查書平

【摘要】2018年曲靖市中考數(shù)學(xué)壓軸題是以二次函數(shù)為基礎(chǔ)的綜合性問題，如何才能找到解決這類問題的解題途徑？本文試從解題過程分析和解題方法兩個方面進(jìn)行分析，通過捕捉有用信息、已有相關(guān)儲備信息提取、有效整合三個方面揭示了其分析過程，并用有效的解題方法來指導(dǎo)，讓解題分析過程變成一個簡明扼要的解題過程.

【關(guān)鍵詞】綜合性問題;解題分析;解題方法

一、試題呈現(xiàn)

（2018年云南曲靖23·12分）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=13x-45與x軸交于點A，經(jīng)過點A的拋物線y=ax2-3x+c的對稱軸是x=32.

（1）求拋物線的解析式.

（2）平移直線l經(jīng)過原點O，得到直線m，點P是直線m上任意一點，PB⊥x軸于點B，PC⊥y軸于點C，若點E在線段OB上，點F在線段OC的延長線上，連接PE，PF，且 PF=3PE.求證：PE⊥PF.

（3）若（2）中的點P坐標(biāo)為（6，2），點E是x軸上的點，點F是y軸上的點，當(dāng)PE⊥PF時，拋物線上是否存在點Q，使四邊形PEQF是矩形？如果存在，請求出點Q的坐標(biāo);如果不存在，請說明理由.

二、解題過程分析

（一）捕捉有用信息

結(jié)合試題捕捉到以下信息：

解決（1）問信息：點A是直線l：y=13x-43與x軸的交點;拋物線經(jīng)過點A，且對稱軸為x=32.

解決（2）問信息：直線m由直線l平移得到且經(jīng)過原點O.PB⊥x軸，PC⊥y軸，PE=3PF.

解決（3）問信息：點P坐標(biāo)為（6，2），PE⊥PF，四邊形PEQF是矩形.

（二）已有相關(guān)儲備信息提取

結(jié)合試題提取已有相關(guān)信息：

信息1：待定系數(shù)法求拋物線解析式;拋物線對稱軸為x=-b2a.

信息2：平移前后的直線k值不變;過原點的直線為y=kx的形式.

信息3：證兩直線垂直只需證他們的交角等于90°;相等銳角的同名三角函數(shù)值相等.

信息4：存在性問題的解題模式：假設(shè)結(jié)論成立;分類思想.

信息5：矩形的性質(zhì)：對邊相等且平行，每一個內(nèi)角是直角.

信息6：全等三角形的判定及性質(zhì);相似三角形的判定及相似三角形的性質(zhì).

（三）有效整合

有效整合是指把捕捉到的有用信息與提取的已有相關(guān)信息結(jié)合起來分析，并畫出思維導(dǎo)圖，使之成為一個完整嚴(yán)密的邏輯結(jié)構(gòu).

試題解題思維過程導(dǎo)圖：

三、解題方法

第（1）小題：對稱軸已知、一次項系數(shù)b已知，利用對稱軸公式求出二次項系數(shù)a;點A在二次函數(shù)圖像上已知，進(jìn)而把點A代入解析式求c.

第（2）小題：證PE⊥PF轉(zhuǎn)化為證∠FPC+∠CPE=90°，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證∠FPC=∠EPB，證∠FPC=∠EPB轉(zhuǎn)化為證cos∠FPC=cos∠EPB即可.

第（3）小題：探究矩形存在性問題，假設(shè)Q存在，設(shè)出E點坐標(biāo)為（m，0），分E點在B點左側(cè)時m<6或E點在B點右側(cè)時m>6;畫出圖形.

則問題轉(zhuǎn)化求含字母m的Q點坐標(biāo)，當(dāng)PE⊥PF時，△PBE≌△QMF，△PBE∽△PCF.利用全等及相似即可求出含字母的Q點坐標(biāo).再把Q點代入二次函數(shù)解析式即可求出Q點.

總之，以二次函數(shù)為基礎(chǔ)的綜合性問題綜合性強(qiáng)、難度較大，學(xué)生解答這類問題要有較強(qiáng)的基礎(chǔ)知識和基本技能，熟悉的解題方法;較強(qiáng)的捕捉信息、提取信息、整合信息能力，才能在具體的解題情境中有效解題.