徐炳輝，林光春，黃 亮，陳世超

(四川大學 制造科學與工程學院，成都 610065)

0 引言

空間并聯(lián)機構工作空間一般狹小，但可調(diào)的機構具有可以滿足機構的不同工作環(huán)境，且其柔性較大，工作空間較一般機構大的優(yōu)點，具有很大實用價值。在可調(diào)機構方面，機構學者取得了較多的成果，例如：在可調(diào)平面4桿機構綜合方面，Bonell和Cofer等提出了一種復數(shù)方法，解決了該類機構的機構綜合問題[1]；周洪、鄒慧君提出了一種利用機架桿方向結構誤差優(yōu)化綜合可調(diào)節(jié)型曲柄搖桿連續(xù)軌跡生成機構的方法，基于改進的遺傳算法得到了綜合的全局最優(yōu)解，并予以實例驗證[2-3]。徐禮鉅、張均富等運用病毒遺傳算法對球面6桿StephensonⅢ機構軌跡進行優(yōu)化綜合[4]；姚近等[5]對空間可調(diào)機構 RS-SRR-SS的剛體導引綜合進行了研究，運用符號處理及矩陣運算等方法，建立了機構的運動學模型[6]。但是，一般可調(diào)的并聯(lián)機構還很欠缺，基于矩陣運算的并聯(lián)機構運動學分析建模復雜，加之可調(diào)桿件及運動副的加入，無疑更加深了運動學分析的難度。

本文基于符號算法對一種可調(diào)的空間4自由度并聯(lián)機構進行位置分析，建立了機構的約束方程，消元后得到機構的單變元輸入輸出方程進而得到其解。

1 機構簡介及坐標系建立

如圖1所示為一種4自由度空間可調(diào)并聯(lián)機構一種3維裝配圖。在靜平臺1中，周向運動滑塊5可沿靜平臺1的環(huán)形軌道帶動直線導軌3繞機座連接桿2周向運動，隨著周向運動滑塊5的定位而調(diào)節(jié)靜平臺3分支相互夾角，虎克副基座滑塊6可沿著直線導軌3滑動而調(diào)節(jié)其到靜平臺中心的距離，運動滑塊 5、胡克副基座滑塊6可以通過對應螺栓實現(xiàn)定位；相似的，動平臺是由3分支桿件11、12、13、芯軸10構成，該空間并聯(lián)機構支鏈上端球面副可沿對應的分支桿件軌道滑動而調(diào)節(jié)球面副距離動平臺芯軸10的距離，并被定位螺栓20固定，芯軸10與分支桿件11、12、13的配合截面為正十二邊形，通過改變配合面來實現(xiàn)3個動平臺分支相互夾角，同時用芯軸軸肩及定位鎖緊螺母19定位。

1.機座(靜平臺) 2.機座連接桿 3.直線導軌 4.定位螺栓 5.周向運動滑塊 6.虎克副機座滑塊 7.形心桿 8.定位螺釘 9.球面副 10.芯軸 11.動平臺分支桿件一 12.動平臺分支桿件二 13.動平臺分支桿件三 14.球碗滑塊 15.桿件 16.胡克副 17.細桿件 18.形心定位螺栓 19.定位鎖緊螺母 20.定位螺栓圖1 4自由度空間可調(diào)并聯(lián)機構3維裝配圖

如圖2所示為一種4自由度空間可調(diào)并聯(lián)機構簡圖。可調(diào)運動副可以根據(jù)機構工作環(huán)境或工況而調(diào)節(jié)構件的相對位置，在確定工作環(huán)境下由可調(diào)運動副連接的構件無相對運動。該機構是由可調(diào)靜平臺A1A2A3、可調(diào)動平臺B1B2B3、支鏈AiliBi、及支鏈OhO0組成。其中可調(diào)靜平臺是由3個分支桿件VCi-rai-VPi連接而成；可調(diào)動平臺由3個分支VCi-rbi-VPi連接而成，其中VCi、VPj為可調(diào)圓柱副、可調(diào)移動副(i=1,2,3、j=1,2,3,4,5,6)；支鏈AiliBi的Ai端通過虎克副與可調(diào)靜平臺上可調(diào)移動副VPi固接,Bi端通過球面副與可調(diào)動平臺上可調(diào)移動副VPm固接(m=4,5,6)；支鏈OhO0下端與靜平臺垂直固接，上端O0用球面副與可調(diào)動平臺連接，并設定O0與B1B2B3共面。這樣組成靜、動平臺的分支可以分別調(diào)節(jié)相互夾角及Ai、Bi點到各自平臺中心的距離。在確定工作環(huán)境及工況下，通過l1、l2、l3、h的長度變化驅動動平臺在空間展現(xiàn)不同位姿。

圖2 4自由度空間可調(diào)空間機構簡圖

在并聯(lián)機構位置分析建系過程中，通常選擇靜平臺、動平臺中心作為動坐標系原點，坐標系的x、y軸為平臺所在平面。為了降低位置約束方程求解難度，按以下方法建立右手坐標系：以右手定則在靜平臺上建立靜坐標系T-1，如圖2所示，坐標系O-xyz原點為平面A1A2A3與OhO0的交點O上，z軸垂直于平面A1A2A3向下，x軸沿OA1；在動平臺球面副球心O0(O1)建立跟隨靜平臺結構參數(shù)調(diào)節(jié)的可調(diào)坐標系T0，坐標系O0-x0y0z0，z0軸沿O0A1(跟隨A1移動)，y0軸與y軸同向；在動平臺球面副球心O0(O1)建立動坐標系T1，坐標系O1-x1y1z1,軸沿O0B1(跟隨B1移動)，軸向上垂直于B1B2B3平面。

2 位置分析通用求解模型

根據(jù)建立的坐標系，可以將Ai分別在靜坐標系T-1、可調(diào)坐標系T0下表出，同時可將Bi在動坐標系T1下表出。通過坐標旋轉變換，在T-1系下得到動平臺上特征點坐標式，進而建立約束方程，求解可以得到動平臺位姿，從而達到位置分析的目的。

2.1 約束方程建立

如圖2所示，在可調(diào)靜平臺上，球面副中心Ai距離Oh為rai，分支VC2-ra2-VP2、VC3-ra3-VP3與VC1-ra1-VP1的夾角為Aθ2、Aθ3且Aθ2≠Aθ3；在可調(diào)動平臺上，球面副中心Bi距離O0(O1)為rbi，VC2-rb2-VP2、VC3-rb3-VP3與VC1-rb1-VP1的夾角為Bθ2、Bθ3且Bθ2≠Bθ3；4 個驅動桿桿長分別為l1、l2、l3、h。

如圖1所示，根據(jù)靜坐標系T-1與可調(diào)坐標系T0的關系，得到其齊次變換矩陣M-1,0：

你知不知道什么方法會使你的孩子受到折磨？這個方法就是：讓他要什么得到什么。這樣，當他碰到釘子時，他將比得不到所希望的東西更感到痛苦。

(1)

在可調(diào)坐標系T0下，動平臺的姿態(tài)角為(α′,β′,γ′)，按z-x-z型回轉變換矩陣得到T0與T1的變換矩陣R0,1，并規(guī)定α′∞[0,2π]，β′∞[0,2π]，γ′∞[0,2π]，逆時針為正。

R0,1=

(2)

在動坐標系T1下，動平臺特征點Bi的齊次坐標式為：

(3)

在可調(diào)坐標系T0下建立桿長約束方程：

(4)

在可調(diào)坐標系T0下，動平臺特征點Bi的齊次坐標式為：

(5)

則在可調(diào)坐標系下，建立約束方程：

(6)

在式(6)中，當i=1時，

(7)

由于β′∞[0,π]，得到：

(8)

令tan(α′/2)=x,tan(γ′/2)=y得到：

sinα′=2x/(1+x2) cosα′=(1-x2)/(1+x2)

sinγ′=2y/(1+y2) cosγ′=(1-y2)/(1+y2)

(9)

2.2 基于希爾維斯特(Sylvester)位置方程消元

對于多元非線性方程組，可以在某具體數(shù)值處牛頓展開，并迭代得到該值附近的數(shù)值解。此方法的求解速度慢，迭代初值難以確定，得不到方程組對應的解析解。而將多變元的非線性方程消元為單變元的多項式方程可以得到方程的解析解，其求解速度快且準確。希爾維斯特(Sylvester)消元是一種經(jīng)典消元方法，在理論上可以對任意多變元多項式方程消元求解，對于少變元、次數(shù)較低的多項式方程求解具有明顯優(yōu)勢。

所以，將式(8)、式(9)分別代入式(6)中可消去 ，得到關于x、y的多項式方程：

(10)

按此思想，先確定此多變元多項式方程的消去變元為x，令其希爾維斯特結式為0，得到單變元y的多項式方程；其次求解此單元多項式方程，最后將所得解回代，得到各變元解析解。

將式(10)改寫成矩陣形式：

(11)

式(11)有非零解的條件是當且僅當其系數(shù)矩陣行列式等于0，可以得到其結式，消去變量x,得到：

ti=f(lj,h,raj,rbj,Aθ2,Aθ3,Bθ2,Bθ3),(j= 1,2,3)

(12)

式中系數(shù)是機構結構、輸入桿長以及各角度的函數(shù)。通過Matlab符號運算可以得到系數(shù)的符號表達式。求解式(12)即可得到y(tǒng)的8組解，接著依次由式(10)、式(9)、式(7) 得到可調(diào)坐標系T0下的姿態(tài)角α′，β′，γ′再由式(1)可在靜坐標系T-1得到動平臺姿態(tài)角，最后由式(5)得到動平臺位置。由此該機構空間姿態(tài)及位置確定,其齊次變換矩陣為：

3 位置分析實例求解

為了驗算該可調(diào)并聯(lián)機構的通用位置分析模型，現(xiàn)給出一種具有代表性的支鏈布局形式——支鏈圍繞OO0均布求解實例。將求其位置解的過程進行驗算，具體如下。

如圖3所示為該可調(diào)并聯(lián)機構的一種構型簡圖，其驅動支鏈繞OO0均布，取其結構參數(shù)rai=ra=50，rbi=rb=30，Aθ3=Bθ2= 120°，Aθ2=Bθ3= 240°,任取驅動桿桿長l1=47，l2=57，l3=35及動平臺位置(0，0，-35)T得到y(tǒng)的8組解，進而得到可調(diào)坐標系T0下的姿態(tài)角α′，β′，γ′的值，結果如表1所示。

序號β′γ′α′10.8796-2.17441.380920.87961.6004-2.794530.87960.8434-2.119940.8796-0.58322.781950.8796-2.1744-0.083560.87961.60041.175770.87960.84341.806580.87960.5832-1.4281

再由式(1)可以得到靜坐標系T-1下動平臺姿態(tài)角α，β，γ的值，結果如表2所示。

表2 靜坐標系下姿態(tài)角的解值

最終，由式(5)得到動平臺位置：

為了檢驗該結果正確與否，將此可調(diào)坐標系T0下的Bi的結果帶入式(5)中得到動坐標系T1下的Bi值，之后我們利用靜坐標系T-1下的姿態(tài)角，按照z-x-z型回轉變換矩陣很容易得到T1和T-1的齊次變換矩陣M-1,1的值，接下來利用公式(13)得到靜坐標系T-1下Bi的坐標。同理可得靜坐標系T-1下的Ai的坐標最后將其代入式(14)中，經(jīng)驗算得到：l1=47，l2=57，l3=35，與題設相符。故該求解模型正確。

(13)

(14)

4 結論

(1)提出一種基于可調(diào)運動副的可調(diào)4自由度空間并聯(lián)機構，該機構可以針對復雜環(huán)境，多工況實現(xiàn)結構參數(shù)可調(diào)，并構建此可調(diào)機構的位置分析通用模型，推導出其8次的輸入輸出方程，可以快速得到其位置分析的解析解。

(2)通過引入可調(diào)坐標系，使得位置分析約束方程耦合度降低，同時降低了輸入輸出方程的次數(shù)，減少了引入的增根數(shù)。

(3)采用 Sylvester 消元法對機構的約束方程組進行消元，得到了位姿的解析解，降低了方程的求解難度。并用一個實例驗算了位置分析模型，說明了該位置分析的連貫合理性與正確性。

DOI:10.1115/1.3624995.