余建剛

摘?要：本文由一道2019年全國高考理科數(shù)學(xué)題引出“小量近似”在高考和競賽中的應(yīng)用，簡要地闡述了小量近似的定義及數(shù)學(xué)來源、小量近似的近似程度及典例說明.

關(guān)鍵詞：小量近似;物理競賽;高考

2019年全國高考理科數(shù)學(xué)Ⅱ卷第4題，題目如下：

2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球軟著陸，我們航空事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為了解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼衛(wèi)星“鵲橋”.鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行，L2點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為M1，月球為M2，地月距離為R，L2點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓定律和萬有引力定律，r滿足方程M1（R+r）2+M2r2=（R+r）M1R3.

設(shè)α=rR，由于α的值很小，因此近似計算中3α3+3α4+α5（1+α）2≈3α3，則r的近似值為（?）

A.M2M1R?B.M22M1R?C.33M2M1R?D.3M23M1R

無獨(dú)有偶，第32屆全國中學(xué)生物理預(yù)賽題也曾有類似的數(shù)學(xué)處理方法，題目如下：2011年8月中國發(fā)射的宇宙飛船“嫦娥二號”在完成探月任務(wù)后，首次從繞月軌道飛向日地延長線上的拉格朗日點(diǎn)，在該點(diǎn)，“嫦娥二號”和地球一起同步繞太陽做圓周運(yùn)動.已知太陽和地球的質(zhì)量分別為MS和ME， 日地距離為R.該拉格朗日點(diǎn)離地球的距離x滿足的方程為，由此解得x≈.（已知當(dāng)λl時，（1+λ）n≈1+nλ）

此二題在計算過程均涉及到小量近似的處理方法，其實小量近似在中學(xué)物理競賽中，是比較普遍的數(shù)學(xué)處理方法，屢見不鮮.但對普通的高考生而言或許有點(diǎn)陌生.故筆者撰寫本文簡述“小量近似”在高考和競賽中的應(yīng)用，以期達(dá)到拋磚引玉之效.

1?小量近似的定義及數(shù)學(xué)來源

在數(shù)學(xué)中，我們把以零為極限（即無限趨近于零但又不為零）的變量，稱為無窮小量，即小量.小量近似，就是指在運(yùn)算中為了簡化運(yùn)算結(jié)果，但又不影響結(jié)果正確性的前提下，將一些相對較小的項忽略不計的運(yùn)算方法.

數(shù)學(xué)上，有一個有名的公式稱泰勒Taylor展開公式（或稱泰勒公式），將任意一個函數(shù)寫成多項式的形式，各項分別為零階小量、一階小量、二階小量…….公式如下：

f（x0+Δx）=f（x0）+f ′（x0）Δx+f″（x0）2！Δx2+……+f（n）（x0）n！Δxn+o（Δxn）

（注：公式最后一項o（Δxn）表示剩下所有的項，相對于Δxn都是小量.）

常見函數(shù)在x0=0處的泰勒展開：

sinx=x-x33！+x55！-x77！+…+（-1）kx2k+1（2k+1）！+o（x2k+1）

cosx=1-x22！+x44！-x66！+…+（-1）k（2k）！x2k+o（x2k）.

（1+x）μ=1+μx+μ（μ-1）2！x2+…+μ（μ-1）…（μ-n+1）n！xn+o（xn）.

11+x=1-x+x2-x3+…+（-1）nxn+o（xn）.

ex=1+x+x22！+…+xnn！+o（xn）.

ln（1+x）=x-x22+x33-x44+…+（-1）n-1xnn+o（xn）.

注：不是所有的函數(shù)在所有的位置都可以進(jìn)行泰勒展開.只有當(dāng)高階項越來越小且趨近于0時才能用泰勒展開的前幾項之和來近似原函數(shù)的值.

高中階段能夠見到的小量近似公式全部可以用泰勒公式展開得到.用泰勒公式展開，忽略高階小量，只取一階近似，可得到物理競賽中常見的如下近似公式：

sinx=x;cosx=0;ex=1+x;ln（1+x）=x（1±x）n=1±nx（以上公式中的x均為小量）

2?小量近似的方法

（1）對一個小角量θ來說，它的正弦值、正切值與其本身相等，即θ≈sinθ≈tanθ.小角量θ所對應(yīng)的弧長與弦長也相等.

（2）在研究一個普通量時，可以將小量忽略不計.如計算常量A與小量Δ β之和，可以忽略后面小量，結(jié)果直接為A.

（3）在研究小量時，可以忽略比它階數(shù)高的小量.比如Δβ是小量，Δβ2、Δβ3、 Δβ4等都是比Δβ更高階的小量，我們就可以將其忽略不計.

3?小量近似的近似程度

在物理競賽中應(yīng)用小量近似，應(yīng)近似到什么程度？ 物理競賽中的小量近似，既要體現(xiàn)出小量對函數(shù)的影響，又要達(dá)到簡化運(yùn)算的目的，所以絕大多數(shù)情況，泰勒公式展開后，取一階近似即可，二階和更高階的小量可忽略.但有兩種情況例外：

（1）若函數(shù)本身為小量，為了體現(xiàn)更高階小量對函數(shù)的影響，則可保留更高一階的小量.

（2）若取一階近似無法體現(xiàn)出小量對函數(shù)的影響，則可取更高一階的近似.比如單由度保守力場中，在平衡位置附近對勢能函數(shù)的展開，設(shè)勢能函數(shù)為U（x），平衡位置為x0，在平衡位置x0附近展開勢能函數(shù)則有U（x）=U（x0）+U（1）（x-x0）+12U（2）（x-x0）2+O（x-x0）n

由于勢能函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值在平衡位置取零，即U（1）（x-x0）=0 ，所以勢能函數(shù)一階小量為零，若只取一階近似，則無法體現(xiàn)出小量對勢能函數(shù)的影響，于是二階小量12U（2）（x-x0）2也應(yīng)保留.

4?小量近似的應(yīng)用典例

（1）小角度近似

對一個小角量θ來說，它的正弦值、正切值與其本身相等，即當(dāng)θ→0時，θ≈sinθ≈tanθ. 譬如，證明小角度近似下單擺可以近似為一個簡諧運(yùn)動.證明如下：

證明：如圖1，在很小角度下物體受回復(fù)力：

F回=-mgsinθ≈-mgθ=-mgxL=-kx，

具有簡諧運(yùn)動回復(fù)力的特征，k=mgL，

周期為：T=2πmk=2πLg.

又如光學(xué)中近軸光學(xué)入射，觀察水中的魚或玻璃中物體的視深公式.

證明：如圖2，由光的折射定律：1×sini=n×sinr

根據(jù)小角度近似，有sini≈tani=OAh′，sinr≈tanr=OAh

整理，得1×OAh′=n×OAh ，

因此，像的位置h′=hn

（2）一階小量近似

物理過程運(yùn)算關(guān)系式常以多項式形式出現(xiàn)，這時可以運(yùn)用以下的近似處理（1±x）n=1±nxx1.其依據(jù)就是當(dāng)要求精度不高的時候，應(yīng)當(dāng)略去 x 的高階小量，而保留 x 的一階量，泰勒公式展開，略去高階小量，只保留一階小量.

譬如，本文開篇所提到的32屆預(yù)賽題，已知拉格朗日點(diǎn)處“嫦娥二號”和地球一起同步繞太陽做圓周運(yùn)動.太陽和地球的質(zhì)量分別為MS和ME， 日地距離為R.求該拉格朗日點(diǎn)離地球的距離x滿足的方程為和位置x .我們不妨用小量近似求解一下.

解：根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，有

Gmsm（R+x）2+GmEmx2=mω2（x+R）

GmsmER2=mEω2（x+R）

聯(lián)立，得 GmsmR（1+xR）2+GmEmx2=GmsR2（1+xR）

由于xR，則（1+xR）-2=1-2xR即

mE x2≈ms R2·3xR，解得x = （mE 3ms ）13R

（3）二階小量近似

在小量近似處理中，當(dāng)取一階近似時，無法體現(xiàn)出小量對所求函數(shù)造成的影響，因而要繼續(xù)去二階小量近似.譬如下題：

一塊厚度為 h 的勻質(zhì)長方形物塊，靜止地放在半徑為 R 的半圓柱頂面上，如圖 3（a）所示.設(shè)摩擦系數(shù)足夠大，長方形物塊與柱面不發(fā)生滑動.求此靜止位置為穩(wěn)定平衡的條件.

物體平衡位置為穩(wěn)定平衡位置的條件是：當(dāng)此物體稍微偏離平衡位置時，將受到指向平衡位置的合力作用（平衡力），使物體回到平衡位置.從勢能的角度看，如果物體向兩側(cè)移動一個微小的距離，物體的重心提高了，即重力勢能增加了，則物體將在重力的作用下回復(fù)到平衡位置，為穩(wěn)定平衡;若重力勢能減小則不是穩(wěn)定平衡.由此依據(jù)可得.

解：設(shè)長方形物體稍微離開平衡位置轉(zhuǎn)過微小角度 θ，如圖 3（b）.

則此時物塊重心位置為：

y=（R+h2）cosθ+Rθsinθ

≈（R+h2）（1-θ22）+Rθ2

=（R+h2）+θ22（R-h2）

穩(wěn)定平衡的條件是y>R+h，得θ22（R-h2）>0

因此，穩(wěn)定平衡的條件為R>h2.

從上面的解題過程中，當(dāng)小角度近似時，sinθ≈θ 采用一階小量近似，而cosθ則采用二階小量，其原因是cosθ若取一階小量近似時cosθ≈1，無法體現(xiàn)出小量對所求函數(shù)造成影響，因而要繼續(xù)取二階小量近似，即cosθ≈1-θ22.