甘 藝,吳保衛(wèi)

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710119)

0 引 言

在實(shí)際的控制系統(tǒng)中, 由于一些環(huán)境因素的影響, 控制元件發(fā)生故障是不可避免的, 如控制器失效, 執(zhí)行器失效等。 控制元件失效會(huì)導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)不穩(wěn)定甚至性能惡化。 因此, 在控制元件失效的情況下,研究整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性引起了廣泛關(guān)注[1-3]。穩(wěn)定性是系統(tǒng)的重要性能之一,指數(shù)穩(wěn)定和 Lyapunov 穩(wěn)定反映了在無(wú)限時(shí)間間隔內(nèi)系統(tǒng)逐漸趨于零的行為, 而有限時(shí)間穩(wěn)定 (FTS) 和輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定 (IO-FTS) 則反映了在有限或者較短時(shí)間間隔內(nèi)的系統(tǒng)行為。實(shí)際應(yīng)用中, 有時(shí)只需要系統(tǒng)在有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)的暫態(tài)性能,研究系統(tǒng)的輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定就非常必要[4-10]。 文獻(xiàn) [4] 介紹了線性系統(tǒng)的輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定的概念；文獻(xiàn) [5-6]分別研究了奇異時(shí)變系統(tǒng)和脈沖系統(tǒng)的輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定； 文獻(xiàn) [7-9] 研究了分?jǐn)?shù)階切換系統(tǒng)的輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定；文獻(xiàn) [10] 對(duì)具有時(shí)變和擾動(dòng)延遲的正切換系統(tǒng)的輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定進(jìn)行了研究。

切換系統(tǒng)[11-12]是由若干連續(xù)時(shí)間子系統(tǒng)或離散時(shí)間子系統(tǒng)及作用在其中的切換規(guī)則構(gòu)成的混雜系統(tǒng)。 即使一部分或者所有的子系統(tǒng)都不穩(wěn)定, 通過(guò)設(shè)計(jì)合適的切換規(guī)則, 可使得整個(gè)系統(tǒng)保持穩(wěn)定。 因此, 切換系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)在化工過(guò)程[13]、 電力系統(tǒng)[14]、 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)[15]及近空間飛行器控制系統(tǒng)[16]等得到了廣泛應(yīng)用。 文獻(xiàn) [17] 研究了在平均駐留時(shí)間下切換系統(tǒng)的輸入輸出狀態(tài)穩(wěn)定特性； 文獻(xiàn) [18] 在事件觸發(fā)基礎(chǔ)上研究了具有異步切換的網(wǎng)絡(luò)線性切換系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定； 文獻(xiàn) [19] 研究了脈沖切換系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定； 文獻(xiàn) [20] 研究了基于事件觸發(fā)的不確定時(shí)滯切換系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定； 文獻(xiàn) [21] 在事件觸發(fā)下對(duì)切換奇異系統(tǒng)的輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定進(jìn)行了研究。 但是目前還沒(méi)有基于執(zhí)行器失效的線性系統(tǒng)的輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定的結(jié)果； 鑒于此, 本文討論在執(zhí)行器失效的情況下線性系統(tǒng)的輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定。 首先, 給出了基于執(zhí)行器失效的系統(tǒng)不可用率的概念。 然后, 通過(guò)系統(tǒng)不可用率并且利用平均駐留時(shí)間和 Lyapunov 方法，得到輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定的可解條件。 相較于文獻(xiàn)[1-2]， 本文主要考慮系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)的暫態(tài)性能， 這些條件比文獻(xiàn)[4]中給出的條件保守且適用范圍更廣。 文獻(xiàn)[4]只討論了最基本的線性系統(tǒng)的輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定。 此外, 文獻(xiàn)[4]中的系統(tǒng)可以作為特例包含于本文所考慮的系統(tǒng)中。 文中,Rn表示n維歐式向量空間,Rn×m表示所有的n×m維的實(shí)矩陣； 對(duì)于矩陣P,P>0 表示P是正定矩陣,PT是矩陣P的轉(zhuǎn)置,P-1是矩陣P的逆。

1 問(wèn)題陳述和預(yù)備知識(shí)

考慮線性系統(tǒng)

(1)

式中:x(t)∈Rn,u(t)∈Rp,y(t)∈Rq是系統(tǒng)狀態(tài), 控制輸入和測(cè)量輸出;A,B,C,G是適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣;w(t)∈Rm是連續(xù)的外部干擾, 并且滿足

(2)

式中：T表示有限時(shí)間；S表示正定矩陣;d表示一個(gè)正常數(shù)。

假設(shè)在一段時(shí)間內(nèi), 執(zhí)行器在ω內(nèi)失效并且需要一段時(shí)間恢復(fù)。因此, 系統(tǒng)(1)的狀態(tài)可以寫(xiě)成如下分段微分方程:

(3)

對(duì)于系統(tǒng)(1)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器u(t)=Kσ(t)x(t)=Lσ(t)Qσ(t)x(t), 將u(t)代入系統(tǒng)(1)得到對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)

(4)

因此,系統(tǒng)(4)可以簡(jiǎn)化為下面的切換系統(tǒng)

(5)

定義1[11]對(duì)于任意的切換信號(hào)σ(t)和t2≥t1>0,令Nσ(t)(t1,t2)是時(shí)間間隔 (t1,t2)內(nèi)σ(t)的切換次數(shù)。若存在正數(shù)N0和τa使得

(6)

式中:τa稱為平均駐留時(shí)間;N0稱為抖振界。 為方便起見(jiàn), 文中選取N0=0。

定義3[7]系統(tǒng) (1) 關(guān)于(R,P,T)輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定, 若對(duì)于給定的切換信號(hào)σ(t),有

yT(t)Py(t)

(7)

式中:R是一類(lèi)定義在[0,T]上的輸入信號(hào);P>0,T>0,c>0。

2 主要結(jié)論

針對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)(4),討論系統(tǒng)輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定的充分條件。

定理1對(duì)于給定的 (R,P,T),?t∈[0,T],若存在非奇異矩陣Qi>0 (i=1, 2),S>0及實(shí)數(shù)α>0,β>0,μ>0, 使得下列條件成立:

(8)

(9)

Q1≤μQ2

(10)

Q2≤μexp((α+β)T)Q1

(11)

(12)

并且切換信號(hào)滿足

(H1) 不穩(wěn)定率

(H2) 平均駐留時(shí)間

則閉環(huán)系統(tǒng)(4)是輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定的。

證明當(dāng)t∈[t2k,t2k+1)時(shí),構(gòu)造如下形式的Lyapunov函數(shù):

V1(t)=xT(t)Q1x(t)

(13)

對(duì)V1(t)關(guān)于t求導(dǎo),得

(14)

式中

ξ(t)=[xT(t)wT(t)]T

(15)

(16)

(17)

因此

(18)

從t2k到t積分可得

V1(t)≤exp(-α(t-t2k))V(t2k)+

(19)

同理,當(dāng)t∈[t2k+1,t2k+2) 時(shí), 構(gòu)造Lyapunov函數(shù):

V2(t)=xT(t)Q2x(t)

(20)

對(duì)V2(t)關(guān)于t求導(dǎo)得

(21)

式中

(22)

(23)

因此

(24)

從t2k+1到t積分可得

(25)

不失一般性, 假設(shè)執(zhí)行器在 [t2j,t2j+1) 工作, 在 [t2j+1,t2j+2) 失效, 其中j=1,2,…。定義如下形式的Lyapunov函數(shù)：

V(t)=Vσ(t)(t),σ(t)=1,2

其中,Vσ(t)(t)=xT(t)Qσ(t)x(t)。假設(shè)V1(t) 在[t2j,t2j+1)是被激活的,V2(t)在[t2j+1,t2j+2) 是被激活的,j=1,2,…。那么,?t>0,有

(26)

由式(9),(10)和(25),當(dāng)t∈[t2k,t2k+1)時(shí),有

(27)

式中

同理,當(dāng)t∈[t2k+1,t2k+2)時(shí)，有

(28)

所以,對(duì)于t∈[t2k,t2k+2),有

(29)

在零初始條件下, 結(jié)合(H1),(H2), 式(28)等價(jià)于

(30)

由于平均駐留時(shí)間滿足(H2),式(30)等價(jià)于

V(t)=xT(t)Qσ(t)x(t)

(31)

再由式(11)可得

yT(t)Pσ(t)y(t)=xT(t)CTPσ(t)Cx(t)≤

xT(t)Qσ(t)x(t)

(32)

因此,閉環(huán)系統(tǒng)(4)是輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定的。定理1得證。

3 數(shù)值算例

通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證所提出的控制器設(shè)計(jì)方法和輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定的有效性。

例1考慮線性系統(tǒng)(1),參數(shù)如下:

由于執(zhí)行器失效,系統(tǒng)(1)可以化為閉環(huán)系統(tǒng)(4),其中,

為進(jìn)一步證明本文設(shè)計(jì)方法的有效性，分別給出執(zhí)行器不失效及失效下yT(t)Py(t)的仿真結(jié)果，如圖1～2所示。同時(shí)給出切換信號(hào)的仿真結(jié)果，如圖3所示。

圖 1 執(zhí)行器不失效yT(t)Py(t)的狀態(tài)軌跡圖Fig.1 The trajectory of yT(t)Py(t) without actuator failures

圖 2 執(zhí)行器失效yT(t)Py(t)的狀態(tài)軌跡圖Fig.2 The trajectory of yT(t)Py(t) with actuator failures

圖 3 切換信號(hào)σ(t)Fig.3 The switching signal σ(t)

例2考慮具有外部擾動(dòng)的機(jī)械旋轉(zhuǎn)切削過(guò)程的可靠控制問(wèn)題[22],選擇如下系數(shù)矩陣:

由于執(zhí)行器失效, 系統(tǒng)可以化為閉環(huán)系統(tǒng), 其中,

執(zhí)行器不失效和執(zhí)行器失效下yT(t)Py(t)的仿真結(jié)果如圖4～5所示。切換信號(hào)的仿真結(jié)果如圖6所示。

圖 4 執(zhí)行器不失效yT(t)Py(t)的狀態(tài)軌跡圖Fig.4 The trajectory of yT(t)Py(t) without actuator failures

圖 5 執(zhí)行器失效yT(t)Py(t)的狀態(tài)軌跡圖Fig.5 The trajectory of yT(t)Py(t) with actuator failures

圖 6 切換信號(hào)σ(t)Fig.6 The switching signal σ(t)

4 結(jié) 語(yǔ)

討論了在執(zhí)行器失效的情況下線性系統(tǒng)的輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定問(wèn)題。 基于切換的方法, 通過(guò)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，保證了在執(zhí)行器失效的情況下系統(tǒng)的輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定性, 同時(shí)也得到了狀態(tài)輸出反饋控制器的系數(shù)矩陣。后續(xù)將圍繞時(shí)滯奇異系統(tǒng)和不確定奇異系統(tǒng)在執(zhí)行器失效下的輸入輸出有限時(shí)間穩(wěn)定展開(kāi)討論。