黃梅花

【摘 要】在高等數(shù)學(xué)中，微積分證明題堪稱難點。在微積分證明題中引入數(shù)形結(jié)合的方法，可以把抽象難懂的微積分證明題變得直觀具體，利用數(shù)形結(jié)合來解題還有助于數(shù)學(xué)思維與創(chuàng)新能力的培育和養(yǎng)成。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;微積分;應(yīng)用

【中圖分類號】G642? 【文獻標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）22-0007-02

把數(shù)形結(jié)合的思想引入微積分證明題的解題中就是為了簡化解題思路，我們通常可以通過利用圖形的對稱性、利用幾何作圖法、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義與利用積分的幾何意義來解答微積分證明題[1]。

1? ?利用幾何作圖法來解答微積分證明題

例1：設(shè)，求。

單調(diào)有界原理是我們在解答這道題時的主要解法，然而我們?nèi)绾握页龃藬?shù)列的上界呢？我們可以引入數(shù)形結(jié)合的解題思想，通過作圖來直觀的看出數(shù)列的有界性與單調(diào)性，如圖1中所示：

我們可以把數(shù)列的遞推公式看成是方程x=f（x）的迭代格式，它的根就是的極限。我們可以作直線y=x與曲線y=，二者的交點為P（a，a），

其中a=，在x軸上取初值x1，然后過x1點做x軸的垂線與y=相交于P1（x1，f（x1））=P1（x1，x2），Q1的坐標(biāo)為（x2，x2），然后過Q1作X軸的垂線交y=于P2（x2，f（x2））=P2（x2，x3），以此類推，可以由P2得出Q2=（x3，x3），然后再得到P3（x3，x4），如此推導(dǎo)下去，即可得出x1

因此，我們可以由此證明，由于a=是方程x=的根，所以=c+a，然后：，同時由于x1=<=a，根據(jù)歸納法可以得知，

2? ?利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義來解答微積分證明題

由于曲線的切線與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)，因此，通過數(shù)形結(jié)合的思想利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能更好的幫助我們來解答微積分證明題。

例2：假設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，并且在（a，b）內(nèi)二階可導(dǎo)，連接點（a，f（a））與點（b，f（b））的直線段交曲線y=f（x）于點（c，f（x）），并且a

可以從題中得知用羅爾定理來證明此題，可以假設(shè)F（x）=f′（x），為了使它滿足羅爾定理的條件，需要找出兩個點，使F（x）在這兩點處的值相等，可以從圖三中發(fā)現(xiàn)，曲線弧AC上的點（a1，f（a1））處的切線與曲線弧CB上的點（a2，f（a2））處的切線平行，即F（a1）=F（a2），而a1，a2可以由Lagrange中值定理得到，所以對函數(shù)F（x）在[a1，a2]上應(yīng)用羅爾定理即可。

由此可以證明，在[a，c]和[c，b]上對y=f（x）分別使用拉格朗日中值定理，可以得出（a，c）上存在一點a1，在（c，b）上存在一點a2，使f′（a1）=，

f′（a2）=，同時又由于=

因此，可以得出f′（a1）=f′（a2）。

又因為F（x）=f′（x）在[a1，a2]上連續(xù)，同時又在（a1，a2）上可導(dǎo)，由羅爾定理可知至少存在一點a∈（a，b），使得f″（a）=0。

3? ?利用積分的幾何意義來解答微積分證明題

例3：已知f（x）是[a，b]上的連續(xù)遞增的函數(shù)，試證明f（x）至少存在一點a∈（a，b），使。

如圖3所示，可以從幾何意義上來理解此等式，表示矩形BCFG的面積，表示矩形ADFE的面積，而等式的右端則表示階梯形ADCBGE的面積。

當(dāng)=b時，此時階梯型的面積最小，當(dāng)=a時，此時階梯形的面積最大，而曲邊梯形ABGE的面積則介于這二者之間。等式表明，曲邊梯形ABGE的面積恰好等于某一個階梯形面積。我們因此可以用連續(xù)函數(shù)的介值定理來證明，我們可以設(shè)階梯形的面積函數(shù)為輔助函數(shù)。

解題過程如下：設(shè)F（x）=f（a）（x-a）+f（b）（b-x），則F（x）在[a，b]上連續(xù)，且F（a）=f（b）（b-a），F(xiàn)（b）=f（a）（b-a），又因f（x）是[a，b]上的遞增的連續(xù)函數(shù)，所以對一切x∈[a，b]有f（a）≤f（x）≤f（b）。由定積分性質(zhì)有f（a）（b-

a）≤≤f（b）（b-a）。又由于F（a）=f（b）（b-a），F(xiàn)（b）=f（a）（b-a），所以F（b）≤≤F（a）。由介值定理可知，至少存在一點∈（a，b），使=F（a）。即。

4? ?結(jié)語

綜上所述，通過以上的例題可以發(fā)現(xiàn)，引入數(shù)形結(jié)合思想是解答微積分證明題的有效方法，因此在微積分解題中應(yīng)熟練掌握并運用。通過把數(shù)形結(jié)合的思想引入微積分解題之中，把抽象的微積分公式具體直觀化，更有助于激發(fā)和培育自身的數(shù)學(xué)思維與創(chuàng)新能力。

【參考文獻】

[1]李慧娟，傅海倫，權(quán)奎.試論高中導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的教育價值[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2016（24）.

[2]夏沛庭.用簡單的數(shù)形結(jié)合思想和微分證明微積分基本公式[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（11）.