李昭平

縱觀近幾年的高考題，無論是全國卷還是省市自主命題卷，解析幾何主要考查直線與圓、三種圓錐曲線的基本知識(shí)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，定點(diǎn)、定值與對(duì)稱關(guān)系等等，一般穩(wěn)定在一選一填一解答，分值大約占總分的14.7%左右. 雙曲線問題往往在客觀題中出現(xiàn)，解答題考查橢圓或拋物線，客觀題往往處于靠后的位置. 由于解析幾何問題涉及面廣、運(yùn)算量大、綜合性強(qiáng)，專題復(fù)習(xí)中關(guān)注以下八個(gè)切入點(diǎn)，能有效掌握解析幾何的核心知識(shí)與方法，并與相關(guān)知識(shí)融會(huì)貫通，提高解題能力.

1. 考查定義

橢圓、雙曲線和拋物線的定義反映了三種圓錐曲線的本質(zhì)特征. 對(duì)于高考或?？贾心承﹫A錐曲線客觀題，若從定義入手，往往能快速實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo).

例1. 過拋物線C ∶ ?x2=2y的焦點(diǎn)F的直線交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，若 |MN|=8，則線段MN的中點(diǎn)到x軸的距離是（ ?）

A. 3 ? B. ■?C. 4D. ■

解析：分別過M、N作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為P，Q，過線段MN的中點(diǎn)A作AE垂直于準(zhǔn)線y=-■，垂足為E.

根據(jù)拋物線的定義知，|NP|=|NF|，|MQ|=|MF|，所以|NP|+ |MQ|=8. 于是梯形NPQM的中位線長是4，所以線段MN的中點(diǎn)到x軸的距離是4-■=■. 故選B.

點(diǎn)評(píng)：由拋物線的定義可以做兩個(gè)方面的推理： 一是拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離;二是到定點(diǎn)和定直線（定點(diǎn)不在定直線上）的距離相等的點(diǎn)，是以定點(diǎn)為焦點(diǎn)、定直線為準(zhǔn)線的拋物線. 活用這兩個(gè)結(jié)論解拋物線題，往往事半功倍. 橢圓和雙曲線也完全類似.

訓(xùn)練題1：如圖1，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1 ∶ ?■+■=1與雙曲線C2公共的焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2，在第二、四象限的公共點(diǎn). 若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是_________.

解析：對(duì)于橢圓上的點(diǎn)A，利用橢圓的定義得，|AF1|+ |AF2|=6.

設(shè)|AF1|=m，|AF2|=n，則m+n=6.

在Rt？駐AF1F2中，n2+m2=（2■）2 =28.

由（n-m）2+（n+m）2=2（n2+m2）， 得n-m=2■.

對(duì)于雙曲線上的點(diǎn)A，利用雙曲線的定義，得n-m=2a.

所以2a=2■，a=■. 于是，C2的離心率是e=■=■=■.

2. 考查點(diǎn)差法

所謂點(diǎn)差法，一般是指由圓錐曲線上若干個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓錐曲線的方程而得到若干個(gè)方程，將這若干個(gè)方程實(shí)施整體相減，以實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)的方法. 對(duì)于圓錐曲線的弦、弦的中點(diǎn)、弦所在的直線、弦的中垂線等問題，若能靈活運(yùn)用點(diǎn)差法，往往簡(jiǎn)單快捷.

例2. 雙曲線x2-2y2=1中斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程是_________.

解析：設(shè)斜率為2的平行弦（動(dòng)弦）的兩個(gè)端點(diǎn)A、 B的坐標(biāo)分別為（x1， y1）， （x2， y2），中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x， y）， 則 ■-2■=1，■-2■=1.

兩式整體相減， 得（x1+x2）（x1-x2）-2（y1+y2）（y1-y2）=0. 顯然x1≠x2，

∴ （x1+x2）-2（y1+y2）·■=0. 而■=2，x1+x2=2x，y1+y2=2y，

∴ 2x-8y=0，x-4y=0. 聯(lián)立x2-2y2=1，x-4y=0，解得x= ± ■.

故斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程是x-4y=0（x<-■或 x>■）.

點(diǎn)評(píng)：本題中漸近線的斜率是■平行弦的斜率是2，2>■，平行弦的中點(diǎn)應(yīng)該在雙曲線內(nèi)部，其軌跡直線x-4y=0上不在雙曲線內(nèi)的均為暇點(diǎn)（有無數(shù)多個(gè)），必須去掉這些暇點(diǎn). 否則，軌跡方程錯(cuò)誤.

訓(xùn)練題2：橢圓x2+2y2=1中斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程是__________.

解析：設(shè)平行弦的兩個(gè)端點(diǎn)是A（x1，y1），B（x2，y2），則■+2■=1，■+2■=1，

相減， 得（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0，所以■·■=-■，

即2·■=-■，x+4y=0. 聯(lián)立x2+2y2=1，x+4y=0，解得x= ± ■.

故斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程是x+4y=0（-■

3. 考查分類討論

平面解析幾何主要包括運(yùn)用“代數(shù)方法研究幾何問題”和“用幾何方法研究代數(shù)問題”兩大類，既有代數(shù)計(jì)算又有幾何直觀，其中涉及到分類討論的問題不少. 分類討論通常由以下幾個(gè)方面的原因引起：一是數(shù)學(xué)概念、法則、公式、定理、性質(zhì)有適應(yīng)性范圍或限制性條件;二是幾何位置關(guān)系的變化;三是參數(shù)的變化. 所以解題時(shí)我們要弄清原因，根據(jù)對(duì)象確定統(tǒng)一的分類標(biāo)準(zhǔn)，適時(shí)分層展開討論，做到不重不漏.

例3. 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A1（-a， 0）， A2（a， 0）（a>0）連線的斜率之積等于常數(shù)m（m≠0）的點(diǎn)的軌跡，連同A1，A2兩點(diǎn)所形成的曲線為C. 求曲線C的方程，并說明C的形狀.

解析：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）.

當(dāng)x≠ ± a時(shí)，由條件可得k■·k■=■·■=■=m，

即mx2-y2=ma2（x≠± a）. 而A1（-a， 0）， A2（a， 0）（a>0）的坐標(biāo)滿足mx2-y2=ma2，

故曲線C的方程為mx2-y2=ma2， 即■+■=1.

若m<0， （1）當(dāng)a2<-ma2， 即m<-1時(shí)， 曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.

（2）當(dāng)a2=-ma2，即m=-1時(shí)，C的方程為x2+y2=a2，曲線C是圓心在原點(diǎn)、半徑為a的圓.

（3）當(dāng)a2>-ma2，即-1

若m>0，曲線C的方程為■-■=1，是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.

點(diǎn)評(píng)：本題求曲線C的方程時(shí)，對(duì)直線的斜率進(jìn)行了分類討論（x≠± a和x= ± a）. 在得到■+■=1后，發(fā)現(xiàn)參數(shù)m的取值影響a2與-ma2的大小和-ma2 的正負(fù)，進(jìn)而再分m<0和m>0兩類討論. 在m<0中又分三類討論，確定曲線形狀. 由于圓、橢圓、雙曲線、拋物線的方程都是二元二次方程，所以參數(shù)在不同范圍取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的曲線也會(huì)不同.我們要合理分類，深化層次，才能得到正確的結(jié)論.

訓(xùn)練題3：已知定圓A∶ （x+■）2+y2=16的圓心為A，動(dòng)圓M過點(diǎn)B（■， ?0），且和圓A相切，動(dòng)圓的圓心M的軌跡記為C.

（Ⅰ）求曲線C的方程;

（Ⅱ）若點(diǎn)P（x0， y0）為曲線C上一點(diǎn)，試探究直線l ∶ x0x+4yy0-4y0=0與曲線C是否存在交點(diǎn)？若存在，求出交點(diǎn)坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由.

解析：（Ⅰ）利用橢圓的定義易得曲線C的方程為■+y2=1.

（Ⅱ）當(dāng)y≠0時(shí)，由x0x+4yy0-4y0=0，得y=■，聯(lián)立方程組y=■，■+y2=1.消去y， 得（4■+■）x2-8x0y0x=0……①

由點(diǎn)P（x0， y0）在曲線C上，得■+■=1，即4■+■=4. 于是，方程①可以化簡(jiǎn)為4x2-8x0y0x=0，解得x=0，或x=2x0y0. 將x=0代入方程得y=■得y=1;將x=2x0y0代入方程y=■得y=■.

當(dāng)y0=0時(shí)，由■+■=1可得x0= ± 2. 此時(shí)直線l的方程為：x=0，與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)（0， 1）， （0， -1）. 顯然y0=0時(shí)，y=■=-1.

綜上知，直線l與曲線C總有兩個(gè)交點(diǎn)（0， 1）， （2x0y0， ■）.

4. 考查離心率公式

我們知道，橢圓和雙曲線的離心率e=■是用來刻畫兩種曲線形狀的主要標(biāo)尺之一，而橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)三角形中的三邊又與兩種曲線方程中a， b， c的密切相關(guān)，這就自然引發(fā)我們的思考：兩種曲線的離心率e=■與焦點(diǎn)三角形中的邊角之間會(huì)有怎樣的關(guān)系呢？

例4. 如圖2，設(shè)橢圓的方程為■+■=1（a>b>0），F(xiàn)1、F2是左右焦點(diǎn). 點(diǎn)P是橢圓上除長軸上兩個(gè)頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，且∠PF1F2=？琢，∠PF2F1=？茁，試證明：橢圓的離心率e=■.

解析：在焦點(diǎn)三角形？駐PF1F2中，

■=■=■？圯■=■？圯■=■？圯e=■=■=■=■. 當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，同理可推出上式.

點(diǎn)評(píng)：本題得到橢圓的另一個(gè)離心率公式：e=■，其中點(diǎn)P是橢圓上除長軸上兩個(gè)頂點(diǎn)外的任一點(diǎn). 也就是說， 橢圓的離心率由焦點(diǎn)三角形中任意的兩個(gè)角確定. 類似地可以得到雙曲線的另一個(gè)離心率公式e=■. 這兩個(gè)公式結(jié)構(gòu)非常相似，充分體現(xiàn)了兩種曲線內(nèi)在規(guī)律的統(tǒng)一性、和諧性. 靈活運(yùn)用這兩個(gè)公式，往往能收到事半功倍之效.

訓(xùn)練題4：如圖3，設(shè)雙曲線的方程為■-■=1（a>0，b>0），F(xiàn)1、F2是左右焦點(diǎn). 點(diǎn)P是雙曲線左支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，且∠PF1F2=？琢，∠PF2F1=？茁，試證明：雙曲線的離心率e=■.

解析：■=■=■？圯■=■？圯■=■？圯e=■=■=■=■.

當(dāng)點(diǎn)P是雙曲線右支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)時(shí)，同理可以得到 ？圯e=■.

對(duì)于焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，以上兩式也成立. 于是就得到雙曲線的另一個(gè)離心率公式：e=■，其中點(diǎn)P是雙曲線上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn). 也就是說，雙曲線的離心率由焦點(diǎn)三角形中任意的兩個(gè)角確定.

訓(xùn)練題5：（1）橢圓■+■=1的焦點(diǎn)為F1、F2，過點(diǎn)F2的弦P1P2⊥x軸，交橢圓于P1、P2兩點(diǎn)，若？駐P1F1P2為等邊三角形，則橢圓的方程是__________.

（2）設(shè)點(diǎn)P是雙曲線2y2-x2=2上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且∠F1PF2=60°，求∠PF1F2和∠PF2F1的大小.

解析：（1）對(duì)焦點(diǎn)三角形？駐P1F1F2運(yùn)用橢圓的離心率公式e=■，得到e=■=■=■·■=■. 又因?yàn)殡x心率e=■=■，所以■=■，解得m=8. 故橢圓的方程為■+■=1.

（2）雙曲線2y2-x2=2的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2-■=1，焦點(diǎn)在y軸上，且a2=1，b2=2，c2=3，所以雙曲線的離心率e=■=■.

設(shè)∠PF1F2=？琢，∠PF2F1=？茁，則？琢+？茁=120°，？琢-？茁=？琢-120°+？琢=2？琢-120°.

由雙曲線的離心率公式e=■，可以得到e=■.

于是■=■，sin|？琢-60°|=■，？琢-60°= ± 30°，？琢=90°或？琢=30°.

故∠PF1F2和∠PF2F1分別為90°、30°或30°、90°.

5. 考查存在性

由于解析幾何主要研究圖形，圖形有大有小，也有定圖形和動(dòng)圖形之別，這就自然會(huì)出現(xiàn)一些圖形是否存在的問題.比如，點(diǎn)是否存在，線是否存在，圓是否存在，三角形是否存在，橢圓、雙曲線和拋物線是否存在等等. 假設(shè)相關(guān)圖形存在，由此出發(fā)，結(jié)合已知條件推出可行性或不可行性，進(jìn)而得到存在或不存在的結(jié)論.

例5. 如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E： ■+■=1（a>b>0）的長軸長為6，點(diǎn)A為左頂點(diǎn)，B，C在橢圓E上. 若四邊形OABC為平行四邊形，且∠OAB=30°.

（Ⅰ）求橢圓E的方程;

（Ⅱ）設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，在橢圓上是否存在點(diǎn)S，使∠F1SF2=150°？若存在，請(qǐng)求出S點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由.

解析：（Ⅰ）∵四邊形OABC為平行四邊形，∴ BC∥OA.由橢圓的對(duì)稱性知，B、C兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱. 由題意知，a= |OA|=|CB|=3.

于是， 可設(shè)B（-■， y0） （y0>0），代入橢圓方程解得y0=■b.

∵ ∠OAB=30°，∴ ■b=■tan30°，∴ b=1. ∴橢圓E的方程為■+y2=1.

（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的點(diǎn)S存在. 設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，則由余弦定理得，cos150°=■=■=■=■-1=■-1≥■-1=■-1.

因?yàn)椤?1=■-1=-■，而cos150°=-■<-■，所以cos150°≥■-1不成立. 故橢圓上不存在滿足條件的點(diǎn)S.

點(diǎn)評(píng)：本題是點(diǎn)的存在性問題，在焦點(diǎn)三角形中運(yùn)用余弦定理和基本不等式處理. 由此得到橢圓焦點(diǎn)三角形中一個(gè)重要不等式：設(shè)橢圓的方程為■+■=1（a>b>0），F(xiàn)1、F2是左右焦點(diǎn). 點(diǎn)P是橢圓上除長軸上兩個(gè)頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，且∠F1PF2=？茲. 則cos？茲≥■-1，即cos？茲≥1-2e2，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，∠F1PF2最大.

訓(xùn)練題6：設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓■+■=1的左、右焦點(diǎn)，若0

解析：方法1. 當(dāng)0

tan∠APH=■， tan∠BPH=■？圯tan120°=■.

因?yàn)辄c(diǎn)P（x0，y0）在橢圓上，所以■+■=1.

-■=■？圯y0=■，又0

∴ 0<■≤b？圯b2+2■b-9≤0？圯0

而（0，■）？哿（0，■]，故橢圓上存在滿足條件的點(diǎn)P.

方法2. 當(dāng)0

tan？琢=kAP=■，tan？茁=-kBP=-■？圯tan120°=tan（180°-？琢-？茁）.

所以-■=-tan（？琢+？茁）以下同方法1.

注意：如圖6，設(shè)橢圓的方程為■+■=1（a>b>0），A1、A2是長軸的兩個(gè)端點(diǎn). 點(diǎn)P是橢圓上除A1、A2外的任意一點(diǎn)，B1、B2是短軸的兩個(gè)端點(diǎn). 則tan∠A1PA2≤■，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，∠A1PA2最大.

6. 考查定值

解析幾何就像平面幾何一樣，在動(dòng)態(tài)圖形中也存在著許多不變量，其中定值就是重要的一類，而且是近幾年高考和?？贾械母哳l考點(diǎn). 這種問題常常與動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)弦、動(dòng)角、動(dòng)曲線、對(duì)稱性等融為一體，能有效考查學(xué)生的數(shù)學(xué)水平和綜合能力.

例6. 已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)M（0， 4）， 且在x軸上截得的弦AB的長為8.

（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程;

（Ⅱ）過軌跡C上一個(gè)定點(diǎn)P（m， n）（m≠0）引它的兩條弦PS，PT，直線PS，PT的斜率存在且傾斜角互為補(bǔ)角. 證明：直線ST的斜率為定值.

解析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓圓心C的坐標(biāo)為（x， y），則（x-0）2+（y-4）2=42+y2. 整理得，x2=8y. 故所求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為x2=8y.

（Ⅱ）設(shè)S（x1， y1）， T（x2， y2）， 則有m2=8n， ■=8y1， ■=8y2.

于是， kPS+kPT=0■+■=■+■=■+■=0.

所以x1+x2=-2m.

故直線ST的斜率k=■=■=-■為定值.

點(diǎn)評(píng)：本題利用傾斜角互為補(bǔ)角得到kPS+kPT=0，建立方程得到x1，x2，m之間的關(guān)系. 再列出直線ST的斜率表達(dá)式化簡(jiǎn)整理即可.

訓(xùn)練題7：如圖7，已知點(diǎn)F為橢圓C ∶ ?■+■=1（a>b>0）右焦點(diǎn)， 圓A ∶ ??（x+t）2+y2=2（t>0）與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)為B（0， 1）， 且直線FB與圓A相切于點(diǎn)B.

（Ⅰ）求t的值及橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x0， y0）滿足■=■+3■， 其中M， N是橢圓C上的點(diǎn)， O為原點(diǎn)， 直線OM與ON的斜率之積為-■， 證明： ■+2■ 為定值.

解析： （Ⅰ）由題意可知b=1. 又t2+1=2， ∴ t=±1. 又t>0， ∴ t=1.

在Rt？駐AFB中， |AB|2+|FB|2=|AF|2， ∴ 2+（1+c2）=（1+c）2， ∴ c=1， a=■.

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：■+y2=1.

（Ⅱ）設(shè)M（x1， y1）， N（x2， y2）， ∵ ■=■+3■， ∴ x0=x1+3x2， y0=y1+3y2 .

∵ M， N在橢圓上， ∴ ■+2■=2， ■+2■=2.

又直線OM與ON的斜率之積為-■， ∴ x1x2+2y1y2=0.

于是， ■+2■=（■+6x1x2+9■）+2（■+6y1y2+9■）

=（■+2■）+6（x1x2+2y1y2）+9（■+2■）=20.

故■+2■為定值.

7. 考查參數(shù)范圍

直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系是高考大題考查的重點(diǎn)，這種問題往往融參數(shù)、方程、向量、不等式、幾何關(guān)系等于一體，設(shè)點(diǎn)設(shè)線，聯(lián)立消元，韋達(dá)定理，根的判別式，條件轉(zhuǎn)換，建立函數(shù)、方程與不等式等等是解題的基本方法.

例7. 直線l ∶ y=kx+m（k≠0）與橢圓C ∶ ■+y2=1交于A， B兩點(diǎn)， P為橢圓C的下頂點(diǎn)，且|PA|=|PB|，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析：設(shè)A（x1， y1）， B（x2， y2） 聯(lián)立x2+4y2-4=0， y=kx+m，消去y，得到 x2+4（kx+m）2-4=0， 即（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0， 則x1+x2=-■， y1+y2 =k（x1+x2）+2m =■， 弦AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)是（-■， ■）.

由？駐=64k2m2-16（m2-1）（1+4k2）>0， 得4k2m2-（m2+4k2m2-1-4k2）>0，

即1+4k2>m2.

另一個(gè)方面， 直線PM的方程是y=-■x-1. 點(diǎn)M（-■，■） 在此直線上， 得到 ■=-■（-■）-1，整理得3m =1+4k2. 代入1+4k2>m2中， m2-3m>0， 0

又3m=1+4k2>1， k≠0，所以3m>1， m>■. 故實(shí)數(shù)m的取值范圍（■， 3）.

點(diǎn)評(píng)：本題充分體現(xiàn)了上述解題的基本方法，具有分析的難度、思維的難度和運(yùn)算的難度. 易錯(cuò)在運(yùn)算、易錯(cuò)在思維轉(zhuǎn)換、易錯(cuò)在忽視隱含條件. 比如，最后求實(shí)數(shù)m的取值范圍時(shí)，僅考慮k，m應(yīng)滿足的不等式1+4k2>m2，而忽視k，m應(yīng)滿足的方程3m=1+4k2 ?這一個(gè)重要隱含條件致誤.

訓(xùn)練題8：已知橢圓C∶■+y2=1 的右焦點(diǎn)為F，斜率為k的直線l與C的交點(diǎn)為A，B. 若 |AF|+|BF|=4，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解析：設(shè)直線l的方程為y=kx+b，聯(lián)立x2+2y2=2，y=kx+b，消去y，化簡(jiǎn)整理得（1+2k2）x2+4kbx+2b2-2=0.

由？駐=（4kb）2-4×2（1+2k2）（b2-1）>0， 得b2<2k2+1.

由橢圓的焦半徑公式，得 |AF|=■-■x1，|BF|=■-■x2.

而|AF|+|BF|=4， 所以2■-■（x1+x2）=4. 而x1+x2= -■，所以2■+■·■=4， 解得b=■ =（■-1）（■+2k）.

代入b2<2k2+1， 得 （■-1）2（1+2k2）2<（1+2k2）k2，

解得k<-■或k>■.

故實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，-■）∪（■， +∞）.

8. 考查對(duì)稱性

近幾年的高考和?？冀馕鰩缀未箢}中，出現(xiàn)了不少關(guān)于軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、平行、垂直、特殊幾何圖形或特殊幾何圖形內(nèi)接于圓錐曲線等問題，用解析幾何呈現(xiàn)出來的形式往往是角相等或互補(bǔ)、斜率相等或互為相反數(shù)或互為負(fù)倒數(shù)、過定點(diǎn)或?yàn)槎ㄖ档鹊? 這種題型能有效考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，倍受命題者青睞.

例8. 若過點(diǎn)P（■， 0）（|m|>■）， 且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與橢圓C ∶ ?■+y2=1交于不同的兩點(diǎn)A， B， 點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m， 0）. 證明： ∠PMA=∠PMB.

解析：設(shè)直線l的方程為y=k（x-■）， 其中k≠0. 聯(lián)立x2+2y2=2，y=k（x-■）， 消去y， 得x2+2k2（x-■）2=2，即（1+2k2）x2-■x+■=0.

因此， x1+x2=■，x1x2=■.

則kAM+kBM=■+■=k·

■=k·■.

而2x1x2-（m+■）（x1+x2）+4=2·■-（m+■）·■+4=■=0，所以kAM+kBM=0.

故∠PMA=∠PMB.

點(diǎn)評(píng)：本題待證的兩角相等（∠PMA=∠PMB），其實(shí)就是kAM+kBM=0，設(shè)動(dòng)直線為y=k（x-■）就使運(yùn)算比較簡(jiǎn)單. 動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線有何特征，應(yīng)該怎樣設(shè)，比如動(dòng)點(diǎn)是否在坐標(biāo)軸上或定曲線上，動(dòng)直線是否過一個(gè)定點(diǎn)或平行于某條定直線，動(dòng)直線的斜率是否存在，動(dòng)直線是否垂直于坐標(biāo)軸，動(dòng)直線是否可以設(shè)成斜截式等等，影響到解題的運(yùn)算難度.

訓(xùn)練題9：若過點(diǎn)P（m， 0）（m>0）， 且不垂直于x軸的直線l與拋物線C ∶ ?y2=2px（p>0）交于不同的兩點(diǎn)A， B， 點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-m， 0）. 證明： ∠PMA=∠PMB.

解析：將聯(lián)想3中的x2+2y2=2，y=k（x-■）， 變?yōu)閥2=2px，y=k（x-m），消去y得k2（x-m）2=2px，即k2x2-2（mk2+p）x+m2k2=0，則x1+x2 =■， x1x2=m2. 于是， kAM+kBM=■+■=k·

■=k·■=0，所以∠OMA=∠OMB.

以上介紹了“解析幾何”專題復(fù)習(xí)的八個(gè)切入點(diǎn)，解析幾何中的軌跡問題、方程問題、定值問題、范圍問題、對(duì)稱問題、存在性問題，以及坐標(biāo)法、消元法、方程思想、整體思想、待定系數(shù)法、參數(shù)法等一些重要的思想方法都在上面的例題和訓(xùn)練題中得到了較好的體現(xiàn)， 要切實(shí)把握.學(xué)會(huì)根據(jù)問題的特征，選擇恰當(dāng)?shù)乃枷敕椒ǎ?有時(shí)候還需要幾種思想方法融為一體，共同發(fā)揮作用.

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)