李琳

【摘要】圓錐曲線的學(xué)習(xí)一直以來(lái)都是高中學(xué)生共同的難點(diǎn)，它是代數(shù)與幾何的完美結(jié)合.幾何畫(huà)板可以提供一個(gè)在動(dòng)態(tài)中觀察幾何規(guī)律的作圖工具，實(shí)現(xiàn)充分發(fā)揮課堂上教師主導(dǎo)學(xué)生主體的作用，給學(xué)生創(chuàng)造探索性學(xué)習(xí)的直觀環(huán)境，可以很好地幫助學(xué)生進(jìn)行圓錐曲線的學(xué)習(xí).本文以人教A版選修2-1第二章“圓錐曲線”為例，闡述利用幾何畫(huà)板輔助教學(xué)提升高中生“直觀想象”能力.

【關(guān)鍵詞】幾何畫(huà)板;直觀想象;圓錐曲線

“直觀想象”作為高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，其重要性不言而喻，同時(shí)也是高中生所必備的核心素養(yǎng).圓錐曲線是高中階段較難的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，很多同學(xué)望而卻步，甚至有些同學(xué)完全放棄這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，這無(wú)疑既不能讓自己決勝于高考，也不能使學(xué)生符合當(dāng)今新課程標(biāo)準(zhǔn)所提出的要求.下面本文利用幾何畫(huà)板輔助教學(xué)從概念和解題兩方面探究圓錐曲線的學(xué)習(xí)，從而提升高中生的“直觀想象”能力.

一、應(yīng)用幾何畫(huà)板輔助概念教學(xué)提升高中生“直觀想象”能力

概念是較抽象的，學(xué)生對(duì)概念的理解總是一知半解，如果利用幾何畫(huà)板輔助教學(xué)，可以讓學(xué)生從直觀上來(lái)理解某些概念的內(nèi)涵.希爾伯特在“直觀幾何”的序言里寫(xiě)道：“要幫助我們的學(xué)生學(xué)會(huì)用圖形來(lái)描述和刻畫(huà)問(wèn)題，要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用圖形去發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的思路，要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用圖形來(lái)理解我們得到的結(jié)果和記憶我們的結(jié)果.”幾何畫(huà)板不僅能準(zhǔn)確地畫(huà)出圖形還能動(dòng)態(tài)展示圖形的位置關(guān)系與變化規(guī)律，這對(duì)高中生學(xué)習(xí)圓錐曲線的概念，提升高中生的直觀想象能力，其作用和效果都是傳統(tǒng)教學(xué)不可替代的.

以橢圓為例，傳統(tǒng)的教學(xué)是用一根細(xì)繩固定兩端，用粉筆繞著細(xì)繩畫(huà)軌跡.它有一些不足：首先操作性不強(qiáng)，小組合作畫(huà)圖若是課前沒(méi)有經(jīng)過(guò)訓(xùn)練，學(xué)生要畫(huà)出個(gè)像樣的橢圓要將近十分鐘，這就給后面學(xué)習(xí)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)帶來(lái)困難，不能很好地處理本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn);其次，繩子的粗細(xì)、繩子端點(diǎn)的移動(dòng)、操作過(guò)程中不可避免的誤差等都會(huì)影響到所畫(huà)橢圓的形狀.然而，利用幾何畫(huà)板進(jìn)行教學(xué)，可以準(zhǔn)確、清晰、便捷、快速地把橢圓的生成過(guò)程展現(xiàn)給學(xué)生，可以幫助學(xué)生用動(dòng)態(tài)圖形去發(fā)現(xiàn)和探究圖形并抽象出橢圓的概念，把橢圓變成一個(gè)運(yùn)動(dòng)的活圖形，讓學(xué)生對(duì)概念的理解更直觀、更深入.另外幾何畫(huà)板作圖可以減少一些不必要的重復(fù)操作，節(jié)省課堂上寶貴的時(shí)間，合理分配課堂時(shí)間，保證教學(xué)重難點(diǎn)的有序進(jìn)行，從而提高學(xué)生的上課效率和教師的授課效率.比如，講授橢圓的定義時(shí)，課堂上教師首先引導(dǎo)學(xué)生回憶必修二里所學(xué)的圓的定義，然后提出問(wèn)題：如果把繩子的兩端都固定筆尖可以畫(huà)出什么軌跡？接下來(lái)，用幾何畫(huà)板展示作圖過(guò)程，簡(jiǎn)潔而準(zhǔn)確.

如圖1所示，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡是一個(gè)光滑漂亮的橢圓，這樣就能簡(jiǎn)短又高效地引出本節(jié)課的內(nèi)容.接下來(lái)學(xué)習(xí)橢圓的定義時(shí)類(lèi)比圓的定義結(jié)合幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)展示橢圓的生成過(guò)程，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)雖然P點(diǎn)一直在動(dòng)，它到兩定點(diǎn)的距離也一直在變，但是P點(diǎn)到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和始終不變，學(xué)生自然而然就水到渠成地抽象出橢圓的定義了.

有了橢圓的定義再學(xué)習(xí)雙曲線和拋物線定義時(shí)，利用幾何畫(huà)板展示作圖過(guò)程，學(xué)生也很容易抽象出雙曲線和拋物線的定義了，如圖2和圖3所示.通過(guò)觀察幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)圖形，學(xué)生對(duì)三種圓錐曲線的概念理解無(wú)疑是深刻的，幾何畫(huà)板強(qiáng)大而靈活的動(dòng)態(tài)性，為提升學(xué)生的直觀想象能力提供了不可估量的作用.

結(jié)論5 當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸為y軸或平行于y軸時(shí)，如圖8-3所示，在其對(duì)稱軸上取一點(diǎn)Q，使得過(guò)點(diǎn)Q作拋物線對(duì)稱軸的垂線與拋物線有兩個(gè)相異交點(diǎn)A，B，且M為拋物線上異于A，B的任意點(diǎn)，則直線MA的斜率與直線MB的斜率之差為定值b2-4a（c-h）;當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸平行于x軸或?yàn)閤軸時(shí)，如圖8-4所示，在其對(duì)稱軸上取一點(diǎn)Q，使得過(guò)點(diǎn)Q作拋物線對(duì)稱軸的垂線與拋物線有兩個(gè)相異交點(diǎn)A，B，且M為拋物線上異于A，B的任意點(diǎn)，則直線MA的斜率的倒數(shù)與直線MB的斜率的倒數(shù)之差為定值2p（m-h）p.

綜上，我們從代數(shù)和圖形兩方面推理論證了這些結(jié)論的正確性.而學(xué)生通過(guò)對(duì)幾何畫(huà)板做出圖形的觀察和思考，能夠直觀地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，大膽提出假設(shè)，再用理論推理最后得出正確結(jié)論，既直觀又省時(shí)，高效地提升了學(xué)生的“直觀想象”能力，這是傳統(tǒng)的“粉筆加黑板”模式教學(xué)不能做到的.