16k41（y+1）+16k31（y+1）+4k21（x+2y）+4k1（y+1）+x+y-1=0，

因?yàn)閗1有無(wú)數(shù)多個(gè)值滿足該方程，所以y+1=x+2y=x+y-1=0，

解得x=2，y=-1，所以過(guò)定點(diǎn)（2，-1）。

小結(jié)：先設(shè)出P2A、P2B的方程，聯(lián)立求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，類(lèi)比出B點(diǎn)的坐標(biāo)，得到AB方程，找出定點(diǎn)。

[]

立足核心素養(yǎng)，探究項(xiàng)目化教學(xué)模式

[][XC課題成果.EPS，JZ;P]

[XC安徽教育科研G.TIF;%10.8%10.8;Z2mm，JZ]2019年12月下 第24期 （總第40期）

難點(diǎn)：得到AB方程后找定點(diǎn)的方法。

易錯(cuò)點(diǎn)：計(jì)算太煩瑣，多數(shù)同學(xué)無(wú)法做到底。

1.討論與反思1

教師：該解法對(duì)計(jì)算能力要求較高，如何優(yōu)化？

生1：先找后證，先找出AB的兩條特殊直線，求出其交點(diǎn)即為定點(diǎn)，然后代入驗(yàn)證;

生2：極端化找定點(diǎn)，再驗(yàn)證。由幾何學(xué)的“連續(xù)性原理”知，兩種極端情況必然滿足要求：①當(dāng)A、B重合時(shí)，k1=k2=-12，直線AB方程為x=2;②當(dāng)A與P2重合時(shí)，k1=0，k2=-1，直線AB方程為y=-x+1，由x=2與y=-x+1的交點(diǎn)（2，-1）即為定點(diǎn)。

解法二：設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1、k2。

若l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知|t|<2且t≠0，易得A、B的坐標(biāo)分別為t，4-t22、t，-4-t22，由k1+k2=4-t2-22t-4-t2+22t=-1，得t=2（不合題意），

從而可設(shè)l：y=kx+m（m≠1），代入x24+y2=1得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，由題設(shè)知Δ=16（4k2-m2+1）>0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-8km4k2+1，x1x2=4m2-44k2+1，所以k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=2kx1x2+（m-1）（x1+x2）x1x2，由k1+k2=-1，得（2k+1）x1x2+（m-1）（x1+x2）=0，

即（2k+1）·4m2-44k2+1+（m-1）·-8km4k2+1=0，解得k=-m+12，

代入Δ=16（4k2-m2+1）>0得m>-1，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)m>-1時(shí)，Δ>0，于是l：y=-m+12x+m，即y+1=-m+12（x-2），

所以l過(guò)定點(diǎn)（2，-1）。

小結(jié)：該解法是設(shè)出AB方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出k、m的關(guān)系，從而找出定點(diǎn)。

難點(diǎn)：方向要明確，要轉(zhuǎn)化成關(guān)于橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的和與積的形式。

易錯(cuò)點(diǎn)：容易漏掉討論斜率不存在的情況和使用韋達(dá)定理時(shí)判別式大于零的驗(yàn)證，計(jì)算較煩瑣。

解法三：由于直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)，所以l可設(shè)為mx+n（y-1）=1（m、n不全為0），

設(shè)點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1、k2，

則k1=y1-1x1，k2=y2-1x2，且（x1，y1），（x2，y2）是方程組mx+n（y-1）=1，（a）x24+y2=1，（b）的解，

將（b）式化為x24+（y-1）2+2（y-1）=0，將（a）式代入得

x24+（y-1）2+2（y-1）[mx+n（y-1）]=0，

整理得x24+2mx（y-1）+（1+2n）（y-1）2=0，因?yàn)閤≠0，上式兩邊同除以x2得（1+2n）y-1x2+2my-1x+14=0，

設(shè)k=y-1x，則當(dāng)判別式Δ=（2m）2-（1+2n）>0時(shí)，k1、k2為方程（1+2n）k2+2mk+14=0（*）的兩個(gè)根，

又因?yàn)閗1+k2=-1，由韋達(dá)定理得-2m1+2n=-1，即m=n+12，

代入（a）式整理得n（x+y-1）+12x-1=0，令x+y-1=0，12x-1=0得x=2y=-1，

又當(dāng)m=n+12時(shí)，由方程（*）的判別式Δ=（2m）2-（1+2n）=2n（2n+1）>0得n<-12或n>0，

即當(dāng)n<-12或n>0時(shí)，直線AB表示與橢圓相交且不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P2、滿足k1+k2=-1的所有直線，所以定點(diǎn)為（2，-1）.

小結(jié)：該解法巧妙，計(jì)算簡(jiǎn)單，設(shè)出不過(guò)定點(diǎn)的直線系方程，代入橢圓方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，求出參數(shù)間關(guān)系，代入直線方程得出定點(diǎn)坐標(biāo);

難點(diǎn)：不經(jīng)過(guò)一點(diǎn)的直線方程的設(shè)法，對(duì)思維層次要求較高.

易錯(cuò)點(diǎn)：容易忽略韋達(dá)定理使用的條件.

2.討論與反思2

生3：方程mx+n（y-1）=1（m，n不全為0）能表示不經(jīng)過(guò)（0，1）點(diǎn)的任意一條直線嗎？

生4：能！m（x-x0）+n（y-y0）=1可以看成是截距式xa+yb=1（a、b∈R且ab≠0）的一個(gè)推廣，截距式可表示不與坐標(biāo)軸垂直和不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的所有直線，若推廣為mx+ny=1（m、n∈R且m、n不全為0），則可表示不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的所有直線，若進(jìn)一步的推廣為m（x-x0）+n（y-y0）=1（m、n∈R且m、n不全為0），則可表示不經(jīng)過(guò)點(diǎn)（x0，y0）的所有直線了（也可以嚴(yán)格證明，證明略）。

3.評(píng)價(jià)與提煉

教師：比較以上三種解法的差異，它們可以解決哪一類(lèi)問(wèn)題？哪一種方法最優(yōu)？

生5：三種方法都運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合和方程思想。不同之處是，解法一直接求出了交點(diǎn)坐標(biāo)，而解法二、三都間接設(shè)出了直線AB的方程，運(yùn)用了設(shè)而不求的思想，這三種解法對(duì)解決與一定點(diǎn)連線的斜率和為定值相關(guān)的問(wèn)題都是有效的方法，其中解法三最優(yōu)。

教師：你能整理一下方法三的解題步驟嗎？

生6：

S1：設(shè)出不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（x0，y0）的直線方程：m（x-x0）+n（y-y0）=1（m、n不全為0）;

S2：將曲線化為關(guān)于（x-x0）和（y-y0）的二次齊次式;

S3：兩邊同除以（x-x0）2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率的一元二次方程;

S4：運(yùn)用韋達(dá)定理解題。

（二）檢測(cè)提升

（1）變式練習(xí)：本題其他條件不變，將“和為-1”變?yōu)椤胺e為-1”。

圖3

（2）已知曲線的方程為x2+y2m2=1（m>0，且m≠1）。過(guò)原點(diǎn)且斜率為k的直線交曲線C于P、Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點(diǎn)N，直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H.是否存在m，使得對(duì)任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（2012·湖北理21題改編）。

（3）設(shè)橢圓C：x22+y2=1的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）。設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB（2018·全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ理19題改編）。

設(shè)計(jì)意圖：變式練習(xí)既是為了鞏固方法三，又是為拓展研究埋下伏筆;選擇兩道高考題，以上三種解法都可使用，（2）是直接用，（3）可轉(zhuǎn)化后再用，更好地鞏固提升。

三、課后

設(shè)置拓展探究任務(wù)：從變式練習(xí)思路出發(fā)，和學(xué)生一起探索拓展方向，布置課后探究任務(wù)，以便下一節(jié)課展示匯報(bào)。

方向一（變化數(shù)值）：由靜到動(dòng)、由定到變：

（1）（0，1）→橢圓上的任意一點(diǎn)→平面上的任意一點(diǎn);

（2）k1+k2=-1→k1+k2=λ（定值）;

（3）x24+y2=1→x2a2+y2b2=1（a>b>0）。

方向二（變化形式）：由和到積（差、商等），將方向一中的k1+k2=λ變?yōu)閗1k2=μ（μ≠0）;

方向三（變化曲線）：方向一、二中的橢圓→雙曲線→拋物線。

最終得出圓錐曲線的統(tǒng)一的結(jié)論：

①若對(duì)于給定的圓錐曲線C上的一點(diǎn)，與C上的兩動(dòng)點(diǎn)（不與定點(diǎn)重合）的連線的斜率和（積）為定值（存在且不為0），則兩動(dòng)點(diǎn)的連線過(guò)定點(diǎn)，反之也成立。

②若對(duì)于給定的不在圓錐曲線上的點(diǎn)[不為原點(diǎn)且不在頂點(diǎn)（橢圓指長(zhǎng)軸頂點(diǎn)）處的切線上]，與C上的兩動(dòng)點(diǎn)的連線的斜率和（積）為特定的值，則兩動(dòng)點(diǎn)的連線過(guò)定點(diǎn)（一個(gè)或兩個(gè)定點(diǎn)中的一個(gè)），反之也成立。

由此就將一道題變成了一類(lèi)題，收到了融會(huì)貫通、觸類(lèi)旁通的效果，避免評(píng)講課對(duì)答案的現(xiàn)象，真正達(dá)到評(píng)講課培養(yǎng)學(xué)生“四基”“四能”的目的。

項(xiàng)目化教學(xué)便于突出主題，有利于學(xué)生開(kāi)展深度學(xué)習(xí)，不僅僅教給學(xué)生知識(shí)和方法，而且還能給學(xué)生以更多數(shù)學(xué)思想、精神的浸潤(rùn)，讓學(xué)生在嘗試活動(dòng)中獲得知識(shí)和技能，發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，在協(xié)作探究中獲得思想和方法，學(xué)會(huì)分析和解決問(wèn)題，在分享成果、完成任務(wù)中，獲得活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。不管將來(lái)他們從事什么工作，數(shù)學(xué)的精神、思維方法、推理方法和著眼點(diǎn)，都在隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終身，這就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

責(zé)任編輯：黃大燦