李海紅 李海霞 呂玉姝

[摘? ? 要] 隨著科技發(fā)展的日新月異，信息化教學(xué)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中實現(xiàn)已成為教學(xué)模式的發(fā)展趨勢。信息化教學(xué)模式中微課的應(yīng)用對于高等數(shù)學(xué)教學(xué)效果的提高非常有益，它打開了高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式的新篇章。

[關(guān)鍵詞] 微課;高等數(shù)學(xué);信息化;教學(xué)

doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2019. 17. 085

[中圖分類號] G642? ? [文獻標識碼]? A? ? ? [文章編號]? 1673 - 0194（2019）17- 0217- 03

0? ? ? 引? ? 言

隨著互聯(lián)網(wǎng)的高速發(fā)展和電子設(shè)備的廣泛應(yīng)用，網(wǎng)絡(luò)逐漸成為學(xué)生獲取知識的重要途徑，進而傳統(tǒng)教學(xué)模式已經(jīng)很難滿足不同專業(yè)的學(xué)生的學(xué)習專屬需求。而在這種形式下，微課的誕生成為改革傳統(tǒng)教育模式的新力量，成為聯(lián)系學(xué)生、老師、知識的新的紐帶。高等數(shù)學(xué)是工科院校非常重要的基礎(chǔ)課，為后續(xù)課程的學(xué)習提供理論的基礎(chǔ)，其思想和方法對學(xué)生終身受用。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中運用微課平臺，對高等數(shù)學(xué)信息化教學(xué)改革具有重要的意義。

1? ? ? 如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中融入微課

1.1? ?應(yīng)用學(xué)習通平臺進行課前預(yù)習

在進行高等數(shù)學(xué)新課教學(xué)之前，教師可以利用微課[1-2]將要學(xué)的要點，通過PPT或視頻的模式放在平臺上，學(xué)生可以應(yīng)用手機或平板電腦提前預(yù)習將要學(xué)習的知識。這種方式不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的自覺性，也有助于培養(yǎng)他們自主學(xué)習的意識。比如，二重積分概念引入時，就可以在微課中，設(shè)計曲頂柱體體積問題以及平面薄片質(zhì)量問題來加深學(xué)生對定積分概念的理解。除此之外，對于學(xué)生高中階段容易遺忘的內(nèi)容，如反三角函數(shù)以及極坐標等內(nèi)容也可以利用微課溫習。學(xué)生借助手機等電子設(shè)備來觀看微課進行預(yù)習，可以使學(xué)生對將要學(xué)習的內(nèi)容大體有個掌握，進而保證在課堂上有的放矢，從而達到提升課堂效率的目的。

1.2? ?運用微課講授知識點

目前大多數(shù)的工科高等院校所選取的高等數(shù)學(xué)教材分上下冊，包含有十幾個章節(jié)，所涉及的知識較多，但所給予的課時相對有限。而每個學(xué)生的學(xué)習基礎(chǔ)以及學(xué)習能力又不盡相同，所以對于課堂上講授的知識，很多的學(xué)生都很難做到當天理解和掌握。教師可以通過微課將每一章節(jié)所講授的重難點知識做成專題訓(xùn)練模塊。如在設(shè)計函數(shù)的極限以及連續(xù)等模塊的微課時，可以將函數(shù)極限的計算、等價無窮小的概念與兩個重要極限、函數(shù)的連續(xù)與間斷點以及它的分類等內(nèi)容放在一個模塊。這樣學(xué)生就可以利用課余的時間對微課進行觀看學(xué)習，不僅有利于學(xué)生對重難點的掌握，而且有利于知識的轉(zhuǎn)化。

1.3? ?利用微課解答例題

在微課中可以展示學(xué)生集中反映的難點及典型例題的相關(guān)解法，以此來滿足不同學(xué)生的學(xué)習要求。我們可以設(shè)計典型的例題來歸納函數(shù)極限的不同求法，如一元函數(shù)極限的不同求法、多元不同類型復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法、運用拉格朗日因子法解決不同類型實際應(yīng)用的舉例、指數(shù)跟不同函數(shù)積分的計算方法、不同類型積分上限函數(shù)求導(dǎo)、在直角坐標和極坐標形式下計算二重積分、如何運用高斯公式簡化計算第二類曲面積分的方法、如何運用格林公式簡化計算第二類曲線積分的方法、如何判斷正項級數(shù)的斂散性等，將這些內(nèi)容所涉及的典型例題做成微課[3]，上傳到學(xué)習通軟件上，學(xué)生可以根據(jù)自己的薄弱環(huán)節(jié)反復(fù)對其進行學(xué)習，加深鞏固對所學(xué)知識的理解和運用。

2? ? ? 高等數(shù)學(xué)教學(xué)具體設(shè)計——以曲率為例

2.1? ?教學(xué)設(shè)計分析

首先， 我們明確所教授對象為土木學(xué)院機械專業(yè)學(xué)生， 根據(jù)他們的入學(xué)成績和以往的學(xué)習情況，按照專業(yè)分層次教學(xué)大綱制定高等數(shù)學(xué)教學(xué)目標。講授課程之前，教師可以在學(xué)習通軟件或其他教學(xué)平臺發(fā)布高等數(shù)學(xué)教學(xué)計劃和提前錄制的相關(guān)教學(xué)視頻，充分獲取相應(yīng)的資源進行課前預(yù)習;學(xué)生也可以利用便利的新興網(wǎng)絡(luò)手段提前自主學(xué)習相關(guān)知識，并通過分組討論共同學(xué)習的方式相互討論找尋解決問題的辦法。本次課曲率概念的引入可以從影響曲率的兩個因素出發(fā)，一個是切線的轉(zhuǎn)角，一個是曲線的弧長。 通過動畫讓學(xué)生能直觀地感受到這兩個因素對曲率的影響。由此給出平均曲率的概念，并且再回顧導(dǎo)數(shù)公式的引出為位置函數(shù)的變化率速度，引導(dǎo)學(xué)生給出曲線上任意一點曲率的概念。在設(shè)定目標之后，我們就要完善相應(yīng)微課的內(nèi)容。為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習興趣，曲率的概念我們需要通過動畫引出，首先提問學(xué)生在弧段長度相同時，彎曲程度跟切線的轉(zhuǎn)角有什么關(guān)系？（這里可以應(yīng)用學(xué)習通的隨機選人功能，答對加分）類似提問學(xué)生回答在切線的轉(zhuǎn)角相同時，彎曲程度跟弧度的長度有什么關(guān)系？由影響曲線彎曲程度的這兩個因素，可以得出曲線平均彎曲程度，也就是平均曲率的概念。教師啟發(fā)+提示與學(xué)生一起類比導(dǎo)數(shù)的概念得出曲線上任意一點處曲率的概念，深刻體會極限和導(dǎo)數(shù)的思想，激發(fā)學(xué)生求知欲和培養(yǎng)學(xué)習求知精神和成就感。

隨后，教師可以在PPT上給出兩個生活中的實例，直線上任意一點的曲率和圓的曲率，讓學(xué)生通過定義可以直接得出結(jié)論，可以得到直線上任意點的曲率為零，圓上任意點的曲率相同為半徑的倒數(shù)。通過實例同學(xué)們也可以發(fā)現(xiàn)這與我們的現(xiàn)實是相符合的，直線是不彎曲的，圓的彎曲程度與半徑成反比，半徑越大，彎曲程度越小。

2.2? ?“曲率”知識點微課的具體內(nèi)容

本課知識點較多且復(fù)雜， 動畫演示立體生動，因此，視頻時間初步設(shè)定為20分鐘。為達到本節(jié)課的教授的教學(xué)目標，解決難點，突出重點，我們把教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計為如下幾個階段：

2.2.1? ?根據(jù)實際問題創(chuàng)設(shè)情境引出課題

為了激勵學(xué)生學(xué)習興趣，對我們教師而言，在教授過程中我們應(yīng)盡可能的數(shù)學(xué)學(xué)習與他們的生活聯(lián)系起來，讓他們在生活中用探索的眼光認識并掌握數(shù)學(xué)。所以本節(jié)的教學(xué)開始，我們從兩個影響曲率的因素分析引出曲率的概念：

在空軍紀念日上，我國空軍組織了規(guī)模龐大的飛行表演，其中最令人震撼的是被譽為空中蛟龍的殲十出擊。下面我們看一段視頻，回顧一下當時的精彩場景。在觀看精彩的同時，我們也能深深地體會到飛行員飛行的艱辛和壓力?，F(xiàn)在請同學(xué)們思考一個問題，假設(shè)現(xiàn)在你是一名飛行員駕駛者一架戰(zhàn)斗機先是俯沖向下，然后扶搖向上，飛行的軌跡如視頻展示，你在哪一點處受到的壓力最大？壓力的大小與哪些因素有關(guān)？

我們可以發(fā)現(xiàn)，在最低處壓力最大，壓力的大小與速度有關(guān)，速度越大壓力越大，還跟哪些因素有關(guān)呢？引導(dǎo)學(xué)生思考，可讓學(xué)生舉手搶答，得到還跟飛行的軌跡有關(guān)，曲線彎曲程度越大，壓力越大。

實際上，在軍事應(yīng)用中，為了保證飛行起飛和降落的安全和高效，航空母艦的飛行甲板也是彎曲的。這些都與曲線的彎曲程度有關(guān)，由此引出本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容曲率。

因此我們用單位長度的弧段上的切線轉(zhuǎn)角的大小來刻畫曲線的彎曲程度，由此引進曲率的概念如下：

2.2.2? ?經(jīng)典講解例題

隨后，教師可以在PPT上給出兩個生活中的實例，求直線上任意一點的曲率和圓的曲率，讓學(xué)生通過定義可以直接得出結(jié)論?？梢缘玫浇Y(jié)論與我們的直覺“直線不彎曲”相一致.，圓上任意點的曲率相同為半徑的倒數(shù)。這與我們的直覺“圓的彎曲程度處處相同，而半徑越小，圓彎曲得越厲害”是一致的。以上給出了曲率的定義式，但是對于更為復(fù)雜的曲線，定義式不合時宜，啟發(fā)學(xué)生如果給出曲線的一般式能否有相應(yīng)的計算公式呢？如此引出曲率的計算公式。

2.2.3? ?弧微分概念的引出

教師在PPT上動畫給出函數(shù)圖像，設(shè)x，Δx 為（a，b）內(nèi)兩個鄰近的點，它們在曲線y=f（x）上的對應(yīng)點為M，N ，并設(shè)對應(yīng)于x的增量Δx，弧s的增量為Δs（如圖4）于是，有：

2.2.4? ?掌握曲率的計算并進行適當延展

教師精選典型例題發(fā)布在學(xué)習通上，同時隨機抽點兩名同學(xué)到黑板上解答，教師也可隨時檢查學(xué)生在學(xué)習通上上傳的答案，實時檢驗所學(xué)效果。

（1）計算拋物線y=ax2+bx+c上任一點處的曲率，并求出曲率最大處的位置。應(yīng)用學(xué)習通軟件提問曲率最大處在哪兒？ 為頂點處，與現(xiàn)實印象相符，加深學(xué)生對曲率概念的理解。

飛行員俯沖飛行在原點可以看成是做瞬時的圓周運動，在原點處對飛行員進行受力分析，受到座椅對他的支持力和自身的重力，由作用力等于反作用力，支持力就等于飛行員對座椅的壓力。物體作圓周轉(zhuǎn)動所受的向心力F來自哪兒呢？引導(dǎo)學(xué)生以小組的方式討論得出結(jié)論，并可以派出代表，到黑板上給同學(xué)們進行解答。學(xué)生解答更能引起學(xué)生的關(guān)注度，使每個學(xué)生能參與到課堂中來，解答好的全小組加平時分獎勵，解答不理想的小組其他成員可以補充，這樣可以充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習積極性。

2.2.5? ?變式延伸進行重構(gòu)

教師給出開放題目，剛才給出并應(yīng)用的是直角坐標形式下的曲率的計算公式， 現(xiàn)在如果給出曲線是由參數(shù)方程給出的，如何得到計算公式呢？另外教師也可以適當引用一些考研題，適當分析引申題目， 重點突出例題的作用，有利于學(xué)生對知識進行的聯(lián)系、消化，從而達到舉一反三的效果。

3? ? ? 結(jié)? ? 語

為了能夠保證微課在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中充分發(fā)揮出它的積極有效的作用，作為教師首先就得提前并且時時對高等數(shù)學(xué)中的微課資源進行必要的補充和替換，以此保障學(xué)生在學(xué)習高等數(shù)學(xué)時的不同需求。豐富的微課學(xué)習能夠讓學(xué)生掌握快捷高效的學(xué)習方法，也能在體驗參與中愉快地學(xué)習。

主要參考文獻

[1]楊雯靖. 基于微課的高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式研究[J].開封教育學(xué)院學(xué)報，2015（10）：118-119.

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[3]左傳桂. 淺論微課在高等數(shù)學(xué)信息化教學(xué)中的應(yīng)用[J].宿州教育學(xué)院學(xué)報，2014（6）：24-225.