杜瑞鋒， 裴向軍, 張曉超, 李愛君, 張振義

(1.成都理工大學(xué) 地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護國家重點實驗室，成都 610059；2.內(nèi)蒙古建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑工程學(xué)院，呼和浩特 010070；3.呼和浩特軌道投資有限責(zé)任公司，呼和浩特 010060)

0 引 言

土工擊實試驗是土木、水利、鐵路等工程建設(shè)中用于評價土體被壓實程度的室內(nèi)標準試驗，關(guān)系到工程質(zhì)量的好壞與耐久性等問題[1-2]。因此，在生產(chǎn)實踐、科學(xué)研究中，擊實試驗的重視程度比較高。盡管不同的行業(yè)規(guī)范中對擊實試驗的要求基本相同，但實踐中有關(guān)擊實試驗成果整理和表現(xiàn)形式卻達不到較好統(tǒng)一性和規(guī)范性。

1 擊實試驗數(shù)據(jù)處理方法現(xiàn)狀

擊實試驗成果曲線的正確表達方式應(yīng)按土工規(guī)范中的樣圖來繪制[3]，如圖1所示，曲線部分為擊實數(shù)據(jù)直接繪制的，斜線部分為擊實數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上繪制的，為土體理論上達到飽和時含水量與干密度的關(guān)系，即飽和度Sr=100%，稱為飽和線或零空氣線。筆者在查閱相關(guān)擊實試驗文獻中，發(fā)現(xiàn)工程實踐中的成果曲線整理中存在不規(guī)范的例子極多。如成果曲線圖中缺少飽和線的情況[4-9]；將有關(guān)擊實試驗數(shù)據(jù)[10]整理成圖形后，發(fā)現(xiàn)擊實曲線與飽和線出現(xiàn)交叉現(xiàn)象，表明該擊實數(shù)據(jù)存在嚴重的錯誤，如圖2所示。

圖1 文獻[3]樣圖

圖2 基于文獻[10]數(shù)據(jù)繪制的擊實試驗曲線

工程實踐中，擊實試驗數(shù)據(jù)處理時確定峰值點的方法有兩種。其一為圖解法，但人為的隨意性較大，隨著計算機和數(shù)值技術(shù)的普及，已經(jīng)不能適應(yīng)時代的發(fā)展；其二為數(shù)值法，一般有插值法和擬合法兩種。

黃英等[11]提出通過數(shù)值解法獲取擊實試驗基本參數(shù)的思想，認為最大干密度和最優(yōu)含水率之間關(guān)系符合2次函數(shù)關(guān)系，對試驗數(shù)據(jù)進行擬合處理，可用于數(shù)據(jù)點不足5點的情況下的分析，但文中分析的手段不足且深入不夠，且沒有應(yīng)用計算機程序給出處理擊實試驗數(shù)據(jù)的適用工具。

卿啟湘等[12]指出擊實數(shù)據(jù)處理存在混亂無序的問題，提出采用高次多項式擬合擊實試驗數(shù)據(jù)的一般性原則和方法，即在眾多的n次多項式擬合曲線中，采用殘差最小和最小二乘χ2分布的累計概率P較小為評價指標，來考察所選用的n次多項式是否合理的做法。該文對擬合方法的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)展開詳細的闡述，但全文只討論1個試驗實例，認為3次多項式擬合效果好，沒有較強的代表性，以及缺乏計算程序上的可操作性。陳進安等[13]進行了Newton插值法求解土的最大干密度和最有含水量的實踐，但對插值法和擬合法的概念不清，對擊實曲線峰值點的確定不夠深入。

趙敏等[14]指出石灰路基土的最佳擊實指標宜采用3點2次法或2次曲線擬合法來確定，且曲線擬合次數(shù)不易過高，但該文討論的擊實試驗實例偏少，且應(yīng)用“3點2次法”時只保留中部3個點而舍棄其他數(shù)據(jù)的做法是不妥的。

根據(jù)相關(guān)文獻資料，分析和研究了擊實試驗數(shù)據(jù)處理的不同方法，即按照插值法、擬合法、兩者兼顧的情況來分類統(tǒng)計，各自所占的百分比統(tǒng)計分布情況如圖3所示。

圖3 插值法及擬合法應(yīng)用情況分布圖

總之，以上有關(guān)擊實試驗數(shù)據(jù)處理研究中，應(yīng)用數(shù)值法無疑是正確的選擇[15-16]，但目前的研究中缺乏綜合性以及必要的計算機程序。本研究中，將忽略各類土本身的差異性，僅就擊實試驗數(shù)據(jù)的處理問題，展開有關(guān)數(shù)值插值法和擬合法適用性的討論，并提出完整的解決方案，以期使擊實試驗數(shù)據(jù)處理過程更具有科學(xué)性和可操作性。

2 數(shù)值插值與擬合方法概述

數(shù)學(xué)上處理數(shù)據(jù)或函數(shù)時，基本的思想是用簡單函數(shù)逼近復(fù)雜函數(shù)、用線性函數(shù)逼近非線性函數(shù)，從幾何上看是以離散的點逼近連續(xù)曲線、以直線段替代彎曲弧段，數(shù)值插值法就是這一思路的最佳體現(xiàn)之一[17-19]。而多項式常被作為簡單函數(shù)來進行相應(yīng)的數(shù)值計算，其運算簡便，并且隨著多項式次數(shù)的增高，可以逼近任何一段光滑的函數(shù)曲線[18]。

常用的數(shù)值插值法有Lagrange、Newton、3次樣條、分段3次Hermite插值法等，且插值函數(shù)均以多項式為基函數(shù)，其存在的唯一性、收斂性、插值余項(或截斷誤差)等在相關(guān)的論著中有詳細證明過程[17-18]。

數(shù)值擬合處理的前提是肯定試驗點存在一定的誤差。通過構(gòu)造一個函數(shù)f(x)，使之能表達試驗點間的關(guān)系，不要求f(x)通過所有的點，收斂條件是使得該函數(shù)與試驗點間的殘差(或稱誤差、偏差)達到最小。常用的擬合方法之一為多項式擬合，采用的準則常為最小二乘準則[17]。一般地，n個數(shù)據(jù)點，擬合多項式的最高次數(shù)為(n-1)次。

3 擊實試驗數(shù)據(jù)處理方法研究

利用Matlab軟件編制完備的插值和擬合程序，重點分析是否存在“病態(tài)”現(xiàn)象、曲線的光滑程度、峰值點數(shù)值及相對誤差等。該程序能完成Lagrange或Newton插值、3次樣條(spline)插值、分段3次Hermite插值法程序，以及能完成2～(n-1)次多項式擬合程序(n為數(shù)據(jù)點個數(shù))。

本研究中，共選取36個擊實試驗數(shù)據(jù)實例。限于篇幅，僅展示6個實例的數(shù)值分析情況，其中包括3個黃土擊實試驗實例、1個文獻[3]中實例、1個文獻[14]中實例、1個文獻[12]中實例。有趣的是，擬合次數(shù)越高，多項式的擬合效果就逐漸變成插值效果，即擬合函數(shù)通過所有的試驗數(shù)據(jù)點，直接說明在數(shù)值計算中，“擬合”和“插值”都是函數(shù)“逼近”的研究范疇，并以實例證實了多項式可以逼近任何函數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)律。

圖4、5所示分別為甘肅蘭州、寧夏石碑塬黃土擊實試驗曲線，3種方法的插值中，Lagrange和3次樣條spline插值法均出現(xiàn)數(shù)值振蕩；而分段3次Hermite插值法的效果最好；在擬合處理中，3次多項式擬合方法最好，優(yōu)于2次多項式，而4次多項式出現(xiàn)嚴重的數(shù)值振蕩，不再具有適用性。圖6所示為陜西富縣黃土的擊實試驗曲線，Lagrange、3次樣條spline插值法稍有數(shù)值振蕩，從曲線光滑程度看，分段3次Hermite的插值效果最好；在擬合處理中，3次多項式擬合方法最好，優(yōu)于2次多項式，而4次多項式出現(xiàn)輕微數(shù)值振蕩。

(a) Lagrange or Newton

(b) spline

(c) 分段3次Hermite

(d) 2次擬合

(e) 3次擬合

(f) 4次擬合

圖4 甘肅蘭州黃土擊實試驗曲線(空心圈為曲線峰值點，下同)

(a) Lagrange or Newton

(b) spline

(c) 分段3次Hermite

(d) 2次擬合

(e) 3次擬合

(f) 4次擬合

圖5 寧夏石碑塬黃土擊實試驗曲線

圖6所示為陜西富縣黃土的擊實試驗曲線,Lagrange、3次樣條spline插值法稍有數(shù)值振蕩，從曲線光滑程度看，分段3次Hermite的插值效果最好；在擬合處理中，3次多項式擬合方法最好，優(yōu)于2次多項式，而4次多項式出現(xiàn)輕微數(shù)值振蕩。

圖7、8所示分別為基于文獻[3,14]中數(shù)據(jù)而繪制的擊實試驗曲線。由于擊實試驗數(shù)據(jù)較為理想，所以沒有出現(xiàn)較嚴重的數(shù)值振蕩，2次多項式的擬合效果稍低于3次多項式，4次多項式擬合中出現(xiàn)輕微的數(shù)據(jù)振蕩。

(a) Lagrange or Newton

(b) spline

(c) 分段3次Hermite

(d) 2次擬合

(e) 3次擬合

(f) 4次擬合

圖6 陜西富縣黃土擊實試驗曲線

(a) Lagrange or Newton

(b) spline

(c) 分段3次Hermite

(d) 2次擬合

(e) 3次擬合

(f) 4次擬合

圖7 基于文獻[3]數(shù)據(jù)繪制的擊實試驗曲線

(a) Lagrange or Newton

(b) spline

(c) 分段3次Hermite

(d) 2次擬合

(e) 3次擬合

(f) 4次擬合

圖8 基于文獻[14]數(shù)據(jù)繪制的擊實試驗曲線

圖9中試驗數(shù)據(jù)來自文獻[12]，3種插值方法均具有較好的光滑性，曲線的峰值點基本相同；而擬合處理中，3次擬合法中可決系數(shù)雖高于2次擬合多項式，但其出現(xiàn)輕微的數(shù)值振蕩，整體擬合效果仍優(yōu)于2次擬合多項式，同樣具有輕微數(shù)值振蕩的4次插值多項式，具有更高的可決系數(shù)，其峰值點的數(shù)值幾乎接近插值法中數(shù)值，因本例中數(shù)據(jù)點多，故可進行5次多項式擬合。

由以上各擊實試驗實例的數(shù)值處理結(jié)果可知，在插值方法中，總體上講分段3次Hermite法效果最優(yōu)，能有效地消除數(shù)值振蕩問題；但不能一概而論，有些實例中3次樣條插值法的曲線光滑程度要優(yōu)于分段3次Hermite法，如圖7(b)的光滑程度要優(yōu)于圖7(c)；而在圖9中，3種插值方法中，圖9(a)具有最好的光滑程度且沒有出現(xiàn)數(shù)值振蕩，說明Lagrange或者Newton在實踐中也是可以采用的。因此，在插值法中，首選分段3次Hermite插值法，其次是3次樣條插值法，最后是Lagrange或者Newton插值法。在擬合處理時，36個實例中3次多項式無一例外地比2次多項式更能適應(yīng)擊實數(shù)據(jù)的處理問題，具有更高的可決系數(shù)。而高于3次的多項式則趨向或等同于“插值”效果，失去“擬合”的意義。

(a) Lagrange or Newton

(b) spline

(c) 分段3次Hermite

(d) 2次擬合

(e) 3次擬合

(f) 4次擬合

(g) 5次擬合

圖9 基于文獻[12]數(shù)據(jù)繪制的擊實試驗曲線

更值得說明的是圖4～8中，(a)圖為Lagrange或Newton插值后的圖形，函數(shù)為4次多項式，均與各自圖中的(f)圖相同，函數(shù)均為4次多項式，兩圖能達到相同的峰值點數(shù)值，直接說明了高次的擬合函數(shù)將轉(zhuǎn)變?yōu)椴逯岛瘮?shù)狀態(tài)；具有同樣表現(xiàn)的還有圖9(a)為5次多項式，與圖9(g)表現(xiàn)為一樣的圖形，具有“殊途同歸”的效果。因此高次多項式擬合在擊實試驗中是不適用的。最后說明一下，3次多項式擬合的適用性最好，不過在極少數(shù)的實例中，2次多項式擬合中可決系數(shù)也可達到0.9以上。

4 擊實試驗數(shù)據(jù)處理的建議方案

基于以上分析和研究，插值法和擬合法均可用于擊實曲線試驗峰值點。實踐中兩種方法如何選擇？建議將插值法和擬合法結(jié)合起來使用，第1步使用插值法，第2步使用擬合法?？偟脑u價標準以3次多項式擬合結(jié)果為基準(要求可決系數(shù)≥0.85)，來評價3種插值方法的相對誤差，以相對誤差不超過±10%為限來判定擊實試驗結(jié)果的優(yōu)劣。如果3種插值法中的任何一種的相對誤差不超過±10%，表明擊實試驗數(shù)據(jù)可用；如果3種插值方法中相對誤差都超過±10%則表明試驗數(shù)據(jù)不可用，需進行補做或重做試驗。將以上建議的方案以流程圖方式表達出來，如圖10所示。

圖10 建議的解決方案流程圖

室內(nèi)擊實試驗是用于指導(dǎo)現(xiàn)場填土(料)壓實施工的試驗，土體的壓實度按下式評價:

λc=ρd/ρd max

(1)

式中:ρd為現(xiàn)場施工壓實時實測的干密度，ρd max為室內(nèi)擊實試驗得到的最大干密度。因此，在不同的壓實度下，ρd max決定著現(xiàn)場施工中ρd必須達到所需的值，即ρd≥λc·ρd max。這就反映出擊實試驗結(jié)果的準確性將直接影響著工程質(zhì)量以及相應(yīng)的工程造價。

根據(jù)以上的分析，按照本文建議的方案確定ρd max的數(shù)值時，在曲線光滑度、可決系數(shù)等能滿足的前提下，應(yīng)優(yōu)先能使ρd max具有較大值，這是對施工質(zhì)量偏于有保證的考慮。

5 結(jié) 論

(1) 土工擊實試驗成果曲線的正確表達方式如文獻[3]中的樣圖，即基本組成部分為試驗數(shù)據(jù)點、曲線、斜線部分，以及必要文字說明部分，如最大干密度、最優(yōu)含水量、飽和線等；否則，在實踐應(yīng)用以及科學(xué)研究中，不能稱其為完整的擊實試驗成果曲線。

(2) 基于36個擊實試驗數(shù)據(jù)實例，研究了插值和擬合法的適應(yīng)情況；限于篇幅，只列出其中的6個實例，3個來自筆者所在的課題組研究中，3個來自其他文獻。通過分析，分段3次Hermite插值法是處理擊實試驗的首選方法，其次是3次樣條插值法，最后是Lagrange或Newton插值法；擬合方法中3次多項式處理效果最好，而2次多項式由于其函數(shù)圖形對稱的特點，與3次多項式擬合效果相比，具有較低的可決系數(shù)，實踐中不應(yīng)采取2次多項式擬合方法；同時，高于4次的多項式擬合操作中，會因多項式的良好逼近性使擬合狀態(tài)變?yōu)椴逯禒顟B(tài)，也不能做為擬合函數(shù)使用。

(3) 室內(nèi)擊實試驗是用于指導(dǎo)現(xiàn)場壓實施工質(zhì)量控制指標的室內(nèi)試驗，本文提出的解決方案有待于實際施工中進一步檢驗其適用性。

(4) 擊實試驗是基本土工試驗之一，就其擊實能量、試樣制備方法、試樣類別等而言具有復(fù)雜性。目前學(xué)者們從不同的路線進行研究，如基于改進擊實設(shè)備[20]、現(xiàn)場壓實機械[21]、非飽和土強度理論[22]、評價指標改進[23]等的研究路線，結(jié)合實踐中壓實路基或壩基等工程開展了大量的且使用現(xiàn)代多種科技測量手段的研究，有一定的創(chuàng)新性；但如何使擊實試驗數(shù)據(jù)處理過程及結(jié)果體現(xiàn)更高的科學(xué)性、可操作性等仍然是科研、生產(chǎn)實踐中最基本的研究工作，同時基于Matlab軟件開展的數(shù)值計算及可視化應(yīng)用等應(yīng)當引起工程界足夠的重視。目前進行的諸多研究仍不足以解決擊實試驗數(shù)據(jù)在數(shù)學(xué)上的分布規(guī)律，因此有待于將室內(nèi)試驗、現(xiàn)場試驗及理論分析結(jié)合起來進一步研究。