周如俊
摘? ? 要:“隱性失分”是由考生非知識性因素造成的主要失分類型.針對“會而不對”“對而失時”“隱而不發(fā)”“對而不全”四種“隱性失分”的情況,教師應(yīng)該發(fā)揮“通法”“巧法”各自功能,通過數(shù)形結(jié)合直觀判斷、簡化運算,挖掘隱含條件、尋找解題突破關(guān)鍵,強(qiáng)化分類討論的思想訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和周密性等相應(yīng)教學(xué)對策.
關(guān)鍵詞:高考數(shù)學(xué);隱性失分;隱含條件
【教學(xué)對策】隱含條件的挖掘能有效檢驗學(xué)生分析問題、解決問題的能力,高考試題中隱含條件可能隱藏在幾何圖形中(如試題中的字母、變量或關(guān)系式所隱含的幾何圖形的特征和位置關(guān)系),也可能隱藏在數(shù)學(xué)概念定義中(如試題所涉及的基本概念所屬對象的性質(zhì),適合的數(shù)學(xué)模型或公式、定理、法則等),還可能隱藏在已知條件的相互聯(lián)系中(如試題題設(shè)中的字母、變量或關(guān)系式所隱含的制約條件和取值范圍).因此,在平時數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,要引導(dǎo)學(xué)生善于從數(shù)學(xué)概念之中,從公式的使用條件中,從變量的取值范圍中,從題目的結(jié)構(gòu)特征中,從題設(shè)條件的相互制約中,從題設(shè)的不變因素中,從式子的特殊結(jié)構(gòu)中,從數(shù)形結(jié)合中挖掘隱含條件[3],找到解題突破關(guān)鍵,發(fā)現(xiàn)解題契機(jī),找到解題所缺的元素,從而使問題迎刃而解.
四、“對而不全”——“漏”解的隱性失分
所謂“對而不全”,是指考生解答考題時,面對有些數(shù)學(xué)試題題設(shè)或結(jié)論多種可能的情形,常因缺乏分類意識或思維的片面性,沒有充分運用“化整為零”“積零為整”的思想與歸類整理的方法,解答時只解出其中一種情形,而忽視了其他可能的情況,導(dǎo)致“對而不全”,造成“漏”解的隱性失分后果.
例4? ?(2019年江蘇高考第18題)如圖6,一個湖的邊界是圓心為O的圓,湖的一側(cè)有一條直線型公路l,湖上有橋AB(AB是圓O的直徑).規(guī)劃在公路l上選兩個點P,Q,并修建兩段直線型道路PB,QA.規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.已知點A,B到直線l的距離分別為AC和BD(C,D為垂足),測得AB=10,AC=6,BD=12(單位:百米).
(1)若道路PB與橋AB垂直,求道路PB的長;
(2)在規(guī)劃要求下,P和Q中能否有一個點選在D處?并說明理由;
(3)在規(guī)劃要求下,若道路PB和QA的長度均為d(單位:百米).求當(dāng)d最小時,P,Q兩點間的距離.
【解析】本題主要考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力.第(2)(3)題均需要分類討論求解.不少考生缺乏分類意識,解答時分類不完全,導(dǎo)致“對而不全”,造成“漏”解的隱性失分后果.
解題思維簡析如下(限于篇幅,解題過程略):
(1)建立如圖7所示空間直角坐標(biāo)系,分別確定點P和點B的坐標(biāo),然后利用兩點之間距離公式可得道路PB的長;PB=15.
(2)分類討論P和Q中能否有一個點選在D處即可.
參考答案:P和Q均不能選在D處.
(3)先討論點P的位置,然后再討論點Q的位置即可確定當(dāng)d最小時,P,Q兩點間的距離:PQ=17+3[21].
【教學(xué)對策】分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法,也是高考數(shù)學(xué)的一種解題思想.分類討論是歷年數(shù)學(xué)高考命題的重點與熱點,而且也是高考的一個難點.平時教學(xué)要加強(qiáng)分類討論的解題思想訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和周密性,以及認(rèn)識問題的全面性和深刻性.一是堅持分類討論的“三原則”:分類的“全面性”(全域要確定,分類要“既不重復(fù),也不遺漏”)、分類的“標(biāo)準(zhǔn)性”(在同一次分類中只能按所確定的一個標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行)、分類的“逐級性”(對多級討論,應(yīng)逐級進(jìn)行,不能越級).二是熟習(xí)分類討論的常見情形.由概念引起的分類討論;由運算要求引起的分類討論;由性質(zhì)、定理、公式引起的分類討論;由圖形類型、位置引起的分類討論;由參數(shù)變化引起的分類討論[4].三是明確分類討論的步驟.掌握分類標(biāo)準(zhǔn),進(jìn)行合理分類,做到不重不漏;逐類討論,獲得階段性結(jié)果;歸納總結(jié),得出結(jié)論.四是分類討論的關(guān)注點.直接回避(如運用反證法、求補(bǔ)法、消參法等有時可以避開煩瑣討論);按主元分類的結(jié)果應(yīng)求并集;按參數(shù)分類的結(jié)果分類討論.[[□][◢]]
參考文獻(xiàn):
[1]鄭雅允,劉紅,宋玲花,等.高中生數(shù)學(xué)解題中元認(rèn)知與思維定式的關(guān)系研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2012(3):26-28,41.
[2]謝全苗.數(shù)學(xué)解題教學(xué)中要辯證地看待“通法”與“巧法”[J].數(shù)學(xué)通報,2001(6):33-34.
[3]楊花. 如何挖掘數(shù)學(xué)題中的隱含條件[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2011(10):49-51.
[4]齊頎.高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的分類討論策略[J].試題與研究,2019(6):27.
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