瞿菁晶 郁順昌 黃定江
摘要:針對基于在線牛頓步(Online Newton Step,ONS)算法的投資組合選擇策略沒有考慮交易成本的問題,而交易成本是真實市場中不可或缺的部分,提出了一種新的帶交易成本的在線投資組合選擇策略,簡稱在線牛頓步交易成本策略(Online Newton Step Transaction Cost,ONSC):首先,結(jié)合投資組合向量的二階信息和交易成本懲罰項構(gòu)造優(yōu)化函數(shù),并推導得出投資組合的更新公式;然后,通過理論分析得到ONSC算法的次線性后悔邊界O(log(T)).實證研究表明,與半常數(shù)再調(diào)整投資組合策略(Semiconstant Rebalanced Portfolios,SCRP)以及其他考慮交易成本的策略相比,在SP500、NYSE(O)、NYSE(N)和TSE這4個真實市場的數(shù)據(jù)集上,ONSC獲得了最高的累計凈收益和最小的周轉(zhuǎn)率,表明了所提算法的有效性,
關(guān)鍵詞:投資組合選擇;在線牛頓步;交易成本
中圖分類號:TP399
文獻標志碼:A DOI: 10.3969/j.issn.1000-5641.2019.04.008
0 引言
在線投資組合選擇[1-5]是人工智能和機器學習領(lǐng)域熱門的研究課題,其關(guān)鍵問題在于如何在不確定的市場環(huán)境下連續(xù)地選擇最優(yōu)投資組合,以達到一定的目標,如金融證券市場中的累計收益最大化或損失最小化.
在線牛頓步(ONS)算法[6]基于離線優(yōu)化問題中的牛頓法[7],近年來被廣泛用于在線投資組合選擇策略研究[6]不同于其他的投資組合選擇算法[6], ONS利用了投資組合向量的二階信息進行更新;相比只使用一階信息,它可以更快地收斂,有最優(yōu)的次線性后悔邊界O(log(T》;它的不足之處是忽略了金融市場中非常重要的元素——交易成本[8-9].最近的一些在線投資組合研究[10-12]試圖解決交易成本的問題,出現(xiàn)了如SCRP[13]、半泛投資組合策略[14] (Semi-Universal Portfolio,SUP)等帶交易成本的策略,但其中沒有使用投資組合向量的二階信息策略.
針對上述問題,本文提出了一種新的在線牛頓步交易成本策略(ONSC):在ONS的基礎(chǔ)上結(jié)合交易成本,利用投資組合向量的二階信息進行更新,并且在優(yōu)化函數(shù)的設(shè)置上,添加交易成本懲罰項,控制交易量的大小.本文還給出了ONSC算法的理論后悔邊界,并且通過在真實市場中對累計凈收益和周轉(zhuǎn)率的大量實驗,說明ONSC算法在保證收益最大化的同時降低了交易成本,在凈收益和穩(wěn)定性兩方面都優(yōu)于SCRP和其他考慮交易成本的算法.
1 相關(guān)工作
研究投資組合選擇主要有兩個流派,分別是均值方差理論[15]和資本增長理論[16],其中資本增長理論側(cè)重于多個周期或連續(xù)的投資組合選擇,適用于在線場景,是本文研究的基礎(chǔ).
在線投資組合選擇領(lǐng)域有很多出色的策略,其中最經(jīng)典的有常數(shù)再調(diào)整策略(ConstantRebalanced Portfolio,CRP)[17],它在每期都會重新調(diào)整投資組合,保證每期分配到各個資產(chǎn)上的財富是一個固定的比例.Cover在1991年提出了泛化投資組合策略(UniversalPortfolio,UP) [18],采用所有CRP專家的加權(quán)平均進行投資.不久之后,交易成本開始被納入考慮范疇.Gaivoronski和Stella在2000年提出了半常數(shù)再調(diào)整策略(SCRP),相比CRP策略,“半”(semi)的思想,即只在整個交易期中選取k 個適當?shù)臅r期重新調(diào)整投資組合,顯著減少了交易成本.Das等人在2013年提出了在線懶惰更新策略[19] (Online Lazy Update,OLU),它通過對優(yōu)化問題中參數(shù)的懶惰更新來調(diào)整投資組合.黃定江等人在2015年提出了基于交易成本的半泛投資組合策略(SUP) [14],也是用了“半”的概念來控制交易成本,實證研究表明SUP算法在累計凈收益和穩(wěn)定性方面優(yōu)于之前提到的所有算法.
2問題設(shè)置
這類帶交易成本的策略SCRP、SUP在許多數(shù)據(jù)集上表現(xiàn)出高效的性能,但它們有一些潛在的問題:SCRP基于CRP的思想,每次調(diào)整的投資組合為固定的比例,不能很好地適應(yīng)動態(tài)的市場;SUP在選定時期采用UP的投資組合,要計算所有CRP專家的加權(quán)平均,在計算上非常復(fù)雜.針對上述問題,本文提出的新策略O(shè)NSC根據(jù)實時數(shù)據(jù),動態(tài)調(diào)整模型參數(shù),且每次迭代時計算量小、效率高.
“半”(semi)的思想本身也有不足之處,它需要在整個交易期中找到一個最優(yōu)子集進行投資組合調(diào)整,但找到這個最優(yōu)子集在計算上也是非常困難的.另外,交易成本分為固定比例交易成本、固定值的交易成本,“半”的做法更適用于后者.而OLU作為一種考慮交易成本的策略,不同于SCRP、SUP這兩個交易成本策略采用“半”的思想,OLU給出了一個懶惰的投資組合向量OLU在優(yōu)化模型中加入了L1懲罰項[20],計算調(diào)整投資組合需要的交易量,并用參數(shù)α控制交易量的大小.這個方法實際操作起來更加簡便,于是本文考慮在ONS的模型中也引入一個交易成本懲罰項.之所以選擇ONS算法來改進,是因為它采用的策略中損失函數(shù)為對數(shù)收益的二階泰勒展開,利用了投資組合向量的二階信息;而OLU用的是對數(shù)收益,即一階信息.多項關(guān)于二階信息的研究工作[21-23]表明,二階信息可以達到更快的收斂速度,且能提供投資組合向量的波動信息,相較一階信息更有助于投資組合選擇任務(wù).
本文在ONS的基礎(chǔ)上考慮交易成本,設(shè)計了一個新的策略O(shè)NSC.該策略利用投資組合向量的二階信息進行更新,并且通過交易成本懲罰項控制交易量的大小.后面的理論證明與實證研究將說明ONSC的良好性能.
4 在線牛頓步交易成本策略(ONSC)
4.1 模型設(shè)計
其中,argmaxf(b)表示在△n中使得f(b)最大的b值;等號右邊括號內(nèi)第一項為損失函數(shù),表示最大化對數(shù)收益,第二項為正則項處理過擬合問題,第三項用一個可變參數(shù)α來控制交易量和交易成本的大小,保證相鄰兩項投資組合之間偏差最小,即每期的交易量盡可能
從定理1的結(jié)果可以看出,ONSC算法獲得了次線性后悔邊界O(log(T》,說明隨著交易期數(shù)的增加,后悔值會逐漸趨于0,即ONSC的累計收益增長率將逐漸接近事后最優(yōu)的BCRP.也就是說,隨著時間的推移,不斷得到新的數(shù)據(jù)使得ONSC和選定的最優(yōu)策略BCRP之間的差異越來越小,逐步逼近離線最優(yōu)解.
5 實證研究
本節(jié)用ONS、CRP、SCRP、UP、SUP與ONSC作比較,根據(jù)平均凈收益和周轉(zhuǎn)率來評估算法的性能,比較ONS與ONSC可以看到是否考慮交易成本對一個算法性能的影響.CRP和UP是在線投資組合選擇領(lǐng)域的經(jīng)典策略,SCRP和SUP分別是這兩個策略考慮交易成本的版本,其中SUP代表了本領(lǐng)域的最優(yōu)結(jié)果.
5.1 數(shù)據(jù)集
實驗在4個真實市場的數(shù)據(jù)集上進行,分別是標普500指數(shù)SP500,紐交所兩個時間段的數(shù)據(jù)NYSE(O)和NYSE(N)、德黑蘭指數(shù)TSE,具體信息見表1.紐交所的數(shù)據(jù)在時間范圍上更廣,有新、老兩個時間段,新一階段的股票數(shù)量根據(jù)市場變化也有所更新,是值得用于實證研究的數(shù)據(jù)集.這里選取ld作為一個投資期.
5.2 評價指標
本文采用了兩種指標來評估ONSC與其他策略對比的實驗效果.
(1)平均凈收益:凈收益表示累計收益扣除交易成本,本文每次選取3只股票,平均50次實驗的凈收益.這是度量一個算法的標準指標,顯然平均凈收益越大越好.
(2)周轉(zhuǎn)率:每期交易的平均資產(chǎn)百分比.可以用來做投資算法的穩(wěn)定性分析,周轉(zhuǎn)率越小表示策略的穩(wěn)定性越高.
5.3 實驗及結(jié)果
實驗的做法是從每個數(shù)據(jù)集中隨機選取3只股票,這樣隨機選取50次,并采用ONSC、ONS、CRP、SCRP、UP、SUP等6種策略來做投資.這里ONS與ONSC的參數(shù)設(shè)置為η=0,β=1,δ=0.125,ONSC的交易成本控制參數(shù)α= 10 000.表2、表3、表4和表5分別表示了當交易成本率分別為c - 0.05,0.02,0.01,0.001,0時,6種不同的策略在4個數(shù)據(jù)集上獲得的平均凈收益.在4個數(shù)據(jù)集的結(jié)果中,除了在NYSE(O)上當交易成本率為0時ONSC獲得的平均凈收益略低于ONS以外,其他情況下ONSC的表現(xiàn)比其他策略都要好,獲得的平均凈收益最高.
圖1、圖2、圖3和圖4展示了當c = 0.05時6種策略在4個數(shù)據(jù)集上的周轉(zhuǎn)率.從4這張圖可以看出ONSC得到了最小的周轉(zhuǎn)率,遠低于UP和CRP.表6展示了4個圖的數(shù)值結(jié)果,可以看出在數(shù)據(jù)集NYSE(O)與NYSE(N)上,ONSC的周轉(zhuǎn)率比剩余策略中周轉(zhuǎn)率最低的SCRP還要低一個數(shù)量級.而在SP500中,ONSC的周轉(zhuǎn)率只是剩余策略中周轉(zhuǎn)率最低的SUP的1/4.在TSE中,ONSC的周轉(zhuǎn)率也只是剩余策略中周轉(zhuǎn)率最低的SCRP的一半不到.結(jié)合以上兩個實驗,ONSC有較小的周轉(zhuǎn)率和較大的凈收益,而且只需較低的交易成本.
6 結(jié)論與展望
本文提出了一種新的在線投資組合選擇策略 在線牛頓步交易成本策略(ONSC),基于ONS的思想,充分利用投資組合向量的二階信息構(gòu)造優(yōu)化函數(shù),并在優(yōu)化函數(shù)中添加了交易成本懲罰項,控制了交易量和交易成本的大小.該方法具備ONS的二階信息優(yōu)勢,且能夠適應(yīng)存在交易成本的真實市場.本文對ONSC對應(yīng)的算法進行了理論分析,得到后悔邊界O(log(T)),并在4個真實數(shù)據(jù)集上對多個股票進行了大量實驗,發(fā)現(xiàn)ONSC得到的累計凈收益明顯高于其他在線投資組合選擇策略,并且獲得了最低的周轉(zhuǎn)率,其對應(yīng)的算法表現(xiàn)出良好的穩(wěn)定性.
[參考文獻]
[1]HELMBOLD D P, SCHAPIRE R E, SINGER Y, et al. Online portfolio selection using multiplicative updates[Jl Mathematical Finance, 1998, 8(4): 325-347.
[2]GYORFI L, LUGOSI G, UDINA F. Nonparametric kernel-based sequential investment strategies [J]. Mathemat-ical Finance, 2010, 16(2): 337-357.
[3]THEODOROS TSAGARIS, AJAY JASRA, NIALL ADAMS. Robust and adaptive algorithms for online portfoli。selection [J] Quantitative Finance, 2012, 12(11): 1651-1662.
[4]LI B. PAMR: Passive aggressive mean reversion strategy for portfolio selection [J]. Machine Learning, 2012,87(2): 221-258.
[5]LI B, HOI S C H, SAHOO D, et al. Moving average reversion strategy for on-line portfolio selection [J] . ArtificialIntelligence, 2015, 222(1): 104-123.
[6]AGARWAL A, HAZAN E, KALE S, et al. Algorithms for portfolio management based on the Newton method[C]//Proceedings of the 23rd International Conference on Machine Learning. 2006: 9-16.