季瑛男

摘 要：數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占很大地位，是數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系的紐帶。本文簡(jiǎn)單闡述數(shù)學(xué)建模的國內(nèi)外發(fā)展，并進(jìn)一步討論與模型思想的區(qū)別，從教學(xué)方面具體談如何更好地開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模; 發(fā)展歷程; 模型思想; 教學(xué)方法

中圖分類號(hào)：G642? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? 文章編號(hào)：1006-3315（2019）8-171-002

一、“數(shù)學(xué)建?！钡陌l(fā)展歷程

1.國外數(shù)學(xué)建模的發(fā)展

在20世紀(jì)70年代，劍橋大學(xué)的教授們將他的項(xiàng)目分解為學(xué)生可以解決的問題，使其成為最原始的數(shù)學(xué)建模模型。英國為學(xué)生打開了數(shù)學(xué)建模的大門，這導(dǎo)致許多國家紛紛效仿。1975年美國幼兒園至中學(xué)12年級(jí)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)概況和分析的以下報(bào)告建議將數(shù)學(xué)建模納入中學(xué)課程。在五年后的“行動(dòng)法”中，更加堅(jiān)定地指出“解決問題”是一個(gè)教學(xué)目標(biāo)，同時(shí)，數(shù)學(xué)建模也越來越接近中學(xué)。

1983年，國際數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用數(shù)學(xué)大會(huì)首次舉行。1985年，美國數(shù)學(xué)與應(yīng)用聯(lián)合會(huì)舉辦了美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。本次比賽是后續(xù)。與此同時(shí)，1988年，第六屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)在匈牙利布達(dá)佩斯舉行“技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用”為主題的討論。這是一場(chǎng)全球比賽，每個(gè)比賽都有中學(xué)生參加。在1989年的“未來數(shù)學(xué)教育報(bào)告”將數(shù)學(xué)建模納入中學(xué)，被列為最迫切需要的數(shù)學(xué)教育改革項(xiàng)目。

日本的數(shù)學(xué)學(xué)者們認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)都應(yīng)當(dāng)放在解決實(shí)際問題上，提高解決問題的能力包含在“中小學(xué)課程改革教學(xué)大綱”中，由教育部公布并于年內(nèi)實(shí)施的“中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指南”將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來，將數(shù)學(xué)作為數(shù)學(xué)的重要目標(biāo)，并通過綜合課程學(xué)習(xí)來反映數(shù)學(xué)應(yīng)用。在日本數(shù)學(xué)教育協(xié)會(huì)期刊上，經(jīng)常出版中學(xué)數(shù)學(xué)建模（特別是初中）的教學(xué)計(jì)劃和教學(xué)實(shí)例;日本的“精學(xué)基礎(chǔ)”課程，其內(nèi)容是：（1）數(shù)學(xué)和人類活動(dòng);（2）用數(shù)學(xué)理論觀察有關(guān)社會(huì)生活;（3）我們周圍的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)主要是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，并運(yùn)用數(shù)學(xué)來分析自然意識(shí)和社會(huì)現(xiàn)象[1]。

在英國國家統(tǒng)一課程中，中小學(xué)的數(shù)學(xué)課程分為五個(gè)主要領(lǐng)域：使用和應(yīng)用數(shù)學(xué)，數(shù)字，代數(shù)，形狀和空間，數(shù)據(jù)處理。第一個(gè)“使用和應(yīng)用數(shù)學(xué)”包含數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容。

自1990年以來，荷蘭每年舉辦一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，相當(dāng)于中國高中生的參與。入學(xué)流程允許學(xué)生查看教科書，并使用計(jì)算機(jī)和計(jì)數(shù)器;初步測(cè)試問題是一個(gè)實(shí)用且相關(guān)的問題。

加拿大哥倫比亞大學(xué)教育部對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的教育目的進(jìn)行了明確的規(guī)定，要培養(yǎng)學(xué)生掌握物理學(xué)和其他相關(guān)領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握其中的理論原理，并能夠運(yùn)用所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)理論知識(shí)解決生活中的實(shí)際問題，將生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)思維來解決問題。

總的來說，目前國外許多國家對(duì)于高中數(shù)學(xué)建模有著很多的研究成果，不僅涵蓋理論研究領(lǐng)域，在解決實(shí)踐問題領(lǐng)域都有很多的研究，這些研究很大程度上為我國的相關(guān)研究提供了參考和基礎(chǔ)。

2.國內(nèi)數(shù)學(xué)建模發(fā)展

數(shù)學(xué)建模的優(yōu)勢(shì)逐漸被更多人所見，并且能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，解決生活中的實(shí)際問題。

在方正集團(tuán)的贊助下，“北京數(shù)學(xué)會(huì)”分別于1993年和1994年兩次舉辦“方正杯中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用知識(shí)競(jìng)賽”。1993年12月25日在北京師范大學(xué)舉行的座談會(huì)上，大家參加了數(shù)學(xué)應(yīng)用問題知識(shí)競(jìng)賽。大多數(shù)成員肯定了中學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽對(duì)所有中學(xué)生的重要性。通過這種方式，學(xué)生可以發(fā)展創(chuàng)造性的邏輯思維，這是一種生動(dòng)和新鮮的方式。1997年3月“北京高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用大賽”經(jīng)北京市教育委員會(huì)正式批準(zhǔn)，1997年12月和1998年3月，第一屆應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽首次成功舉辦。這項(xiàng)活動(dòng)得到了許多省市的響應(yīng)和參與，并得到了許多高等院校的大力支持。

近十年來，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，隨著越來越多的研究開始涉及數(shù)學(xué)建模領(lǐng)域，許多專家學(xué)者從不同角度認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)建模對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性。在“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2011”中，“模型思想”是十大核心概念之一。

2014年，教育部發(fā)布了“關(guān)于全面深化課程改革，落實(shí)立德樹人基本任務(wù)的意見”，提出了中國學(xué)生的核心素養(yǎng)。2018年，教育部頒布的“高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）”將數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)定義為：“學(xué)生應(yīng)具備的數(shù)學(xué)思維素質(zhì)和關(guān)鍵能力，以滿足終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展的需要”，并澄清數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)運(yùn)算，直覺想象和數(shù)據(jù)分析作為數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)[3]，到目前為止，數(shù)學(xué)建模已經(jīng)正式加入到高中生的學(xué)習(xí)生活中。

我分析了近年來國內(nèi)關(guān)于高中數(shù)學(xué)建模的論文，基本上來自于建模的比較研究，從五個(gè)方面討論了教學(xué)研究，建模評(píng)估，數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)和數(shù)學(xué)模型研究。

關(guān)于數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵，姜啟源在他的書中指出：現(xiàn)實(shí)世界中的一個(gè)物體，基于物體的固有規(guī)律，出于特定目的，做一個(gè)假設(shè)，然后應(yīng)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來獲得一個(gè)稱為數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的過程稱為數(shù)學(xué)建模。李明振教授認(rèn)為：數(shù)學(xué)建模是簡(jiǎn)化實(shí)際問題的過程，最終歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題并解決它。他強(qiáng)調(diào)在解決這個(gè)問題的過程中，首先，要求解決實(shí)際問題的錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，并且還使用數(shù)學(xué)中的獨(dú)特符號(hào)，公式，圖表和數(shù)據(jù)來表達(dá)這種關(guān)系。然后使用信息技術(shù)處理復(fù)雜數(shù)據(jù)，最終得到可由人們分析，控制或控制的定量結(jié)果。

關(guān)于數(shù)學(xué)建模的教學(xué)研究，國內(nèi)專家有不同的看法。李波在《中外數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽比較分析》中介紹了1.調(diào)查報(bào)告式;2.論文研讀式;3.“導(dǎo)學(xué)探索，自主解決”式等幾種比較行之有效的模式。黃芳芳認(rèn)為：1.從實(shí)際中引入概念和定理，引起學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，在學(xué)生們潛意識(shí)中滲透數(shù)學(xué)建模的思維意識(shí)。2.通過教材來講授傳統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)模型，逐步使學(xué)生了解并掌握常用的基礎(chǔ)類數(shù)學(xué)模型，比如函數(shù)模型、系列模型、幾何模型，基本建立起學(xué)生們建模的知識(shí)結(jié)構(gòu)。3.針對(duì)教材中的練習(xí)題開展實(shí)踐訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生們形成自主調(diào)查、搜集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)，建立模型，進(jìn)而體驗(yàn)將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的整個(gè)過程。提高學(xué)生使用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的能力[1]。

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)作為人類認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的一個(gè)提高，它不僅是數(shù)學(xué)考核過程中的一個(gè)重要素養(yǎng)，也是數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系的紐帶。

二、數(shù)學(xué)建模與模型思想的異同

在“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）”中，明確提出了模型思想。2014年，“數(shù)學(xué)建模”被正式添加到高中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)中[4]。“模型思想”與“數(shù)學(xué)建?！敝g的聯(lián)系是建立相互補(bǔ)充的數(shù)學(xué)模型，但存在許多差異。

我認(rèn)為“數(shù)學(xué)建模”是“模型思想”的上位概念。小學(xué)生和初中生對(duì)數(shù)學(xué)還是停留在具體問題和事物的表面上，沒有抽象思維，所以在義務(wù)教育階段中提出“模型思想”這一觀點(diǎn)，該模型的想法是讓學(xué)生體驗(yàn)和理解數(shù)學(xué)與外部世界之間的聯(lián)系。對(duì)于高中生經(jīng)過了義務(wù)教育，通過在義務(wù)教育階段這種模型思想的鍛煉，逐步形成了一種“數(shù)學(xué)思維”，不僅要注意事物的發(fā)展，要讓學(xué)生更好地理解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生思維發(fā)展水平，就此提出了“數(shù)學(xué)建?！边@個(gè)素養(yǎng)，并且開展“數(shù)學(xué)建?！被顒?dòng)的前提就是學(xué)生已經(jīng)接受并理解了“數(shù)學(xué)模型”這種思想。

三、建議

史寧忠教授曾經(jīng)提到我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)是有三個(gè)課程：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界;會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界;會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界[5]。那么，這里的數(shù)學(xué)語言是指數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“數(shù)學(xué)建?！?。從“模型思想”轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)建?！边@一過程中，我們能夠得出這樣一個(gè)結(jié)論：國家越來越重視教育質(zhì)量。使數(shù)學(xué)貼近生活，其中的一個(gè)橋梁就是利用數(shù)學(xué)建模。

當(dāng)教師開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)時(shí)，作為教師自己，首先應(yīng)當(dāng)明確“數(shù)學(xué)建?！钡囊饬x所在，要理解“數(shù)學(xué)建?！钡某踔院湍康摹Ｆ浯?，教師應(yīng)該了解學(xué)生數(shù)學(xué)不好的原因。許多學(xué)生學(xué)不好數(shù)學(xué)的原因是他們不知道數(shù)學(xué)在生活中到底有哪些用處，因此對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒有興趣，導(dǎo)致所謂的“數(shù)學(xué)差異”情況的產(chǎn)生。那么，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教育時(shí)，就要對(duì)每一個(gè)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行反思，找到它對(duì)應(yīng)的生活原型，然后在通過生活中的這個(gè)問題，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)。

例如在人教B版必修五第二章中，我們要學(xué)習(xí)“數(shù)列”這個(gè)問題，其實(shí)在我們生活中就有很廣泛的應(yīng)用，教師首先讓大家收集資料，去探討生活中的哪些問題可以用到等差數(shù)列。

然后，老師給出了一個(gè)相關(guān)的研究課題，例如從“教育儲(chǔ)蓄”開始。

（1）根據(jù)教育儲(chǔ)蓄的方法，每月節(jié)省50元3年（或6年）和3年（或在6年內(nèi)同時(shí)提取本金和利息需要多少錢？

（2）按照同一方法，如果每月有一元，則存放3年（或6年），屆滿3年。

（或6年）撤回本金和利息需要多少錢？

（3）按上述方法，每月更換存款50元，連續(xù)3年保存，每3年一次。提取本金和利息超過“零存款和取款”的同等水平需要多少錢？

（4）如果你想在3年內(nèi)提取教育儲(chǔ)蓄和本金1萬元，你每月應(yīng)該節(jié)省多少錢？

（5）如果你想在3年內(nèi)提取一次教育儲(chǔ)蓄本金和利息，共計(jì)一百萬元，你每月應(yīng)該存多少錢？

（6）同上，原計(jì)劃是每月節(jié)省100元，為期6年，但到第四年結(jié)束時(shí)，學(xué)生需要提前提取所有本金和利息，因此一次支付本金和利息需要多少錢？

（7）如上所述，原計(jì)劃是每月存一美元，然后保存6年，但是到b（0[b]）年，由于特殊情況，學(xué)生需要提前取消所有本金和利息？

對(duì)于這樣一系列的問題的提出，學(xué)生肯定會(huì)好奇與自己息息相關(guān)的“教育儲(chǔ)蓄”怎么會(huì)與“等差數(shù)列”有關(guān)系呢？接下來，老師就要對(duì)班級(jí)成員進(jìn)行小組分組，讓每位成員都去收集與“教育儲(chǔ)蓄”有關(guān)的資料，然后坐在一起交流自己的資料。準(zhǔn)備工作做完以后，小組成員就應(yīng)該著手去做以上練習(xí)題。

我們可以發(fā)現(xiàn)（1）（3）（4）（6）問題中存取方式不同，但是所有這些都可以直接解決等差數(shù)列的前n個(gè)項(xiàng)，并且可以求解公式。因?yàn)椴煌哪Ｐ痛龠M(jìn)了不同變量的模型。通過最后得出的結(jié)果，我們可以輕松地算出不同的存取方式，我們的支取本金和利率都是多少。

這其實(shí)是一個(gè)很簡(jiǎn)單的讓數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系起來的例題。通過建立這種模式，學(xué)生可以找到與學(xué)生相關(guān)的主題，學(xué)生將更多地接受自己的相關(guān)問題，這將加深學(xué)生對(duì)建模學(xué)習(xí)的興趣。主動(dòng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，使學(xué)生能夠在積極接受和參與這種教學(xué)模式的氛圍中進(jìn)行構(gòu)建，這不僅滿足了學(xué)生想要解決相關(guān)問題的實(shí)際解決方案成果，它還提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，識(shí)字能力和實(shí)際解決問題的能力。因此，這告訴我們教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)時(shí)必須緊緊抓住“數(shù)學(xué)建模是生活與數(shù)學(xué)之間的紐帶”這一思想，認(rèn)真研讀高中教材的每一章節(jié)，對(duì)每一章甚至細(xì)化到每一節(jié)中，發(fā)現(xiàn)與生活有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，經(jīng)過深思熟慮向?qū)W生提出，并且對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組，讓班級(jí)全體成員都參與到數(shù)學(xué)的討論中，對(duì)團(tuán)體凝聚力的培養(yǎng)也有很大幫助.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，北京：北京師范大學(xué)出版社，2011：180

[2]姜啟元數(shù)學(xué)模型（第三版）北京：高等教育出版社，2004：78

[3]史寧中.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂中的關(guān)鍵問題[J]數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（1）：8-10

[4]史寧中.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M]北京：北京師范大學(xué)出版社，2011：106

[5]白建國.高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)研究[D]內(nèi)蒙古：內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2007：10