趙倩 白喜瑞

摘要：根據(jù)簡(jiǎn)化的Hirota雙線性方法和Cole-Hopf變換，當(dāng)一個(gè)新的雙模耦合KdV方程中的非線性參數(shù)與耗散參數(shù)取特殊值時(shí)，得到了該新的雙模耦合KdV方程的多孤子解.同時(shí)，當(dāng)方程中的非線性參數(shù)與耗散參數(shù)取一般值時(shí)，通過(guò)不同的函數(shù)展開法，如tanh/coth法和Jacobi橢圓函數(shù)法，可得到這個(gè)方程的其他精確解.

關(guān)鍵詞：雙模耦合KdV方程; 簡(jiǎn)化的Hirota方法; 多孤子解;周期解

中圖分類號(hào)：0178

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI： 10.3969/j.issn.1000-5641.2019.04.005

0 引言

一般來(lái)說(shuō)，大多數(shù)非線性方程都是關(guān)于時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)的方程，它們描述了單一方向的波.例如，KdV方程，Burgers方程等，這些模型均是沿x軸正向傳播的.而關(guān)于時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù)方程Boussinesq方程，它是沿x軸正向和負(fù)向兩個(gè)方向傳播的.

4 結(jié)論

在本文中，我們構(gòu)造了一個(gè)新的雙模耦合KdV方程，一方面，通過(guò)簡(jiǎn)化的Hirota方法和Cole-Hopf變換，對(duì)于特殊的α、β值可得到該方程的孤子解，但對(duì)于一般的α、β值，孤子解是否存在，我們還不能確定.另一方面，通過(guò)不同的函數(shù)展開法，對(duì)于一般的α、β值，我們得到了該方程的其他精確解.

[參考文獻(xiàn)]

[1]KORSUNSKY s V Soliton solutions for a second-order KdV equation[J]Phys Lett A，1994， 185： 174-176

[2]LEE c T.LIU J L.LEE c c.et al The second-order KdV equation and its soliton-like solution[J]ModernPhysics Letters B，2009. 23：1771-1780

[3]LEE c c，LEE c T，LIU J L，et al Quasi-solitons of the two-mode Korteweg-de Vries equation[J]Eur Phys JAppl Phys， 2010，52：11301

[4]LEE c T Some notes on a two-mode Korteweg-de Vries equation[J]Phys Scr. 2010，81：065006

[5]LEE c T.LIU J L A Hamiltonian model and soliton phenomenon for a two-mode KdV equation[J]Rocky Mtith， 2011， 41：1273-1289

[6]LEE C T， LEE C C. On wave solutions of a weakly nonlinear and weakly dispersive two-mode wave system [J].Waves in Random and Complex Media， 2013， 23： 56-76.

[7] LEE C T. LEE C C. Analysis of solitonic phenomenon for a two-mode KdV equation [J]. Physics of WavePhenomena， 2014， 22： 69-80.

[8] LEE C T， LEE C C. On the study of a nonlinear higher order dispersive wave equation： Its mathematical physicalstructure and anomaly soliton phenomena [J]. Waves in Random and Complex Media， 2015， 25： 197-222.

[9]LEE C T， LEE C C. Symbolic computation on a second-order KdV equation [J]. Journal of Symbolic Computa-tion， 2016， 74： 70-95.

[10] WAZWAZ A M. Multiple soliton solutions and other exact solutions for a two-mode KdV equation [J]. MathMethods Appl Sci， 2017， 40： 2277-2283.

[11] LEE C T. LEE C C. LIU M L. Double-soliton and conservation law structures for a higher-order type ofKorteweg-de Vries equation [J] Physics Essays， 2015， 28： 633-638.

[12] ALQURAN M， JARRAH A. Jacobi elliptic function solutions for a two-mode KdV equation [J/OL]. Journal ofKing Saud University-Science， （2017-07-03） [2018-06-28l. http：//dx.doi.org/10.1016/j.jksus.2017.06.010.

[13]XIAO Z J， TIAN B. ZHEN H L， et al. Multi-soliton solutions and Backlund transformation for a two-mode KdVequation in a fluid [J]. Waves in Random and Complex Media， 2017， 27： 1-14.

[14] WAZWAZ A M. A two-mode modified KdV equation with multiple soliton solutions [Jl Appl Math Lett， 2017，70： 1-6.

[15] WAZWAZ A M. A two-mode Burgers equation of weak shock waves in a fluid： Multiple kink solutions and otherexact solutions [J]. Int J Appl Comput Math， 2017， 3： 3977-3985.

[16] WAZWAZ A M. A study on a two-wave mode Kadomtsev-Petviashvili equation： Conditions for multiple solitonsolutions to exist [J] Math Methods Appl Sci， 2017， 40： 4128-4133.

[17] JARADAT H M. SYAM M， ALQURAN M. A two-mode coupled Korteweg-de Vries： Multiple-soliton solutionsand other exact solutions [J] Nonlinear Dyn， 2017， 90： 371-377.

[18] WAZWAZ A M. Two-mode fifth-order KdV equations： Necessary conditions for multiple-soliton solutions toexist [J] Nonlinear Dyn， 2017. 87： 1685-1691.

[19]WAZWAZ A M. Two-mode Sharma-Tasso-Olver equation and two-mode fourth-order Burgers equation： Multiplekink solutions [J]. Alexandria Eng J， 2018， 57： 1971-1976.

[20] JARDAT H M. Two-mode coupled Burgers equation： Multiple-kink solutions and other exact solutions [J].Alexandria Eng J， 2018， 57： 2151-2155.

[21]SYAM M， JARADAT H M， ALQURAN M. A study on the two-mode coupled modified Korteweg-de Vries usingthe simplified bilinear and the trigonoruetric-function methods [J]. Nonlinear Dyn， 2017， 90： 1363-1371.

[22]WAZWAZ A M. Two wave mode higher-order modified KdV equations： Essential conditions for multiple solitonsolutions to exist [J]. International Journal of Numerical Methods for Heat and Fluid Flow， 2017， 27： 2223-2230.

[23] HEREMAN W， NUSEIR A. Symbolic methods to construct exact solutions of nonlinear partial differentialequations [J]. Mathematics and Computers in Simulation， 1997， 43： 13-27.

[24] WAZWAZ A M. Single and multiple-soliton solutions for the （2 + 1）-dimensional KdV equation [Jl Appl MathComput， 2008， 204： 20-26.

[25] ZUO J M， ZHANG Y M. The Hirota bilinear method for the coupled Burgers equation and the high-orderBoussinesq-Burgers equation [J]. Chin Phy B， 2011， 20： 010205.

[26] WAZWAZ A M. Multiple soliton solutions for the integrable couplings of the KdV and the KP equations [J].Open Physics， 2013. 11： 291-295.

[27]WAZWAZ A M. Multiple kink solutions for two coupled integrable （2 + 1）-dimensional systems [J]. Appl MathLett， 2016， 58： 1-6.

[28] YU F J. Prolongation structure for nonlinear integrable couplings of a KdV soliton hierarchy [J]. Chin Phys B，2012， 21： 010201.

[29]MALFLIET W， HEREMAN W. The tanh method： I. Exact solutions of nonlinear evolution and wave equations[J]. Phys Scr， 1996， 54： 563-568.

[30]FAN E， HONA Y C. Generalized tanh method extended to special types of nonlinear equations [J]. Zeitschriftfur Naturforschung A， 2002， 57： 692-700.

[31]WAZWAZ A M. The tanh method for traveling wave solutions of nonlinear equations [J]. Appl Math and Comput，2004， 154： 713-723.

[32] LIU S， FU Z， LIU S， et al. Jacobi elliptic function expansion method and periodic wave solutions of nonlinearwave equations [J]. Phys Lett A， 2001， 289： 69-74.