李俊

[摘? 要] 數(shù)學(xué)是一門對于思考要求較高的學(xué)科，要想學(xué)好數(shù)學(xué)，學(xué)生需要經(jīng)過深入而廣泛的思考，要能將數(shù)學(xué)的思想方法和概念知識有機(jī)地融入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中. 目前很多教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)不能激發(fā)學(xué)生的思考，僅僅是將知識點(diǎn)呈現(xiàn)在學(xué)生的面前，這不符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律. 思考不是抽象的，它是問題導(dǎo)向的，教師要想能夠調(diào)動起學(xué)生的思考，首先就是要培養(yǎng)學(xué)生的問題意識. 文章中，筆者就將分享自己對于培養(yǎng)學(xué)生問題意識的思考.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);問題意識

[?]前言

數(shù)學(xué)是一門集合了許多知識概念和思想方法的學(xué)科，要想學(xué)好數(shù)學(xué)，學(xué)生需要深入思考，以便能夠?qū)⑦@些知識概念以及思想方法有機(jī)地構(gòu)建成一種認(rèn)知結(jié)構(gòu)，然而，現(xiàn)在很多教師在展開具體的數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，沒有能夠引導(dǎo)學(xué)生思考，僅僅是將這些要素呈現(xiàn)在了學(xué)生的面前. 顯然，這樣的教學(xué)方法不能滿足教學(xué)要求，也不符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律. 如何有效地引導(dǎo)學(xué)生思考成為一個(gè)重要議題[1]. 縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史我們不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)家們的思考從來不是空中樓閣，不是為了思考而進(jìn)行的思考，他們的思考是問題導(dǎo)向的，是發(fā)現(xiàn)或者為了解決某一具體問題而逐漸深入和擴(kuò)散的. 有一位著名科學(xué)家曾說過，發(fā)現(xiàn)問題也許比解決問題更加具有挑戰(zhàn)性，也更重要，因?yàn)榻鉀Q問題可能只是對現(xiàn)有知識的應(yīng)用，而發(fā)現(xiàn)問題則需要人們從嶄新的角度去審視原有的知識體系或者問題，需要一種思維的突破，也往往能夠帶來真正意義上的科學(xué)進(jìn)步. 因此，引導(dǎo)學(xué)生思考這一目標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為幫助學(xué)生養(yǎng)成正確的問題意識，即培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力和意識，這有利于學(xué)生的有效學(xué)習(xí)，也為學(xué)生的將來發(fā)展打下了基礎(chǔ).

[?]優(yōu)秀的教學(xué)情境

筆者曾經(jīng)前往A校聽過一堂公開課，課堂的內(nèi)容是推導(dǎo)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，筆者認(rèn)為該堂課的老師就處理得比較好，所以想在這里和各位讀者分享一下當(dāng)時(shí)的教學(xué)情境.

教學(xué)情境一：

教學(xué)目的：推導(dǎo)sinα，cosα與sin（α+2kπ），cos（α+2kπ）（k∈Z）之間的數(shù)量關(guān)系.

教學(xué)準(zhǔn)備：教師利用多媒體展示器演示了如下動畫：在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)、始邊與x軸正半軸重合的角α，現(xiàn)將其終邊以頂點(diǎn)為原點(diǎn)作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).

教師設(shè)問：請同學(xué)們觀察上面的動畫，有沒有發(fā)現(xiàn)哪些現(xiàn)象會重復(fù)出現(xiàn)？（為了引導(dǎo)學(xué)生深入思考，發(fā)現(xiàn)變化之中的問題，教師又提出了下面兩個(gè)子問題）

子問題1：試在α的終邊旋轉(zhuǎn)的過程中取幾個(gè)你認(rèn)為比較特殊的位置，計(jì)算該處的三角函數(shù)值，試問：重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象對應(yīng)的三角函數(shù)值之間有什么特殊的數(shù)量關(guān)系？如果想用數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述，該如何書寫？

子問題2：嘗試結(jié)合動畫，比較一下α和α+2kπ的三角函數(shù)值，能嘗試解釋一下這樣數(shù)量關(guān)系背后的原因嗎？

教學(xué)情境二：

教學(xué)目的：推導(dǎo)出sinα，cosα與sin（α+kπ），cos（α+kπ）（k∈Z）之間的數(shù)量關(guān)系.

教學(xué)準(zhǔn)備：如果平面直角坐標(biāo)系上還有另外一個(gè)角β，且已知將α的終邊繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)半周會與β的終邊重合.

教師設(shè)問：不難發(fā)現(xiàn)，α和β之間存在奇妙的位置關(guān)系，那么這樣的關(guān)系代表著什么呢？

子問題1：如果在該坐標(biāo)系中加入一個(gè)單位圓，試問：這兩個(gè)角與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)滿足怎樣的關(guān)系？

子問題2：結(jié)合上示圖片嘗試總結(jié)一下這兩個(gè)角對應(yīng)的三角函數(shù)值滿足怎樣的關(guān)系.

筆者認(rèn)為，該教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)不是簡單地將知識點(diǎn)呈現(xiàn)在學(xué)生的面前，而是注意到了引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入思考，教師將知識點(diǎn)包裹在一連串有層次、有梯度的問題中，讓學(xué)生能夠有自己逐步探索的空間，體現(xiàn)了對學(xué)生主體性的重視.

[?]從主觀和客觀兩方面淺談在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中培養(yǎng)和提升學(xué)生問題意識的策略

1. 消除師生心理距離，營造良好的探討氛圍

現(xiàn)有的教學(xué)模式從本質(zhì)上來說還是一種人際交往，教師與學(xué)生之間的關(guān)系很大程度上影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，良好和諧的師生關(guān)系能夠讓學(xué)生更加輕松和積極地投身于學(xué)習(xí)，疏離緊張的師生關(guān)系會在無形之中阻礙學(xué)生的發(fā)展. 同樣的，對于培養(yǎng)學(xué)生的問題意識而言，師生關(guān)系和整體的學(xué)習(xí)氛圍也發(fā)揮著不可忽視的作用，試想，如果學(xué)生不能對教師產(chǎn)生親近信任的感覺，他們來找教師探討問題，交流思考的主動性勢必會下降. 教師應(yīng)在平時(shí)的教學(xué)中保持平等溫和的姿態(tài)，充分利用好學(xué)生天然的好奇心和探索欲，讓學(xué)生能夠放開手腳，對問題進(jìn)行個(gè)性化的思考. 對于學(xué)生的不同想法，教師應(yīng)該保持一種包容的心態(tài)，不要急于否定，如果其中存在閃光點(diǎn)，教師也應(yīng)該毫不吝惜地給出自己的表揚(yáng)和稱贊;對于學(xué)生思考中的不當(dāng)之處，教師也不應(yīng)該粗暴地批評，相反地，教師可以組織小組探討活動，讓學(xué)生通過合作探討發(fā)現(xiàn)和解決問題. 總而言之，師生關(guān)系以及學(xué)習(xí)氛圍這些看不到的主觀因素會在一定程度上影響學(xué)生的積極性，教師應(yīng)建設(shè)和諧的師生關(guān)系，營造開放包容的學(xué)習(xí)氛圍，消除學(xué)生的心理距離，鼓勵(lì)學(xué)生敢于表達(dá)新穎見解，引導(dǎo)學(xué)生敢提問、會提問[2].

2. 巧用多媒體技術(shù)，讓學(xué)生在觀察中發(fā)現(xiàn)問題

除了主觀因素外，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識還有一些客觀因素需要考慮，由于數(shù)學(xué)學(xué)科本身的特性，有一部分知識對于學(xué)生來說會比較晦澀難懂，當(dāng)面對較為復(fù)雜的問題時(shí)，學(xué)生往往會覺得無從下手，不知道該從何處入手分析，也就難以發(fā)現(xiàn)問題和提出問題了. 好在隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，教師可以采用現(xiàn)代化的教學(xué)方法來將部分隱蔽晦澀的知識以生動的形式展現(xiàn)出來，這能夠降低學(xué)生的接受難度，也能夠讓學(xué)生在更生動的演示中發(fā)現(xiàn)問題. 舉例說明，在講授圓錐曲線的統(tǒng)一定義一節(jié)時(shí)，教師就可以利用多媒體為學(xué)生們展示參數(shù)變化帶來的圖像類型變化，學(xué)生在學(xué)習(xí)這些知識的時(shí)候有時(shí)會遇到難以將參數(shù)和圖像類型對應(yīng)的問題，此時(shí)，這樣的動態(tài)的展現(xiàn)方式就能很好地幫助學(xué)生將其對應(yīng)起來，學(xué)生也會因此積極地去思考背后的原因.

3. 以錯(cuò)為引，引導(dǎo)學(xué)生在反思中提出新問題

學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中難免犯錯(cuò)，這很正常，這些錯(cuò)誤之中也往往蘊(yùn)含著學(xué)生知識體系或者理解上的缺陷之處，教師應(yīng)利用好學(xué)生普遍性或具有代表性的錯(cuò)誤，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的不足，或是提出新的問題.

舉例說明，在復(fù)習(xí)課中筆者曾經(jīng)給學(xué)生出過這么一道題：若平面直角坐標(biāo)系中有一定圓M，現(xiàn)任取圓M上任意一定點(diǎn)A，過點(diǎn)A作圓的動弦AB，那么“該動弦中點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是橢圓”這一命題為真嗎？絕大多數(shù)學(xué)生沒有經(jīng)過理論計(jì)算，僅憑自己的想象給出了肯定的答案，這暴露出學(xué)生還沒有習(xí)慣用理論計(jì)算來得出答案的不良習(xí)慣. 對此，筆者沒有急于否定，而是鼓勵(lì)學(xué)生嘗試說明理由，這個(gè)時(shí)候?qū)W生中出現(xiàn)了不一樣的聲音，有部分學(xué)生提出這個(gè)軌跡應(yīng)該是圓，并表示通過圓的性質(zhì)就可以證明. 筆者表示了肯定之后又拋出了一個(gè)問題：的確，動弦中點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是一個(gè)圓，那么是不是只有中點(diǎn)時(shí)這個(gè)結(jié)論才成立呢？隨后，筆者讓學(xué)生通過小組討論的方式對這一問題進(jìn)行了探討，討論結(jié)束后，筆者讓學(xué)生們分享自己的想法，之后取了三等分點(diǎn)讓學(xué)生嘗試解決.

如圖1所示，平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)定圓O：x2+y2=9，取圓O與x軸正半軸的交點(diǎn)A（3，0），過點(diǎn)A作弦AB，取弦的三等分點(diǎn)P，試問：動點(diǎn)P的軌跡方程是什么？該軌跡方程表示的圖形是什么？

在筆者的引導(dǎo)下，學(xué)生采用了向量法來解決該問題，具體的解決過程如下所示：設(shè)B（x0，y0），P（x，y），因?yàn)镻是動弦的三等分點(diǎn)，A（3，0），所以（x0-3，y0）=3（x-3，y），所以x0-3=3（x-3），y0=3y. 又B是圓上一點(diǎn)，所以x+y=9，代入可知（x-2）2+y2=1，這就是P滿足的軌跡方程，該軌跡方程表示的圖形就是圓.

4. 類比知識，新生于舊

學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個(gè)累積的過程，新知識與舊知識往往有著千絲萬縷的關(guān)系，在教授新知識時(shí)，教師也可以帶領(lǐng)學(xué)生回顧和對比舊知識，以此來激發(fā)學(xué)生的思考. 舉例說明，學(xué)生在學(xué)習(xí)橢圓相關(guān)知識之前已經(jīng)對圓較為熟悉，教師可以在教學(xué)過程中多進(jìn)行對比，比如教師在講授直線與橢圓相交弦長的相關(guān)知識時(shí)，可以先帶學(xué)生回顧一下這段弦長在圓中有幾個(gè)求法，學(xué)生在對比感悟的過程中往往能夠產(chǎn)生一些新的想法.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 張奠宙，張蔭南. 新概念：用問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)教學(xué)（續(xù)）[J]. 高等數(shù)學(xué)研究，2004（05）：10.

[2]? 匡繼昌. 如何理解和掌握數(shù)學(xué)概念的教學(xué)實(shí)踐與研究[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013（06）：74-78.