楊格瑞

摘 要：在三角形中，如果一條邊確定，這條邊所對的角的度數(shù)也確定，這樣的三角形有無數(shù)個，此時組成角的頂點有無數(shù)個，這些點的運動軌跡是圓上一段弧，因為同弧所對的圓周角相等這個定理，那三角形的這條邊就是定邊（圓中稱之為弦），定邊所對的角的度數(shù)確定，這個角就是定角，這就是“隱形圓”中重要的定角定弦模型。定角定弦模型主要解決高最值，周長最值和面積最值問題。

關(guān)鍵詞：定角定弦;隱形圓;最值;數(shù)學(xué)建模

定角定弦問題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點和難點問題，也是中考考查的重點。所以近年來，陜西以至全國各地的中考題或者名校的?？碱}中經(jīng)常會出現(xiàn)“隱形圓”中“定角定弦”求最值的問題。如陜西省中考真題2016年和2019年，陜西省中考副題2016年和2017年壓軸題。此類問題綜合性強，常常會與三角形，四邊形進行結(jié)合起來，隱蔽性強，大多數(shù)學(xué)生不容易想到，加上部分題目的計算量大，就很容易造成學(xué)生的丟分。很多學(xué)生面對定角定弦求最值問題時往往無從下手，其實是他們沒有掌握解決這一問題的方法和策略，也就是數(shù)學(xué)模型，基于此，在2018屆和2019屆初三復(fù)習(xí)課中，筆者對“隱形圓”中“定角定弦”模型進行潛心研究，旨在探索出解決這類問題的有效措施，并且應(yīng)用于課堂當(dāng)中，使得學(xué)生在模型中掌握知識和技能，提高解決問題的能力，在中考中得到了很好的應(yīng)用，學(xué)生反映良好。

一、模型建立

圓周角定理推論：同弧所對的圓周角相等。但在一個三角形中，如果知道一條邊和這條邊所對的角，那么利用圓周角定理推論得出點C的運動軌跡是在雙弧上。所以就可以得出“隱形圓”存在的條件：定角定弦，產(chǎn)生“隱形圓”。（如圖1）

二、“定角定弦”模型知識儲備

1.已知線段AB，求作點P，使得∠APB=90°，請作出點P的運動軌跡。分析：直角所對的邊是直徑。依據(jù)：定點加定長（如圖2）

2.已知線段AB，求作點P，使得∠APB=60°，請作出點P的運動軌跡。分析：做一個等邊三角形，然后做等邊三角形的外接圓，上下兩個，優(yōu)弧上所有點和AB組成的角∠APB=60°，此時為雙弧。依據(jù)：定邊對定角（如圖3）

3.舉一反三：會做定角為90°的“隱形圓”，那思考一下45°的“隱形圓”怎么做？135°的“隱形圓”？120°的“隱形圓”呢（如圖4）？

三、模型應(yīng)用

以2019年陜西中考真題壓軸題第三問為例：

25.（本題滿分12分）問題提出 ?1.如圖1，已知△ABC，試確定一點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形，請畫出這個平行四邊形.

問題探究 ?2.如圖2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10.若要在該矩形中作出一個面積最大的△BPC，且使∠BPC=90°，求滿足條件的點P到點A的距離。

問題解決 ?3.如圖3，有一座塔A，按規(guī)劃，要以塔A為對稱中心，建一個面積盡可能大的形狀為平行四邊形景區(qū)BCDE.根據(jù)實際情況，要求頂點B是定點，點B到塔A的距離為50米，∠CBE=120°.那么，是否可以建一個滿足要求的面積最大的平行四邊形景區(qū)BCDE？若可以，求出滿足要求的□BCDE的最大面積;若不可以，請說明理由.（塔A的占地面積忽略不計）

分析：1.如圖6，分別找BC、AB、AC中點，由判定：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，得平行四邊形ABCD1，平行四邊形ABCD2，平行四邊形ABCD3或作平行線方法，或做全等得方法均可得到三個平行四邊形。

2.如圖7，∠BPC=90°，BC=10，定角定弦隱形圓，90°的圓O交AD分別于點P1，P2，此時S△BPCmax在Rt△OP1E中，OP1=r=5，OE=4，∴P1E=3，AP1=2，AP2=8

3.如圖8，點A為平行四邊形對稱中心，BA=50，∴BD=2BA=100（定值），∠CBE=120°，由平行四邊形鄰角互補知，∠BCD=60°，定角定弦隱形圓，以BD為邊，作圓周角為60°的隱形圓圓O，則優(yōu)弧為點C的運動軌跡，由（1）作平行四邊形BCDE，2S△BCD=S△平行四邊形BCDEmax，當(dāng)點M為優(yōu)弧中點時，或OA⊥DB交優(yōu)弧于點M時，此時S△平行四邊形BCDEmax=2，2S△BCM=2××100×50=5000m2

四、模型總結(jié)

定角定弦問題常應(yīng)用于求線段的“最值”，問題的關(guān)鍵就在于找到運動過程中必存在的定線段，及這條線段關(guān)于某一動點的張角為定值。由張角的變化，去尋找這三點所構(gòu)成的隱形圓。找到此處為突破口，建立數(shù)學(xué)模型，綜合性問題就迎刃而解。“定角定弦隱形圓數(shù)學(xué)模型”在初三二輪復(fù)習(xí)時作為“隱形圓”非常重要的模型，他的價值在于積累聯(lián)想原型，啟迪解題方向，為隱形圓綜合性問題找到更快更準(zhǔn)確的解決方法促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。