王強(qiáng)國(guó)

（寶應(yīng)縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)，江蘇 揚(yáng)州 225800）

數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)抽象性特質(zhì)的最重要的表征。無法獲得符號(hào)所蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)意義，成為學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生“畏懼”心理的主要原因之一。幫助學(xué)生感知、發(fā)現(xiàn)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)符號(hào)的意義，提升對(duì)符號(hào)意義的獲取能力，是數(shù)學(xué)教學(xué)無法回避的課題。實(shí)踐中，一線教者由于認(rèn)知不力，時(shí)常出現(xiàn)偏頗，效率低下，同時(shí)也影響著學(xué)生與數(shù)學(xué)的情感，需要引起重視，深入解讀，理性反思，探尋更為有效的路徑，以更好地落實(shí)課程目標(biāo)。

一、“符號(hào)意識(shí)”的內(nèi)涵解讀

（一）“課標(biāo)”的詮釋

教育部《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》認(rèn)為：“符號(hào)感主要表現(xiàn)在：能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號(hào)來表示；理解符號(hào)所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；會(huì)進(jìn)行符號(hào)間的轉(zhuǎn)換；能選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號(hào)所表達(dá)的問題?！盵1]

教育部《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》修改為：“符號(hào)意識(shí)主要是指能夠理解并運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式?！盵2]

“課標(biāo)（實(shí)驗(yàn)稿）”主要從行為表現(xiàn)的角度陳述“符號(hào)感”，“課標(biāo)（2011年版）”的解釋還突出了符號(hào)意識(shí)的對(duì)象與功能。兩者都采用描述性的定義方式，便于一線教師理解與踐行。從“符號(hào)感”到“符號(hào)意識(shí)”，不僅僅是詞的變化，更是認(rèn)知的更新。“符號(hào)感”更多地表現(xiàn)為對(duì)能力的要求，“符號(hào)意識(shí)”突出了數(shù)學(xué)符號(hào)的本質(zhì)內(nèi)涵——“使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算、推理，得到的結(jié)果具有一般性”。另一方面，數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)于學(xué)生而言主要的不是潛意識(shí)、直覺或感覺，而是一種主動(dòng)地使用符號(hào)的心理傾向[3]?！罢n標(biāo)（2011年版）”的表述中使用的“抽象”“表示”“理解”“選擇”等詞都是表示自覺思維活動(dòng)的詞語，因而更準(zhǔn)確。值得注意的是，“課標(biāo)（2011年版）”增加了“符號(hào)表示數(shù)”，可以認(rèn)為它既指用字母表示數(shù)，又包括用阿拉伯?dāng)?shù)字符號(hào)表示數(shù)，按照這樣的解讀，小學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)“符號(hào)意識(shí)”的培養(yǎng)從一年級(jí)教學(xué)第一個(gè)數(shù)字1 就已經(jīng)開始。綜上可見，修改后的表現(xiàn)性刻畫，內(nèi)涵更全面，更貼近小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際。

（二）相關(guān)的解讀

在國(guó)外，匈菲爾德等人認(rèn)為：“符號(hào)意識(shí)包括能夠給符號(hào)、表達(dá)式和公式賦予意義，并感受到它們的結(jié)構(gòu)。”[4]阿凱菲在將符號(hào)意識(shí)與數(shù)學(xué)意識(shí)類比的基礎(chǔ)上，給出符號(hào)意識(shí)的一些基本特征，“其中包括：建立公式的技能，確認(rèn)等價(jià)表達(dá)式的能力，以及怎樣通過這些公式和表達(dá)式去表示數(shù)學(xué)的意義。同時(shí)，他還指出，符號(hào)意識(shí)是學(xué)習(xí)代數(shù)的必要條件?！盵5]上述兩位學(xué)者分別從能否理解符號(hào)意義和用符號(hào)表示數(shù)學(xué)對(duì)象的角度對(duì)符號(hào)意識(shí)進(jìn)行了描述，細(xì)致入微。費(fèi)爾（Fey，1990）認(rèn)為符號(hào)意識(shí)是一種非正式技能，包括：“認(rèn)識(shí)與鑒別能力、估算能力、驗(yàn)算與預(yù)告能力、選擇能力。”[6]相比于匈菲爾德和阿凱菲，費(fèi)爾提出的見解更加全面，對(duì)一線教師進(jìn)一步理解符號(hào)意識(shí)具有較高的參考價(jià)值。佐恩則把符號(hào)意識(shí)看作“從符號(hào)中抽象出數(shù)學(xué)意義和結(jié)構(gòu)，用符號(hào)有效地表達(dá)數(shù)學(xué)意義和結(jié)構(gòu)，以及通過符號(hào)的操作發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)意義和結(jié)構(gòu)的一般化能力”[7]。這一解釋更為具體，對(duì)一線教師從實(shí)踐的角度來培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)具有指導(dǎo)意義。

在國(guó)內(nèi)，朱立明和馬云鵬認(rèn)為，所謂“數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)”，即學(xué)習(xí)者在思維（具體表現(xiàn)為數(shù)學(xué)思維）的引導(dǎo)下，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)符號(hào)之間抽象對(duì)應(yīng)關(guān)系的一種積極主動(dòng)的心理認(rèn)知活動(dòng)（內(nèi)隱性），在通過數(shù)學(xué)符號(hào)的感知與理解、運(yùn)算與推理、交流與表達(dá)等數(shù)學(xué)思考方式解決數(shù)學(xué)問題的過程中所表現(xiàn)出來的與數(shù)學(xué)符號(hào)相關(guān)的一種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（外顯性）[8]。鮑建生和周超認(rèn)為符號(hào)意識(shí)應(yīng)包括以下幾個(gè)層面：“運(yùn)用符號(hào)去表示數(shù)學(xué)的意義和結(jié)構(gòu)；能夠理解符號(hào)所表示的意義和結(jié)構(gòu)；對(duì)符號(hào)進(jìn)行演算（包括等價(jià)變形）；運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行思維，從而發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)意義和結(jié)構(gòu)。”[9]重慶師范大學(xué)黃翔教授指出符號(hào)意識(shí)的要求體現(xiàn)在四個(gè)維度為“符號(hào)理解、符號(hào)操作、符號(hào)表達(dá)、符號(hào)思考”[10]。國(guó)內(nèi)學(xué)者基于課標(biāo)的解讀，給出自己的觀點(diǎn)，為一線教師落實(shí)“符號(hào)意識(shí)”的實(shí)踐提供了思路，有助于課程相關(guān)目標(biāo)的落實(shí)。

二、“符號(hào)意識(shí)”的偏頗略述

羅素說過：“數(shù)學(xué)是什么？數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中，符號(hào)如影隨形，雖沒有“符號(hào)意識(shí)”一詞，一線教師對(duì)其背后的本質(zhì)，是有所把握的。實(shí)踐中，不乏有益的嘗試，但由于認(rèn)知的不足、理解不透，一些偏頗的行為時(shí)常遇見。

1.生活符號(hào)等同數(shù)學(xué)符號(hào)

符號(hào)在日常生活中廣泛使用，學(xué)生進(jìn)入小學(xué)之前，已經(jīng)具備了一定的符號(hào)意識(shí)，小學(xué)教學(xué)不能只是簡(jiǎn)單地重復(fù)學(xué)生已有的認(rèn)知過程，而應(yīng)該以此為起點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的符號(hào)意識(shí)。課堂中，針對(duì)“符號(hào)意識(shí)”的培養(yǎng)目標(biāo)，許多教者都習(xí)慣于將生活中的各種符號(hào)引進(jìn)課堂，花費(fèi)大量時(shí)間與精力予以解釋。如“用字母表示數(shù)”教學(xué)時(shí)，引進(jìn)肯德基的符號(hào)、麥當(dāng)勞的符號(hào)、汽車標(biāo)志符號(hào)以及交通信號(hào)符號(hào)等，讓學(xué)生一一辨識(shí)，因課堂氣氛活躍，被一度熱捧，冷靜思考，不禁生疑，這是數(shù)學(xué)課嗎？事實(shí)上，生活中的一般符號(hào)和數(shù)學(xué)符號(hào)部分功能相同，如表述與理解、交流與傳達(dá)，以及簡(jiǎn)化思維等。但數(shù)學(xué)符號(hào)有其特殊之處：一方面，數(shù)學(xué)符號(hào)是精確的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹Ｉ罘?hào)的多變性，對(duì)數(shù)學(xué)來說是可怕的，數(shù)學(xué)符號(hào)許多年不變是正常的，這也體現(xiàn)出數(shù)學(xué)符號(hào)的通用性。另一方面，數(shù)學(xué)符號(hào)是可以參與運(yùn)算的。無論是算術(shù)運(yùn)算還是代數(shù)運(yùn)算，亦或微積分運(yùn)算和邏輯運(yùn)算，幾乎所有的運(yùn)算都表現(xiàn)為符號(hào)的推演。正是數(shù)學(xué)符號(hào)的這些特點(diǎn)，使數(shù)學(xué)思維成為可視的符號(hào)操作，簡(jiǎn)潔且可忽視符號(hào)背后的東西。由生活符號(hào)引入，激活學(xué)生相關(guān)的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)是可取的，如果熱衷流行元素，詳略不分，將非數(shù)學(xué)的符號(hào)作為教學(xué)的重點(diǎn)，不加區(qū)別，顯然不妥。

2.規(guī)律表征視為符號(hào)意識(shí)

在“符號(hào)意識(shí)”培養(yǎng)過程中，教者自主開發(fā)課程，將之滲透到相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)中，形成教學(xué)的合力，這是有益的，值得倡導(dǎo)的。當(dāng)界定為培養(yǎng)了學(xué)生的“符號(hào)意識(shí)”的目標(biāo)追求時(shí)，需要慎重考量。如圖1，在學(xué)生觀察思考的基礎(chǔ)上，教者引導(dǎo)學(xué)生用自己喜歡的方式表示出發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

圖1

以“盆花”的規(guī)律表示為例，學(xué)生想到了以下方式：

情境中，學(xué)生個(gè)性化的表示方式，體現(xiàn)著“一一對(duì)應(yīng)”的思想，也有助于規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與表達(dá)，但如果上升為培養(yǎng)學(xué)生的“符號(hào)意識(shí)”就有些牽強(qiáng)了。因?yàn)椋@些表現(xiàn)方式都只是一種記號(hào)，所反映出的符號(hào)感與生活中的符號(hào)感類似。這種符號(hào)感在音樂課中也有，如學(xué)生用標(biāo)點(diǎn)符號(hào)、長(zhǎng)短線等表示節(jié)奏。充分發(fā)掘教學(xué)內(nèi)容中蘊(yùn)含的“符號(hào)意識(shí)”的素材，是行之有效的教學(xué)對(duì)策，但如果硬貼標(biāo)簽，就有偏頗之嫌。

3.自創(chuàng)符號(hào)替代現(xiàn)有符號(hào)

在“符號(hào)意識(shí)”的培養(yǎng)中，實(shí)時(shí)適度地安排學(xué)生自創(chuàng)符號(hào)，這對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)有裨益。教學(xué)中，教者在學(xué)生自創(chuàng)之后，滿足于學(xué)生的創(chuàng)造成果，往往忽視對(duì)現(xiàn)有符號(hào)意蘊(yùn)的揭示。如“圓周率”的教學(xué)，在學(xué)生操作實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，教者介紹圓周率用字母π 來表示，有學(xué)生問：“可以用字母a 表示嗎？”教者答：“你想用這個(gè)字母表示，理論上可以。”更多學(xué)生舉手：“老師，我想用字母b 表示”“我想用三角形來表示”……教者始料未及，只好草草收?qǐng)觯骸皵?shù)學(xué)上，我們用字母π表示”。類似這樣的情形，時(shí)有發(fā)生，學(xué)生暢所欲言，教者“萬問歸宗”：“數(shù)學(xué)上，我們通常用……來表示”。事實(shí)上，數(shù)學(xué)符號(hào)，猶如象形文字，不僅內(nèi)涵深刻，且有不可低估的育人價(jià)值及教學(xué)法功能。以案例中的圓周率“π”為例，公元480年左右，數(shù)學(xué)家祖沖之將之精確到小數(shù)點(diǎn)后7 位，其密值比西方早1000多年，讓學(xué)生感嘆祖先的智慧；公元263年，中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽用“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率，“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”包含了求極限的思想，讓學(xué)生感受方法的妙絕……這些內(nèi)涵的揭示，會(huì)使學(xué)生透過符號(hào)的表象，產(chǎn)生敬畏之心，避免形式上的糾結(jié)。

三、“符號(hào)意識(shí)”的教學(xué)要領(lǐng)

（一）彰顯符號(hào)自身的優(yōu)美性

1.簡(jiǎn)潔美

符號(hào)都是簡(jiǎn)潔的，簡(jiǎn)潔的符號(hào)便于識(shí)別，容易記憶，數(shù)學(xué)符號(hào)用簡(jiǎn)潔的語言表達(dá)出豐富的數(shù)學(xué)思想，也使得數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)與日常的語言系統(tǒng)區(qū)別開來，是一種十分重要的數(shù)學(xué)美。符號(hào)的簡(jiǎn)潔美主要表現(xiàn)在三個(gè)方面：其一是研究對(duì)象的表征。如“簡(jiǎn)單的搭配”問題，出示“小明有兩件上衣和三條褲子，他有幾種不同的搭配方法？”學(xué)生在表征時(shí)，用數(shù)學(xué)的符號(hào)（三角形、圓、正方形等）顯然比畫實(shí)物圖更方便。同時(shí)，在用數(shù)學(xué)符號(hào)表征的過程中，也有利于學(xué)生抽象出算法的模型。其二是探究結(jié)果的表述。如“加法的結(jié)合律”，語言表述為“三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變”。符號(hào)表示為“（a+b）+c=a+（b+c）”，簡(jiǎn)潔明了，便于理解與運(yùn)用。其三是解題思路的明晰。如“列方程解應(yīng)用題”，用符號(hào)表示未知數(shù)，由于未知數(shù)的代入，使得學(xué)生可以從“理解數(shù)量關(guān)系（算術(shù)法解答）”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皩ふ业攘筷P(guān)系（列方程解答）”，思維難度降低的同時(shí)，促進(jìn)學(xué)生解題思路的明晰。

2.意象美

數(shù)學(xué)及其推理都是抽象的（且比邏輯之抽象更為高級(jí)），而符號(hào)是意象的。這種意象性使得數(shù)學(xué)符號(hào)和文學(xué)語言一樣，呈現(xiàn)出美的意境，表達(dá)人們對(duì)美的向往與追求。符號(hào)的意象美，可以從兩個(gè)角度來彰顯：一是由外及內(nèi)。比如“圓的認(rèn)識(shí)”，教學(xué)時(shí)，在生活原型抽象出圓之后，可以借助圓規(guī)在黑板上畫一個(gè)圓，引導(dǎo)學(xué)生鑒賞圓之美，外形很飽滿，沒有棱角，在探究中進(jìn)一步引領(lǐng)學(xué)生感受體會(huì)“圓之飽滿”的內(nèi)在邏輯，即：在同一個(gè)圓里，所有的直徑都相等，圓心到圓上的任意一點(diǎn)的距離都一樣，直徑等于半徑的2倍等。二是由內(nèi)至外。如數(shù)字符號(hào)“外形的美感不顯現(xiàn)，內(nèi)在美卻很豐富。“表示把“單位1”平均分成兩份，這樣的一份就是“也就是生活中所說的一半，這里不管是一個(gè)桃，還是一箱桃，還是一車桃，或是半個(gè)桃等，都可以表示出它的“

3.文化美

“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）”指出：“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分?！狈?hào)是數(shù)學(xué)文化的載體之一。在小學(xué)數(shù)學(xué)的教材內(nèi)容中，符號(hào)的文化美至少體現(xiàn)在以下兩個(gè)層面：一是精神美。如“可能性”教學(xué)中，將一枚硬幣拋向空中后落下來，可能是正面朝上，也可能是反面朝上，任何一面朝上的可能性都是這個(gè)結(jié)論很容易被接受被認(rèn)可，但是許多的科學(xué)家卻對(duì)此進(jìn)行多次的反復(fù)試驗(yàn)，德·摩根拋幣次數(shù)4092次，浦豐拋幣4040次，費(fèi)勒拋幣10 000次，皮爾遜拋幣24 000 次，羅曼諾夫斯基拋幣80 640 次……這就是數(shù)學(xué)的求真務(wù)實(shí)的態(tài)度與理性精神。二是智慧美。如前文中提到的圓周率“π”，劉徽以極限思想為指導(dǎo)，用“割圓術(shù)”求圓周率，通過對(duì)圓內(nèi)接正多邊形的面積的計(jì)算，并由此而求得了圓周率的兩個(gè)近似數(shù)值：3.14和3.1416。如此巧妙的方法，既大膽創(chuàng)新，又嚴(yán)密論證，也為圓周率的計(jì)算指出了一條科學(xué)的道路。

（二）突出符號(hào)理解的過程性

1.低起點(diǎn)，豐富體驗(yàn)

符號(hào)意識(shí)的形成是一個(gè)不斷體會(huì)、不斷累積、不斷重建的過程，不可能一蹴而就。雖然學(xué)生在幼兒園時(shí)期有一定用符號(hào)表示事物的經(jīng)驗(yàn)，生活中符號(hào)隨處可見，但并不能表明學(xué)生已經(jīng)具有符號(hào)的意識(shí)。在教學(xué)中，我們立足學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，采用“低起點(diǎn)、穩(wěn)扎根”的方式，豐富學(xué)生的體驗(yàn)。要正視學(xué)生對(duì)“情境”的依賴。要允許學(xué)生將符號(hào)與具體的情境聯(lián)系起來。如“幾和第幾”的教學(xué)，教材中以小朋友排隊(duì)買票的情境介入，這是學(xué)生熟悉的，便于理解。但在教學(xué)中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生認(rèn)為“第幾”就是買票排隊(duì)時(shí)從前向后排列的位置，換做幾本書，讓學(xué)生從一定的方向（尤其逆向）指出第幾本，有一定困難。事實(shí)上，對(duì)于小學(xué)生而言，尤其是接觸符號(hào)的初期，借助情境理解符號(hào)的意義是正常的，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。隨著年級(jí)的遞增，學(xué)生對(duì)符號(hào)情境意義的豐富，再理解其外延就簡(jiǎn)單多了。

2.慢進(jìn)程，理解內(nèi)涵

對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)所蘊(yùn)含的意義的理解，是“符號(hào)意識(shí)”的形成基礎(chǔ)。教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)“慢進(jìn)程”，一方面，符號(hào)意義的獲取需要一定的抽象概括能力，小學(xué)生抽象思維的發(fā)展，有一個(gè)過程；另一方面，符號(hào)內(nèi)涵的建構(gòu)是一個(gè)逐步豐富、完善的過程?！奥辈皇呛?jiǎn)單的過程拖沓，而是對(duì)認(rèn)知過程的細(xì)化與深化。如“用字母表示數(shù)”教學(xué)?？梢宰鋈缦路纸猓旱谝徊?，從“像”到“快?！苯陶咦寣W(xué)生快速地畫一只小鳥，學(xué)生不約而同畫出簡(jiǎn)筆畫的鳥。教者小結(jié)：“（畫的時(shí)候）把最簡(jiǎn)單的東西給它拿出來，就變成了一個(gè)符號(hào)一樣的東西”。第二步，從“清晰”走向“模糊”?？焖俚禺嫵鼋處煹陌镆粯?xùn)|西，有學(xué)生畫手機(jī)、皮夾、筆等簡(jiǎn)筆畫，有學(xué)生則畫出一個(gè)圓圈。教者追問：“畫手機(jī)和畫圓圈有什么不同？”引領(lǐng)學(xué)生感知符號(hào)可以表示不確定的物體。第三步，從“物”到“數(shù)”。出示一個(gè)黑袋子，讓學(xué)生思考袋中球的個(gè)數(shù)怎樣表示。學(xué)生想到“？”“△”等。教者順勢(shì)引導(dǎo)：“數(shù)學(xué)上我們可以用a、b、c 等字母表示”，并追問：“這里用來表示球的個(gè)數(shù)的字母可以表示哪些數(shù)？”明確字母可以表示數(shù)且可以表示不確定的數(shù)。第四步，從“數(shù)”到“關(guān)系”。再出示一個(gè)袋子（紅色）：“紅袋里的球比藍(lán)袋里的球多2個(gè)，怎樣表示呢？”學(xué)生聯(lián)系前面的經(jīng)驗(yàn)，得出紅袋里有（a+2）個(gè)球。進(jìn)一步討論得出：a+2 既可以表示紅袋里球的個(gè)數(shù)，又可以表示紅袋與藍(lán)袋中球的數(shù)量關(guān)系。

3.重轉(zhuǎn)換，溝通聯(lián)系

數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)存在的具體化身?！稗D(zhuǎn)換”是符號(hào)教學(xué)中必不可少的環(huán)節(jié)，是促進(jìn)學(xué)生理解、溝通數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系的紐帶。這里的“轉(zhuǎn)換”主要包括三個(gè)層面：一是“符號(hào)”系統(tǒng)的內(nèi)部轉(zhuǎn)換。數(shù)學(xué)符號(hào)有多種分類，常見的按照符號(hào)的用處分為：對(duì)象符號(hào)（如數(shù)字符號(hào)、圓周率等）、運(yùn)算符號(hào)、關(guān)系符號(hào)、結(jié)合符號(hào)（如小括號(hào)、中括號(hào)）、性質(zhì)符號(hào)（如正號(hào)、負(fù)號(hào)）等[11]?！胺?hào)”系統(tǒng)的內(nèi)部轉(zhuǎn)換主要指同一類型的符號(hào)間的轉(zhuǎn)換，如運(yùn)算符號(hào)“+”與“×”，“3×2”既可以表示兩個(gè)3相加，又可以表示3個(gè)2相加等。二是自然語言與符號(hào)語言的轉(zhuǎn)換。其一是將自然語言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)符號(hào)語言。如“一輛汽車每小時(shí)行駛80千米”，數(shù)學(xué)符號(hào)語言可表述為“80 千米/時(shí)”等。其二是將數(shù)學(xué)符號(hào)語言譯為自然語言。即讓學(xué)生用自己的話語描述符號(hào)所表示的意思，個(gè)性化的解讀與認(rèn)知，往往也標(biāo)志著學(xué)生對(duì)某一符號(hào)的通徹理解。三是思維方式的轉(zhuǎn)換。小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，主要指算術(shù)思維與代數(shù)思維，算術(shù)法的重點(diǎn)是理解數(shù)量關(guān)系，代數(shù)法關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系。兩種思維方式各有優(yōu)勢(shì)，相對(duì)而言，尋找等量關(guān)系簡(jiǎn)單一些。在教學(xué)中，兩種思維方式常?？梢圆⒂?，如計(jì)算15-7，學(xué)生可以用“破十法”，也可以用“想加算減”的方法思考7+（）=15 等。教者應(yīng)該予以充分的把握，為學(xué)生后續(xù)的符號(hào)應(yīng)用的技能與意識(shí)的培養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。

（三）滲透符號(hào)背后的思想性

1.變?cè)枷?/p>

變?cè)枷胧歉鶕?jù)小學(xué)生的年齡特點(diǎn)和知識(shí)水平，采取不同的形式進(jìn)行滲透，旨在讓學(xué)生逐步了解變?cè)乃枷隱12]。以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書為例，在第一冊(cè)第22 頁的數(shù)的大小比較中就有“□”的出現(xiàn)：4＞□，2＜□；第68 頁“（）”出現(xiàn)在等式中：8+（）=10，（）+6=10，這里用“□”和“（）”代替變?cè)?hào)“x”，讓學(xué)生在里面填入合適的數(shù)，使式子成立。表面看，這些題目就是要求小學(xué)生在其中填進(jìn)一個(gè)合適的數(shù)，身為教師應(yīng)當(dāng)明白，如果將“□”換成“x”，4＞□等就成為不等式，如果將“（）”換成“x”，8+（）=10 等就是一元一次方程，并且“x”都有一定的取值范圍，這就是變?cè)枷?。教學(xué)中，可以采用“瞻前顧后”的方式給予強(qiáng)化，比如在教學(xué)“用字母表示數(shù)”時(shí)，讓學(xué)生回顧低年級(jí)學(xué)習(xí)的填括號(hào)，在教學(xué)“方程”時(shí)，引領(lǐng)學(xué)生思考未知數(shù)在以前學(xué)習(xí)中的運(yùn)用等，這樣不僅有利于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重組，也有利于學(xué)生深刻感知變?cè)枷搿?/p>

2.代數(shù)思想

代數(shù)思想，就是用字母來代替具體數(shù)值進(jìn)行思考的思維形式。具體的數(shù)值刻畫的是某一種情況，而用字母表示數(shù)之后，就可以表示一類情況，從而實(shí)現(xiàn)從特殊到一般，從具體到抽象的跨越?！皵?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）”中第二學(xué)段內(nèi)容中，明確要求學(xué)生能“在具體情境中會(huì)用字母表示數(shù)，結(jié)合簡(jiǎn)單的情境，了解等量關(guān)系，并能用字母表示”。從研究一個(gè)個(gè)特定的數(shù)到用字母表示一般的數(shù)，是學(xué)生認(rèn)識(shí)上的—次飛躍。小學(xué)階段，“用字母表示數(shù)”是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)符號(hào)的重要一步。符號(hào)既可以用來表示一類事物，也可以表示兩類事物之間的關(guān)系，同時(shí)符號(hào)也是表示一類我們要研究的事物的方法。一線教師通常會(huì)關(guān)注前兩種功能，忽視符號(hào)所具有的方法論的價(jià)值。在實(shí)踐中，可以通過符號(hào)表示的需求性的體會(huì)來感悟。一是表達(dá)的需求。如“用數(shù)對(duì)確定位置”，當(dāng)學(xué)生用生活經(jīng)驗(yàn)表示第幾排第幾列時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)同一位置有多種表述方式，從而引出數(shù)對(duì)。二是思考的需求。符號(hào)的引入，有助于壓縮思考的過程，提高學(xué)習(xí)的效率。如長(zhǎng)方形面積公式用字母表示為：S=ab，當(dāng)學(xué)生將這三個(gè)字母看作數(shù)時(shí)，容易思考得出這個(gè)公式的變式，即由S=ab得出：a=S÷b，b=S÷a。

3.方程思想

在小學(xué)高年級(jí)安排了方程以及列方程解應(yīng)用題的內(nèi)容，用方程的方法解決實(shí)際問題，符號(hào)化思想蘊(yùn)含在解法之中，主要體現(xiàn)在如下三個(gè)方面：（1）代數(shù)假設(shè)，用字母代替未知數(shù)，與已知數(shù)平等地參與運(yùn)算。（2）代數(shù)翻譯。把題中自然語言表述的已知條件，譯成用符號(hào)化語言表述的方程。（3）解代數(shù)方程。把字母看成已知數(shù)，并進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)而達(dá)到求解的目的[13]。列方程解應(yīng)用題的思想需要上述用字母表示數(shù)的思想的支撐，更需要我們?cè)诮虒W(xué)中關(guān)注細(xì)節(jié)，引領(lǐng)學(xué)生感悟方程的魅力，在方法的自主運(yùn)用中感知方程思想。值得注意的是，實(shí)踐中，方程解題時(shí)較大的書寫量與課本習(xí)題的較低難度值往往使得學(xué)生的方程意識(shí)淡薄，出現(xiàn)“平時(shí)用不到，用時(shí)想不到”的狀況。因此，一方面要精選習(xí)題讓學(xué)生感知方程解法的優(yōu)勢(shì)，在學(xué)生熟練掌握方法與步驟后，可以適當(dāng)安排一些數(shù)量關(guān)系更為復(fù)雜的習(xí)題讓學(xué)生解答；另一方面，要教給建立等量關(guān)系的技巧，如抓關(guān)鍵詞、抓關(guān)鍵句、抓不變量等，教給學(xué)生相關(guān)技巧，提升正確列方程的能力。

綜上所述，符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)，是一個(gè)循序漸進(jìn)、逐步提升的過程，發(fā)展學(xué)生的“符號(hào)意識(shí)”是在培養(yǎng)和發(fā)展更高層次、更高水準(zhǔn)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。深刻地認(rèn)知、智慧地實(shí)踐，必將促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的提升?！?/p>